第四章 MATLAB的数值计算功能.docx
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第四章MATLAB的数值计算功能
第四章MATLAB的数值计算功能
Chapter4:
NumericalcomputationofMATLAB
一、多项式（Polynomial）`.
1．多项式的表达与创建（ExpressionandCreatingofpolynomial）
（1）多项式的表达（expressionofpolynomial）_
Matlab用行矢量表达多项式系数（Coefficient），各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：
P（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
则其系数矢量（Vectorofcoefficient）为：
P=[a0a1…an-1an]
如将根矢量（Vectorofroot）表示为：
ar=[ar1ar2…arn]
则根矢量与系数矢量之间关系为：
（x-ar1）（x-ar2）…（x-arn）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
（2）多项式的创建（polynomialcreating）
a）系数矢量的直接输入法
利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量，就可方便的建立符号形式的多项式。
例：
创建多项式x3-4x2+3x+2
poly2sym（[1-432]）
ans=
x^3-4*x^2+3*x+2
b）由根矢量创建多项式
通过调用函数p=poly（ar）产生多项式的系数矢量,再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。
注：
（1）根矢量元素为n，则多项式系数矢量元素为n+1；
（2）函数poly2sym（pa）把多项式系数矢量表达成符号形式的多项式，缺省情况下自变量符号为x，可以指定自变量。
（3）使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。
例1：
由根矢量创建多项式。
将多项式（x-6）（x-3）（x-8）表示为系数形式
a=[638]%根矢量
pa=poly（a）%求系数矢量
ppa=poly2sym（pa）%以符号形式表示原多项式
ezplot（ppa,[-50,50]）
pa=
1-1790-144
ppa=
x^3-17*x^2+90*x-144
注：
含复数根的根矢量所创建的多项式要注意：
（1）要形成实系数多项式，根矢量中的复数根必须共轭成对；
（2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中，可能带有很小的虚部，此时可采用取实部的命令（real）把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时，有两种方法，一是直接调用求根函数roots，poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再求其特征值，该特征值即是多项式的根。
例3：
由给定复数根矢量求多项式系数矢量。
r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];
p=poly（r）
pr=real（p）
ppr=poly2sym（pr）
p=
1.00001.10000.55000.1250
pr=
1.00001.10000.55000.1250
ppr=
x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8
c）特征多项式输入法
用poly函数可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。
条件：
特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。
例2：
求三阶方阵A的特征多项式系数，并转换为多项式形式。
a=[638;756;135]
Pa=poly（a）%求矩阵的特征多项式系数矢量
Ppa=poly2sym（pa）
Pa=
1.0000-16.000038.0000-83.0000
Ppa=
x^3-16*x^2+38*x-83
注：
n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的。
注：
（1）要形成实系数多项式，根矢量中的复数根必须共轭成对；
（2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中，可能带有很小的虚部，此时可采用取实部的命令（real）把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时，有两种方法，一是直接调用求根函数roots，poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再求其特征值，该特征值即是多项式的根。
例4：
将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。
求x3-6x2-72x-27的根
a=[1-6-72-27]
r=roots（a）
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
MATLAB约定，多项式系数矢量用行矢量表示，根矢量用列矢量表示。
>>
1.多项式的乘除运算（Multiplicationanddivisionofpolynomial）
多项式乘法用函数conv（a,b）实现，除法用函数deconv（a,b）实现。
例1：
a（s）=s2+2s+3,b（s）=4s2+5s+6,计算a（s）与b（s）的乘积。
a=[123];b=[456];
c=conv（a,b）
cs=poly2sym（c,’s’）’s’——是指定变量为s
c=
413282718
cs=
4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18
例2：
展开（s2+2s+2）（s+4）（s+1）（多个多项式相乘）
c=conv（[1,2,2],conv（[1,4],[1,1]））
cs=poly2sym（c,’s’）%（指定变量为s）
c=
1716188
cs=
s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8
例2：
求多项式s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8分别被（s+4）,（s+3）除后的结果。
c=[1716188];
[q1,r1]=deconv（c,[1,4]）%q—商矢量，r—余数矢量
[q2,r2]=deconv（c,[1,3]）
cc=conv（q2,[1,3]）%对除（s+3）结果检验
test=（（c-r2）==cc）
q1=
1342
r1=
00000
q2=
1446
r2=
0000-10
cc=
17161818
test=
11111
1.其他常用的多项式运算命令（Othercomputationcommandofpolynomial）
pa=polyval（p,s）按数组运算规则计算给定s时多项式p的值，p为多项式系数矢。
pm=polyvalm（p,s）按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。
[r,p,k]=residue（b,a）部分分式展开，b,a分别是分子分母多项式系数矢量，r,p,k分别是留数、极点和直项矢量
p=polyfit（x,y,n）用n阶多项式拟合x，y矢量给定的数据。
polyder（p）多项式微分。
注：
对于多项式b（s）与不重根的n阶多项式a（s）之比，其部分分式展开为：
式中：
p1,p2,…,pn称为极点（poles），r1,r2,…,rn称为留数（residues），k（s）称为直项（directterms），假如a（s）含有m重根pj，则相应部分应写成：
例5：
对一组实验数据进行多项式最小二乘拟合（leastsquarefit）
x=[12345];%实验数据
y=[5.543.1128290.7498.4];
p=polyfit（x,y,3）%做三阶多项式拟合
x2=1:
.1:
5;
y2=polyval（p,x2）;%根据给定值计算多项式结果
plot（x,y,’o’,x2,y2）
一．线性代数（LinearAlgebra）
解线性方程（Linearequation）就是找出是否存在一个唯一的矩阵x，使得a,b满足关系：
ax=b或xa=b
MALAB中x=a\b是方程ax=b的解，x=b/a是方程式xa=b的解。
通常线性方程多写成ax=b，“\”较多用，两者的关系为：
（b/a）’=（a’\b’）
系数矩阵a可能是m行n列的，有三种情况：
*方阵系统:
（Squarematrix）m=n可求出精确解（a必须是非奇异（nonsingular），即满秩（fullrank））
*超定系统：
（Overdetermindsystem）m>n可求出最小二乘解
*不定系统：
（Underdetermindsystem）m1.方阵系统：
（Squarearray）
最常见的是系数矩阵为方阵a，常数项b为列矢量,其解x可写成x=a\b,x和b大小相同。
例1：
求方阵系统的根。
a=[1167;5139;1718]
b=[16134]’
x=a\b
a=
1167
5139
1718
b=
16
13
4
x=
3.9763
5.4455
-8.6303
例2：
假如a,b为两个大小相同的矩阵，求方阵系统的根。
a=[459;18195;1413]
b=[1512;31519;7610]
x=a\b
C=a*x
a=
459
18195
1413
b=
1512
31519
7610
x=
-3.6750-0.73332.9708
3.72501.4667-2.1292
-0.32500.06671.1958
C=
1.00005.000012.0000
3.000015.000019.0000
7.00006.000010.0000
若方阵a的各个行矢量线性相关（linearcorrelation），则称方阵a为奇异矩阵。
这时线性方程将有无穷多组解。
若方阵是奇异矩阵，则反斜线运算因子将发出警告信息。
2．超定系统（Overdetermindsystem）
实验数据较多，寻求他们的曲线拟合。
如在t内测得一组数据y：
ty
0.00.82
0.30.72
0.80.63
1.10.60
1.60.55
2.20.50
这些数据显然有衰减指数趋势：
y（t）~c1+c2e-t
此方程意为y矢量可以由两个矢量逐步逼近而得，一个是单行的常数矢量，一个是由指数e-t项构成，两个参数c1和c2可用最小二乘法求得，它们表示实验数据与方程y（t）~c1+c2e-t之间距离的最小平方和。
例1：
求上述数据的最小二乘解。
将数据带入方程式y（t）~c1+c2e-t中，可得到含有两个未知数的6个等式，可写成6行2列的矩阵e.
t=[00.30.81.11.62.2]’;
y=[0.820.720.630.600.550.50]’;
e=[ones（size（t））exp（-t）]%求6个y（t）方程的系数矩阵
c=e\y%求方程的解
e=
1.00001.0000
1.00000.7408
1.00000.4493
1.00000.3329
1.00000.2019
1.00000.1108
c=
0.4744
0.3434
带入方程得：
y（t）~0.4744+0.3434e-t
用此方程可绘制曲线：
t=[00.30.81.11.62.2]’;
y=[0.820.720.630.600.550.50]’;
t1=[0:
0.1:
2.5]’;y1=[ones（size（t1））,exp（-t1）]*c
plot（t1,y1,’b’,t,y,’ro’）
如果一个矩阵的行矢量是线性相关的，则它的最小二乘解并不唯一，因此，a\b运算将给出警告，并产生含有最少元素的基解。
3.不定系统:
（Underdetermindsystem）
不定系统为线性相关系统，其解都不唯一，MATLAB会计算一组构成通解的基解，而方程的特解则用QR分解法决定。
两种解法：
最少元素解a\b，最小范数解pinv（a）*b.
例：
用两种方法求解欠定系统。
对a和矢量b分别用a\b和pinv（a）*b求解:
a=[111;11-1]
b=[106]’
p=a\b
q=pinv（a）*b
a=
111
11-1
b=
10
6
p=
8.0000
0
2.0000
q=
4.0000
4.0000
2.0000
三．逆矩阵及行列式（Reversanddeterminantofmatrix）
1．方阵的逆和行列式（Reversanddeterminantofsquarematrix）
若a是方阵，且为非奇异阵，则方程ax=I和xa=I有相同的解X。
X称为a的逆矩阵，记做a-1，在MATLAB中用inv函数来计算矩阵的逆。
计算方阵的行列式则用det函数。
DETDeterminant.
INVMatrixinverse.
例：
计算方阵的行列式和逆矩阵。
a=[3-31;-35-2;1-21];
b=[14135;5112;6145];
d1=det（a）
x1=inv（a）
d2=det（b）
x2=inv（b）
d1=
1
x1=
1.00001.00001.0000
1.00002.00003.0000
1.00003.00006.0000
d2=
-1351
x2=
0.1207-0.0037-0.1118
-0.0348-0.02960.1058
-0.04740.08730.0377
四．矩阵分解（Matrixdecomposition）
MATLAB求解线性方程的过程基于三种分解法则：
（１）Cholesky分解，针对对称正定矩阵；
（２）高斯消元法，针对一般矩阵；
（３）正交化，针对一般矩阵（行数≠列数）
这三种分解运算分别由chol,lu和qr三个函数来分解.
1．Cholesky分解（CholeskyDecomposition）
仅适用于对称和上三角矩阵
例：
cholesky分解。
a=pascal（6）
b=chol（a）
a=
111111
123456
136101521
1410203556
15153570126
162156126252
b=
111111
012345
0013610
0001410
000015
000001
2．LU分解（LUfactorization）.
用lu函数完成LU分解，将矩阵分解为上、下两个三角阵，其调用格式为：
[l,u]=lu（a）l代表下三角阵，u代表上三角阵。
例：
LU分解。
a=[472422;11440;303841]
[l,u]=lu（a）
a=
472422
11440
303841
l=
1.000000
0.23401.00000
0.63830.59091.0000
u=
47.000024.000022.0000
038.3830-5.1489
0030.0000
3．QR分解（Orthogonal-triangulardecomposition）.
函数调用格式：
[q,r]=qr（a）,q代表正规正交矩阵，r代表三角形矩阵。
原始阵a不必一定是方阵。
如果矩阵a是m×n阶的，则矩阵q是m×m阶的，矩阵r是m×n阶的。
例：
QR分解.
A=[22462020;30364644;398452];
[q,r]=qr（A）
q=
-0.4082-0.7209-0.5601
-0.5566-0.28980.7786
-0.72360.6296-0.2829
r=
-53.8981-44.6027-66.3289-34.1014
0-38.55640.5823-25.9097
0011.880022.4896
4.特征值与特征矢量（Eigenvaluesandeigenvectors）.
MATLAB中使用函数eig计算特征值和特征矢量，有两种调用方法：
*e=eig（a）,其中e是包含特征值的矢量；
*[v,d]=eig（a）,其中v是一个与a相同的n×n阶矩阵，它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征矢量，d为对角阵，其对角元素即为矩阵a的特征值。
例：
计算特征值和特征矢量。
a=[342515;18359;41219]
e=eig（a）
[v,d]=eig（a）
a=
342515
18359
41219
e=
68.5066
15.5122
-6.0187
v=
-0.6227-0.4409-0.3105
-0.49690.6786-0.0717
-0.6044-0.58750.9479
d=
68.506600
015.51220
00-6.0187
EIGEigenvaluesandeigenvectors.
五．数据分析（DataAnalyaia）
MATLAB对数据分析有两条约定：
（1）若输入量X是矢量，则不论是行矢量还是列矢量，运算是对整个矢量进行的；
（2）若输入量X是数组，（或称矩阵），则命令运算是按列进行的。
即默认每个列是有一个变量的不同“观察“所得的数据组成。
1.基本统计命令（表4-1）
例：
做各种基本统计运算。
A=[5-10-60;263-3;-95-1011;-22170-19;-16-44]
Amax=max（A）%找A各列的最大元素
Amin=min（A）%找A各列的最小元素
Amed=median（A）%找A各列的中位元素
Amean=mean（A）%找A各列的平均值
Astd=std（A）%求A各列的标准差
Aprod=prod（A）%求A各列元素的积
Asum=sum（A）%求A各列元素的和
S=cumsum（A）%求A各列元素的累积和
P=cumprod（A）%求A各列元素的累积积
I=sort（A）%使A的各列元素按递增排列
A=
5-10-60
263-3
-95-1011
-22170-19
-16-44
Amax=
517311
Amin=
-22-10-10-19
Amed=
-16-40
Amean=
-5.00004.8000-3.4000-1.4000
Astd=
10.83979.62815.079411.1490
Aprod=
-1980-3060000
Asum=
-2524-17-7
S=
5-10-60第一行就是原数据，
7-4-3-3第二行是前两行之和，
-21-138以此类推。
-2418-13-11
-2524-17-7
P=
5-10-60
10-60-180
-90-3001800
1980-510000
-1980-3060000
I=
-22-10-10-19
-95-6-3
-16-40
2604
517311
>>
求矩阵元素的最大值、最小值可用：
Amax=max（max（A））或Amax=max（A（:
）），
Amin=min（min（A））或Amin=min（A（:
））
六．插值:
（Interpolation）
在已知数据之间计算估计值的过程。
1．一维插值（1DInterpolation）
由interp1实现，用多项式技术计算插值点。
Yi=interp1（x,y,xi,method）y—函数值矢量，x—自变量取值范围，xi—插值点的自变量矢量，
Method—插值方法选项。
MATLAB6.1的4种方法：
*临近点插值：
method=‘nearest’
*线性插值：
method=‘linear’
*三次样条插值：
method=‘spline’
*立方插值：
method=‘pchip’or‘cubic’
选择插值方法时主要考虑因素：
运算时间、占用计算机内存和插值的光滑程度。
比较：
运算时间、占用计算机内存光滑程度。
*临近点插值：
快少差
*线性插值：
稍长较多稍好
*三次样条插值：
最长较多最好
*立方插值：
较长多较好
例1：
一维插值函数插值方法的对比。
x=0:
10;
y=sin（x）;
xi=0:
0.25:
10;
strmod={'nearest','linear','spline','cubic'}%将插值方法定义为单元数组
str1b={'（a）method=nearest','（b）method=linear',...
'（c）method=spline','（d）method=cubic'}%将图标定义为单元数组
fori=1:
4
yi=interp1（x,y,xi,strmod{i}）;
subplot（2,2,i）
plot（x,y,'ro',xi,yi,'b'）,xlabel（str1b（i））
end
strmod=
'nearest''linear''spline''cubic'
例2：
三次样条插值
x0=0:
10;
y0=sin（x0）;
x=0:
.25:
10;
y=spline（x0,y0,x）;
plot（x0,y0,'or',x,y,'k'）
与interp1结果一样
2．二维插值（2DInterpolation）
用于图形图象处理和三维曲线拟合等领域，由interp2实现，一般格式为：
ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI,method）X,Y—自变量组成的数组，尺寸相同。
XI,YI—插值点的自变量数组
Method—插值方法选项，4种
*临近点插值：
method=‘nearest’
*线性插值：
method=‘linear’该方法是interp2函数的缺省方法
*三次样条插值：
method=‘spline’
*立方插值：
method=‘pchip’or‘cubic’
例：
二维插值4种方法的对比。
[x,y,z]=peaks（7）;figure
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