福建泉州中考数学解析.docx

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福建泉州中考数学解析

2015年福建省泉州市中考数学解析试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每题3分，共21分）

1．（2015福建泉州，1，3分）－7的倒数是（　　）

A．7　　　　　B．－7　　　　　C．

　　　　　D．－

【答案】D．

【考点解剖】本题考查了倒数的概念，解题的关键是正确理解倒数的意义．

【解题思路】利用“乘积为1的两数为互为倒数”，即可直接得出答案．

【解答过程】解：

∵－7×（－

）＝1，

∴－7的倒数是－

．

故应选D．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是认为负数的倒数是正数，错选C．

【方法规律】互为倒数的两个数的乘积为1，如果一个数本身为负，其倒数必定为负．注意0没有倒数．

【试题难度】★

【关键词】倒数

2．（2015福建泉州，2，3分）计算：

（ab2）3＝（　　）

A．3ab2　　　　　B．ab6　　　　　C．a3b6　　　　　D．a3b2

【答案】C．

【考点解剖】本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方的各自法则．

【解题思路】先利用积的乘方法则，再运用幂的乘方法则．

【解答过程】解：

（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故应选C．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能正确地运用相应的法则，张冠李戴．

【方法规律】对于幂的有关运算，关键掌握其运算法则：

名称

运算法则

同底数幂的乘法

同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，即：

．

同底数幂的除法

同底数幂的相乘，底数不变，指数相减，即：

．

幂的乘方

幂的乘方，等于底数不变，指数相乘，即：

．

积的乘方

积的乘方，等于各因数分别乘方的积，即：

【试题难度】★

【关键词】幂的乘方；积的乘方

3．（2015福建泉州，3，3分）把不等式x＋2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（　　）

【答案】D．

【考点解剖】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的数轴表示，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．

【解题思路】按照解不等式的步骤，先移项，然后合并同类项，最后系数化为1即得到不等式的解集，再在数轴上表示出来．

【解答过程】解：

移项，得x≤－2，

∴不等式的解集x≤－2在数轴表示正确的选项为D．

故选D．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能在数轴上正确表示不等式的解集，忽视空心圆圈、实心圆点的确定．

【方法规律】解不等式时，先要求出不等式的解集，再结合数轴，确定各个不等式解集，将不等式的解集表示在数轴上时，应注意“方向”与“点型”．

【试题难度】★

【关键词】一元一次不等式；数轴；数形结合思想

4．（2015福建泉州，4，3分）甲、乙、丙、丁四人参加体育训练，近期的10次百米测试平均成绩是13．2秒，方差如下表：

选手

甲

乙

丙

丁

方差（秒2）

0.020

0.019

0.021

0.022

则这四人中发挥最稳定的是（　　）

A．甲　　　　　B．乙　　　　　C．丙　　　　　D．丁

【答案】B．

【考点解剖】本题考查了方差的运用，解题的关键是明确方差的值越大越不稳定．

【解题思路】比较甲、乙、丙、丁四人的方差大小，选择其中最小的一个．

【解答过程】解：

∵0.019＜0.020＜0.021＜0.022，

∴乙的方差最小，即乙的平均成绩最稳定．

故应选B．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是对方差的大小与稳定的关系理解错误导致错选D．

【方法规律】方差越小，数据波动越小，数据越稳定．

【试题难度】★

【关键词】数据的离散程度；方差．

5．（2015福建泉州，5，3分）如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（　　）

A．2　　　　　B．3　　　　　C．5　　　　　D．7

【答案】A．

【考点解剖】本题考查了平移的知识，解题的关键是掌握平移的性质．

【解题思路】首先根据图形平移过程对应点的变化规律，结合BC＝5，EC＝3，即可求解．

【解答过程】解：

∵BC＝5，EC＝3，

∴BE＝BC－EC＝5－3＝2．

∴平移的距离为2．

故应选A．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是忽视对平移性质的理解与运用．

【方法规律】在图形变换中，需要注意：

平移要注意平移方向与距离；旋转要注意旋转中心、方向和角度，轴对称变换要注意它的对称轴，中心对称变换要注意它的对称中心．

【试题难度】★★

【关键词】平移

6．（2015福建泉州，6，3分）已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（　　）

A．11　　　　　B．5　　　　　C．2　　　　　D．1

【答案】B．

【考点解剖】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是明确三角形的存在前提是三边满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

【解题思路】利用三角形三边的性质列出不等式组求解．

【解答过程】解：

∵AB＝6，BC＝4，

∴6－4＜AC＜6＋4，即2＜AC＜10．

∴只有5在此范围内，故应选B．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是求不出AC的范围．

【方法规律】三角形的三边应满足的条件：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

【试题难度】★★

【关键词】三角形的三边关系；不等式

7．（2015福建泉州，7，3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是（　　）

【答案】C．

【考点解剖】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图象与解析式之间的关系．

【解题思路】先根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定a，b的正负，再结合直线所过的象限作出判断．

【解答过程】解：

对于选项A：

抛物线的a＞0，对称轴x＝－

＞0，∴b＜0，这与y＝bx＋a的图象相矛盾，即不符合题意；对于选项B：

抛物线的a＞0，对称轴x＝－

＜0，∴b＞0，这与y＝bx＋a的图象相矛盾，即不符合题意；对于选项C：

抛物线的a＜0，对称轴x＝－

＞0，∴b＞0，这与y＝bx＋a的图象相符合，即符合题意；对于选项D：

抛物线的a＜0，对称轴x＝－

＜0，∴b＜0，这与y＝bx＋a的图象不相符合，即不符合题意．故应选C．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是没有掌握识别图象的方法，而仅凭感觉判断．

【方法规律】多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象（如一次函数，反比例函数），再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．

【试题难度】★★

【关键词】一次函数的图象；二次函数的图象

二、填空题（每题4分，共40分）

8．（2015福建泉州，8，4分）比较大小：

4___________

（用“＞”或“＜”号填空）．

【答案】＞．

【考点解剖】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较方法是关键．

【解题思路】本题有两种方法，方法一是平方法，即将要比较的两个数进行平方，二次幂大的那个数就大；方法二是将4用算术平方根来表示，比较两个算术平方根中的被开方数的大小即可．

【解答过程】解：

方法一：

∵42＝16，

，而16＞15，

∴4＞

，故应填上“＞”．

方法二：

∵4＝

，而

＞

，

∴4＞

，故应填上“＞”．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能选择适当的方法去比较一个正无理数与正有理数的大小．

【方法规律】实数大小比较的一般方法：

①定义法：

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两个负数绝对值大的反而小；③在数轴上表示的数，右边的总比左边的大．

【试题难度】★

【关键词】实数的大小比较

9．（2015福建泉州，9，4分）因式分解：

x2－49＝___________．

【答案】（x＋7）（x－7）．

【考点解剖】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是用平方差公式分解因式．

【解题思路】先将49写成72，再套用平方差公式．

【解答过程】解：

x2－49＝x2－72＝（x＋7）（x－7）．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是忽视平方差公式的结构特征，结果写成（x－7）2．

【方法规律】因式分解在初中范围内主要是两种方法，一是提取公因式法，二是运用公式法（即运用平方差公式或完全平方公式）．在进行分解因式的时候，首先看能否提取公因式，然后看能否运用公式．切记：

因式分解要进行到每个因式都不能再分解为止．

【试题难度】★

【关键词】平方差公式；因式分解

10．（2015福建泉州，10，4分）声音空气中每小时约传播1200千米，将1200用科学记数法表示为___________．

【答案】1.2×103．

【考点解剖】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．

【解题思路】科学记数法是把一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示较大的数时，n的值等于原整数位数少1，1200共4位整数，所以n＝3．

【解答过程】解：

∵1200＝1.2×1000，而1000＝103，

∴1200＝1.2×103，故应填上1.2×103．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是忽视了a的取值范围，认为只要和原数大小一样就行．

【思维模式】确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【试题难度】★★

【关键词】科学记数法

11．（2015福建泉州，11，4分）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝___________°．

【答案】30．

【考点解剖】本题考查了正三角形的性质，解题的关键是明确正三角形一边上的高也是对角的平分线，正三角形的各角都等于60°．

【解题思路】AD是BC边上的高线，也是∠BAC的平分线．

【解答过程】解：

∵在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，

∴∠BAD＝

∠BAC＝

×60°＝30°．

故应填上30．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是忽视正三角形的各个角等于60°．

【方法规律】正三角形即是等边三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质，本身还满足各边相等，各角都等于60°，有三条对称轴．

【试题难度】★★

【关键词】正三角形．

12．（2015福建泉州，12，4分）方程x2＝2的解是___________．

【答案】x1＝

，x2＝－

．

【考点解剖】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握并灵活选取解一元二次方程的方法．

【解题思路】观察方程的形式，不难发现既可以用开平方法求解，也可以用因式分解法或公式法求解．

【解答过程】解：

两边开平方，得x＝±

，

∴x1＝

，x2＝－

．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是只写出其中的一个根．

【思维模式】解一元二次方程常见的解法有：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．此外，换元法是解决特殊形式方程的有效方法．

【试题难度】★★

【关键词】一元二次方程的解法．

13．（2015福建泉州，13，4分）计算：

＋

＝___________．

【答案】2．

【考点解剖】本题考查了同分母分式的加法，解题关键是正确掌握同分母分式的加法法则．

【解题思路】直接利用同分母分式相加的法则求解．

【解答过程】解：

＋

＝

＝

＝2．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是出现结果不化简，如，

．

【思维模式】在分式的加减法运算中，对于异分母分式的加减要先通分，并注意约分，结果为分子，分母都没有公因式的最简分式．

【试题难度】★★

【关键词】分式的加减．

14．（2015福建泉州，14，4分）如图，AB和⊙O切于点B，AB＝5，OB＝3，则tanA＝___________．

【答案】

．

【考点解剖】本题考查了直线与圆相切的性质和锐角三角函数的定义，解题的关键是运用切线的性质和锐角三角函数的定义．

【解题思路】由AB和⊙O切于点B，得到∠ABO＝90°，进而在Rt△ABO中，利用正切的定义求解．

【解答过程】解：

∵AB和⊙O切于点B，

∴∠ABO＝90°．

∵在Rt△ABO中，AB＝5，OB＝3，

∴tanA＝

＝

．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是忽视对正切定义的理解，错误地认为tanA＝

．

【思维模式】圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个锐角的对边与邻边的比．

【试题难度】★★

【关键词】圆的切线，锐角三角函数．

15．（2015福建泉州，15，4分）方程组

的解是___________．

【答案】

【考点解剖】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法与技巧．

【解题思路】两式相加再除以3，即可先求得x，再将x代入其中一方程即可求出y．

【解答过程】解：

将原方程组的两个方程相加，得3x＝3，解得x＝1，将x＝1代入原方程组中第一个方程，得1－y＝4，解得y＝－3，∴原方程组的解为

【易错点津】此类问题容易出错的地方是两式相加减时符号出错．

【思维模式】解二元一次方程组的基本思想是“消元”.根据方程组的特点一般采用“代入消元法”或“加减消元法”，把二元一次方程组转化为一元一次方程，解这个一元一次方程即可得出一个解，再代入其中一个方程可求出另一个解．

【试题难度】★★

【关键词】解二元一次方程组－－代入消元法；解二元一次方程组—加减消元法

16．（2015福建泉州，16，4分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，若∠A＝50°，则∠BCE＝___________°．

【答案】50．

【考点解剖】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是明确∠A与∠BCE关系．

【解题思路】∠BCE是圆内接四边形的外角，它等于内对角．

【解答过程】解：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCE是圆内接四边形的外角，∠A＝50°，∴∠BCE＝∠A＝50°．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是分不清楚∠A与∠BCE的关系．

【方法规律】圆内接四边形的对角互补，任一个外角等于内对角．

【试题难度】★★

【关键词】圆内接四边形．

17．（2015福建泉州，17，4分）在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于___________cm，弦AC所对的弧长等于___________cm．

【答案】3，2π或4π．

【考点解剖】本题考查了圆的弧长和菱形知识，解题的关键是明确菱形的四条边相等，圆中一条弦所对的弧有两条．

【解题思路】先依据题意，画出草图，进而利用相关知识求解．

【解答过程】解：

如图，∵四边形OABC为菱形，

∴AB＝OA．

又∵OA＝OB，

∴AB＝OA＝OB．

∴△AOB是等边三角形．

∵圆的半径等于3cm，

∴该菱形的边长等于3cm．

∵△AOB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°．

∵四边形OABC为菱形，

∴∠AOC＝2∠AOB＝120°．

而弦AC所对圆心角是120°或240°，即所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，所以由弧长公式可以求得这两段的弧长分别为2π和4π．

故应分别填上3，2π或4π．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是在求弦AC所对的弧长时，不分类求解而造成漏解．

【思维模式】菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，圆中的弦所对的弧有两条．

【试题难度】★★★

【关键词】圆、菱形、弧长、分类思想．

三、解答题（共89分）

18．（2015福建泉州，18，9分）计算：

|－4|＋（2－π）0－8×4－1＋

÷

．

【考点解剖】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算的法则，明确相关运算的性质．

【解题思路】先分别化简：

|－4|＝4，（2－π）0＝1，4－1＝

，

÷

＝

＝

＝3，再进一步运算．

【解答过程】解：

原式＝4＋1－8×

＋

＝4＋1－2＋3

＝6．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是错误认为（2－π）0＝0，4－1＝－4而错．

【思维模式】分别利用绝对值的定义，0指数次幂，负整数次幂，二次根式的除法法则，将实数运算转化为有理数运算．

【试题难度】★★

【关键词】绝对值、0指数次幂、负整数次幂、二次根式的除法、实数运算，转化思想．

19．（2015福建泉州，19，9分）先化简，再求值：

（x－2）（x＋2）＋x2（x－1），其中x＝－1．

【考点解剖】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘法法则与乘法公式．

【解题思路】先利用平方差公式和单项式与多项式乘法法则化简、合并同类项，再代入数值进行计算．

【解答过程】解：

原式＝x2－4＋x3－x2＝－4＋x3

当x＝－1时，原式＝－4＋（－1）3＝－4－1＝－5．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是对乘法公式掌握不牢导致出错．

【方法规律】整式运算的顺序是：

先做整式的乘除，再做整式的加减．整式加减的实质就是合并同类项．对于化简求值题，常常先化简再求值．

【试题难度】★★

【关键词】整式；整式的乘法；乘法公式

20．（2015福建泉州，20，9分）如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD，求证：

AO＝OB．

【考点解剖】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是找到题目中的全等三角形．

【解题思路】由矩形的性质得到∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，又由∠AOC＝∠BOD，得到∠AOD＝∠BOC，于是有△AOD≌△BOC．

【解答过程】证明：

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，

即∠AOD＝∠BOC．

∴△AOD≌△BOC．

∴AO＝OB．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是证明△AOD≌△BOC时，找不准对应元素．

【思维模式】求证一组线段相等的常见思路有：

一是证明其所在的两个三角形全等；二是证明其是等腰三角形的两腰；三是证明其是平行四边形的对边；四是等量代换，等等．

【试题难度】★★

【关键词】矩形的性质、全等三角形的性质、全等三角形的判定

21．（2015福建泉州，21，9分）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．

（1）请直接写出第一位选手是女选手的概率；

（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．

【考点解剖】本题考查了概率的计算，解题的关键是正确掌握列表法和树状图法．

【解题思路】

（1）要求第一位选手是女选手的概率，由于演讲比赛，只安排1位女选手和3位男选手，所以在四名选手中只有1名是女选手，由此利用概率的定义直接求解．

（2）用树形图或列表法列举出所有可能情况，然后由概率公式计算求得．

【解答过程】解：

（1）依题意，得P（第一位出场是女选手）＝

．

（2）画树状图如图所示，由此，共有12种等可能的结果，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种，∴P（第一、二位出场都是男选手）＝

＝

．

【一题多解】本题的

（2）也可以通过列表求解：

列表如下，由此，共有12种等可能的结果，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种，∴P（第一、二位出场都是男选手）＝

＝

．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是用列表法或画树状图法表示所有等可能结果时出现重复或遗漏．

【思维模式】为了找出所有等可能的结果，通常所用的方法是列表法、画树状图法或枚举法．

【归纳拓展】在一次试验中有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝

．求随机事件概率的方法有三种，

（1）枚举法，此方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算；

（2）树形图法，此方法适用于当一个事件涉及两个或更多的因素是时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过树形图的方法结算概率；（3）列表法，列表法和树形图都可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，当事件包含两步时，列表法比较方便，当让也可以用树形图法，当事件在三步或者三部以上时，用树形图比较方便．

【试题难度】★★★

【关键词】概率的简单应用

22．（2015福建泉州，22，9分）清明期间，某校师生组成200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动，综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵．活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制出如下的两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）请把条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是_______________．

（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树？

【考点解剖】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．

【解题思路】

（1）先由条形统计图直接求出植树量为“2棵树”的组数，再由扇形统计图求出植树量为“5棵树”所占百分比，进而求出圆心角的大小．

（2）利用加权平均数计算出每一组植树量，再乘以200即得．

【解答过程】解：

（1）由条形统计图，得植树量为“2棵树”的组数＝50－15－17－10＝8（组），补全条形统计图如下图所示：

由扇形统计图，得植树量为“5棵树”的所占百分比＝1－16％－30％－34％＝20％，

∴植树量为“5棵树”的圆心角＝360°×20％＝72°．

（2）∵（2×8＋3×15＋4×17＋5×10）×

＝（16＋45＋68＋50）×

＝716（棵）．

∴此次活动共种716棵树．

【易错点津】此类问题容易出错的地方是不会两个图形结合识图，寻找两个统计图已知中的“共性”部分．

【方法规律】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．本题将条形统计图与扇形统计图合理地结合起来，利用两种统计图的各自的特点，使信息在两种统计图之间交叉呈现，较好地考查了学生识图、画图的技巧以及从统计图中获取信息的能力和利用统计图描述和处理数据的能力．

【试题难度】★★★

【关键词】条形统计图；扇形统计图

23．（2015福建泉州，23，9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（

，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y＝

图象经过点A．

（1）求k的值；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？

【考点解剖】本题考查了图形的旋转、锐角三角函数和反比例函数，解题的关键是综合运用相关知识．

【解题思路】

（1）由函数y＝

图象经过点A（

，1），利用待定系数法求得k．

（2）由图形旋转特征，得到OD＝OB＝2，∠BOD＝60°，过点D作DE⊥x轴于点E，利用正弦和余弦求得DE和OE，即求得点D的坐标，进而验证点D是否在反比例函数y＝

的图象上．

【解答过程】解：

（1）∵函数y＝

图象经过点A（

，1），

∴k＝xy＝

×1＝

．

（2）∵B（2，0），

∴OB＝2．

∵将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，

∴OD＝OB＝2，∠BOD＝60°．

如图，过点D作DE⊥x轴于点E，

DE＝OD·sin60°＝2×

＝

，

OE＝OD·cos60°＝2×

＝1．