有限元法基础重点归纳精.docx

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有限元法基础重点归纳精

1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。

2、有限单元法的基本思想:

在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定

大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

3、节点:

网格间相互连接的点。

4、边界:

网格与网格的交界线。

5、有限元的优点:

①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的

理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。

6、有限单元法分类（从选择基本未知量的角度:

位移法（以节点位移为基本未知量,通用

性广、力法（以节点力、混合法（一部分以节点位移,另一部分以节点力

7、有限元法分析计算的基本步骤:

①结构的离散化②单元分析（选择位移模式,建立单元

刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。

8、单元划分:

将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。

9、有限元法基本近似性------几何近似。

10、弹性力学的任务:

分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。

11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的

12、外力:

体力（分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力（分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力

13、应力:

物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。

σ={σxσyσzτxτyτz}

=

[σxσyσzτxτyτz]T

14、应变:

物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。

---长度和角度。

ε={εxεyεzγxγyγz}

=

[εxεyεzγxγyγz]T

15、位移:

弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置的移动。

δ={u

vw

}=[uvw]T

16:

、变形协调条件:

设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。

变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。

可能发生这样的情况,这些六面体再也不能组合成一个连续的变形体,为了保证这些六面体仍能组合成一个连续体,每一个小单元体的应变分量必须满足某一确定的关系。

这个关系就是变形协调条件或称变形连续条件。

17、物理方程:

三维情况下应力和应变之间的转换关系。

---广义虎克定律。

18、平衡状态:

当物体在外力作用下保持静止或等速直线运动时的状态。

19、泛函:

如果对某一类函数y（x它的每一个函数值都有一个Ⅱ值与之对应,则变量Ⅱ称为自变函数y（x的泛函。

20、李兹法的方法和步骤:

①把所求泛函Ⅱ[y（x]的极值问题的解,表达成一系列可能解的线性组合y=∑ai∅ini=1②把这个线性组合式带入所讨论问题的泛函式Ⅱ[y（x]中去,

并计算出此泛函式的变分δⅡ③由泛函极值条件δⅡ=0,算出线性组合式中的待定系数ai,使之满足基本微分方程④把算得的待定系数ai值代入设定的式,即求得所讨论问题的解。

21、平面问题:

指弹性体内一点的应力、应变或位移只和两个坐标方向的变量有关。

22、弹性力学问题的有限元法主要步骤:

离散化---单元分析---整体分析

23、连续弹性体离散化:

将连续体划分为有限个互不重叠、互不分离的三角形单元,这些三角形在其顶点处互相铰接。

24、离散化的注意事项:

（角度30-150,细长比不超3①对称性的利用②节点的选择和单元的划分③节点的编号。

25、单元分析的主要任务:

推导基本未知量单元节点位移与其对应量单元节点力之间的转换关系。

26、位移模式:

将结构离散为许多小单元的集合体,用较简单的函数来描述单元內各点位移的变化规律。

可影响有限元法的计算精度和收敛性。

f=Nδe

27、形函数的性质:

①形函数是坐标（x,y的线性函数②形函数Ni在节点i处等于1,在其他节点上的值等于0;对于Nj,Nm,也有同样的表达式③单元内任意一点（x,y有{x=Nixi+Njxj+Nmxmy=Niyi+Njyj+Nmym④在三角形单元边界ij上一点（x,y,有形函数公式Ni（x,y=1−x−xi

x

j−xi

Nj（x,y=x−xi

x

j−xi

Nm（x,y=0⑤形函数Ni在单元上的面积分和边界ij上的线积

分为∬Nidxdy=A

3A∬Nidl=1

2ij

ij̅28、位移函数所要满足的条件:

①位移函数必须能反映单元的刚体位移②位移函数必须能反应单元的常量应变③位移函数应尽可能反应位移的连续性（完备单元:

满足①②;协调单元:

满足③;完备而非连续单元:

满足①②不满足③

29、常应变三角形单元:

当单元确定后。

矩阵B是常量,单元中任一点的应变分量也是常量的单元。

30、有限元法的任务:

建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。

31、单元刚度矩阵:

表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。

32、单元刚度矩阵的性质:

①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②Ke是对称矩阵③Ke的每一行或每一列元素之和为零,因此Ke为奇异矩阵④Ke不随单元的平行移动或作nπ角度的转动而改变。

33、刚度集成法集成规律:

①先对每个单元求出其单元刚度矩阵Ke,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵Ke。

③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。

34、整体刚度矩阵的性质:

①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:

整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。

对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。

35、带形矩阵:

整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。

36、半带宽:

在半个斜带形区域中,每行具有的元素个数。

37、半带存储:

利用带形矩阵的特点,并利用矩阵的对称性,则在计算机中可以只存储上半带的元素的存储方法。

38、引用已知节点位移的方法:

化1置0法、乘大数法

39、由计算结果推出弹性体内某一点接近实际的应力值的方法:

绕节点平均法、两单元平均法。

注意事项:

①相连单元间的应力连续性只有当相连单元具有相同厚度和材料时才存在,平均法才有意义②位于结构边界或介质间断线上的应力点是无法用两单元平均法得到应力值的,若用绕节点平均法也因其相连单元太少而不能得到较佳的近似值。

这种情况往往改用内部应力点外推的办法去求它的近似值。

40、有限元法的具体解题过程:

①将结构进行离散化,包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定②等效节点力的计算③刚度矩阵的计算④建立整体平衡方程,引入约束条件,求解节点位移⑤应力计算。

41、平面问题几何方程:

{ε}={εx

εyγxy}={

ðu

ðxðvðyðuðy+ðvðx}物理方程{εx=1

E（σx−uσyεy=1

E

（σy−uσxγxy=2（1+μE

τxy{

σx=E

1−μ2（εx+μεy

σy=

E1−μ2

（μεx+εy

τxy=

E2（1+μ

γxy

=E1−μ

2∗

1−μ2

γxy

42、制造位移函数:

{u（x,y=α1+α2x+α3y

v（x,y=α4+α5x+α6y

43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。

44、轴对称问题:

很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。

45、等参数单元:

优点:

①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。

缺点:

①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。

46、有限元法基础理论:

弹性力学,材料力学

47、平面应力问题:

两个方向上尺寸大于另一个方向上的尺寸（板

平面应变问题:

一个方向上的尺寸大于另两个方向上的尺寸（管道48、静力分析可以得到位移、应变、应力、刚度、强度

49、后处理器处理的数据:

基本数据,派生数据。

步骤:

指定并读入结果文件和结果数据、浏览结果文件包含的结果序列并读入用于后处理的结果序列、设置结果输出方式控制选项、采用各种后处理技术处理结果。

常见单元类型:

质点、梁杆、弹簧、板壳、实体单元后处理50、平面应力:

krs=

BrTDBstA

=

Et4（1−μ2A

[

brbs+1−μ

2

crcsμbrcs+1−μ

2crbs

μcrbs+

1−μ2

br

cs

crcs+

1−μ2

brbs

]

平面应变:

krs=BrT

DBstA=E（1−μt

4（1+μ（1−2μA[

brbs+1−2μ

2（1−μcrcs

μ

1−μbrcs

+1−2μ

2（1−μcrbs

μ

1−μcrbs

+1−2μ

2（1−μbrcscrcs+1−2μ

2（1−μbrbs

]

例题:

1悬臂梁的右端面作用着均布拉力,合力为P,采用右

图所示简单网格,设u=1/3,厚度为t,试求节点位移。

解:

第一步,单元划分,编号（如右图,将板离散为2个单元,4个节点。

单元编号节点

①124②423

第二步,单元的刚度矩阵

单元①[K]1=[K111K121K14

1

K21

1

K221K241K34

1K32

1K331]单元②[K]2=[K442K422

K432K242K222K232K34

2K32

2K33

2]第三步,整体单元刚度矩阵

[K]=[K111

K21

1K121K221+K22

20K141K232K241+K242

0K322K332K342K411K421+K422K432K441+K442]

第四步,平衡方程Kδ=F（整体刚度矩阵*位移列向量=力的列向量

K{δ1δ2δ3

δ4

}={F1F2F3F4}

其中

{δ1}={δ4}=0[K221+K22

2

K232K322

K33

2]{δ2δ3}={F2

F3}→[K221+K222K232K322K332]{u2v2

u3v3

}={0−F

2−F2

}第五步,求解例题2、推导平面三角形线性单元的形函数。

解:

设单元坐标分别为（xi,yi（xj,yj（xm,ym,节点位移分别为（ui,vi（uj,vj（um,vm,设三角形位移模式{u（x,y=α1+α2x+α3y

v（x,y=α4+α5x+α6y→{ui=α1+α2xi+α3yi

uj=α1+α2xj+α3yjum=α1+α2xm+α3y

m

联立求解α1=1

2A|ui

xiyiuj

xjyjum

xm

ym|α2=1

2A

|1ui

yi1uj

yj1umym|α3=1

2A

|1xi

ui

1xj

uj1xmum

|→A=1

2

|1xiyi

1xjyj1xm

ym

|为了使面积的值为正,节点i,j,m的次序必须逆时针转向。

u=1

2A[（ai+bix+ciyui+（aj+bjx+cjyuj+（am+bmx+cmyum]→{ai=xiym−xmyj

bi=yj−ym

ci=−xj+xm

→Ni=1

2A（ai+bix+ciy→{u=Niui+Njuj+Nmumv=Nivi+Njvj+Nmvm

51、单元刚度矩阵求法:

①求B:

bi=yj−ymci=xm−xjbj=ym−yicj=xi−xmbm=yi−yjcm=xj−xi

B=1

2A[

bi0bj0bm0

0ci0cj0cm

cibicjbjcmbm

]②求D:

D=E

1−μ2

[

1μ0

μ10

001−μ

2

]③求S:

S=DB④求Ke

52、有限元分析的物理假设:

物体连续、物体均匀、物体完全弹性、整个物体由一种材料组成、物体各向同性、物体变形微小、应变和转角远小于1。

53、划分单元基本要求:

单元各内角和各边长不应相差太大、单元的大小要根据计算精度和计算成本确定、单元疏密要按应力（场的梯度变化分布、注意单元的界面布置