因式分解法解一元二次方程典型例题doc.docx
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因式分解法解一元二次方程典型例题doc
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典型例题一
例用因式分解法解下列方程：
（1）
y
2＋
y＋＝；
（2）
t
（2
t－
1）
＝
3（2
t－
1）
；
（3）（2
x－
1）（
x－
1）
＝．
7
6
0
1
解：
（1）方程可变形为（y＋1）（y＋6）＝0
y＋1＝0或y＋6＝0
∴y1＝－1，y2＝－6
（2）方程可变形为t（2t－1）－3（2t－1）＝0（2t－1）（t－3）＝0，2t－1＝0或t－3＝0
1
∴t1＝，t2＝3．
（3）方程可变形为2x2－3x＝0
x（2x－3）＝0，x＝0或2x－3＝0
∴x1＝0，x2＝3
2
说明：
（1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般
式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
（2）应用因式分解法解形如（x－a）（x－b）＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如（x－e）（x－f）＝0的形式，这时才有
x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如（3）可能产生如下的错解：
原方程变形为：
2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．
（3）在方程
（2）中，为什么方程两边不能同除以（2t－1），请同学们思考
典型例题二
例用因式分解法解下列方程
6x233x22x6
解：
把方程左边因式分解为：
（2x
3）（3x
2）
0
∴2x
30或3x
2
0
∴x1
3
2
x2
3
2
说明:
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
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典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
2y2y15
解:
移项得：
2y2y150
把方程左边因式分解
得：
（2y
5）（y
3）
0
∴2y5
0或y3
0
∴y1
5
y2
3.
2
说明:
在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般
式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
例用因式分解法解下列方程
（1）6x213x
20；
（2）3（2x1）2
9（3x2）2
0；
分析：
一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式
的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如
（2）符合平方差公式的结构特征.
解：
（1）原方程可变形为
（6x1）（x2）0,
6x1
0或x
2
0，
∴x1
1,x2
2.
6
（2）原方程可化为
（23x
3）2
（33x6）2
0，
即
（23x
333x6）（23x
333x6）0，
∴（5
3x3
6）（
36
3x）
0，
∴53x360或363x0，
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∴x1
231,x2123.
5
说明：
因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.
典型例题五
例用因式分解法解方程：
（1）x2
5x
36
0；
（2）2（2x3）2
3（2x
3）0；
（3）x2
（2
22）x3220；
（4）y2
（2332）x
660.
分析：
用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为
AB0的形式，然
后通过A
0或B
0，求出x1,x2.
解：
（1）（x
9）（x4）
0，
x9
0或x
4
0.
x1
9,x2
4.
（2）（2x3）（4x63）
0，
即（2x3）（4x9）0.
∴2x
3
0或4x90，
∴x1
3,x29.
2
4
（3）（x
1）x（322）0，
即x
1
0或x（322）
0.
∴x1
1,
x2322.
（4）（y
23）（y32）0，
即
y230或y32
0，
∴y1
23,y232.
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说明：
有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例用适当方法解下列方程：
（1）
2
2
5
0
；
（）
2
1
；
x
5x22（1x）x（x
）
2
2
（3）2（x
3）2
2（x21）
4x1；（4）x2
43x100
（5）3x27x40（用配方法）
解：
（1）移项，得
2x25，
方程两边都除以2，得
x25，
2
解这个方程，得
x5，
2
1
x10，
2
即
x1
1
10，x2
1
10.
2
2
（2）展开，整理，得
4x2
x
0.
方程可变形为
x（4x
1）
0
x
0
或4x1
0，
∴
x1
0,x2
1.
（3）展开，整理，得
4
4x2
16x15
0，
方程可变形为
（2x3）（2x5）0
2x30或2x50
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∴
x1
3
x2
5.
2
2
（4）∵
a
1,b
4
3,c
10,
b2
4ac
（
4
3）2
4
1
1080
，
∴x
（4
3）
8
4
3
2
2
2
3
2.
2
1
2
∴
x1
23
2,
x2
23
2
（5）移项，得
3x2
7x
4，
方程各项都除以3，得
x2
7
x
4
.
配方，得
3
3
x2
7x（7）2
4（7）2，
3
6
3
6
（x
7）2
1
6
36
解这个方程，得
x
7
1,
6
6
即
x1
4，x2
1.
3
说明:
当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式
ax2
bxc0（a
0），若b
0，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（
l）
题．若a0，b
0,c
0
时，可用因式分解法求解，如（
2）题．若a、b、c
均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）
题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．
而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程
2
（x3）40可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程
（x
2）（4x
1）
（x
1）（x
2）也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移
项后提取公因式，得
（x
2）[（4x
1）
（x1）]
0，用因式分解法求解，得
x1
2,x2
2，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以
3
（x
2），这
会丢掉一个根x2．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．
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典型例题七
例解关于x的方程20m2x211mnx3n2
0（m
0）
解法一：
原方程可变形为
（5mxn）（4mx3n）0
5mxn0或4mx3n0
∵m0，
∴
x1
n
x2
3n.
5m
4m
解
法
二
：
∵
a20m2
，
b11mn，c
3n2
，
b2
4ac
（11mn）2
4
20m2
（3n2）
361m2n2
0，
又m0，
∴x
11mn
36m2n2
11mn19mn.
2
20m2
40m2
∴
x1
n
x2
3n.
5m
4m
说明解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．
典型例题八
例已知m
2
1，试解关于x的方程mx（x
2）2（x1）（x
1）.
分析
由m
2
1，容易得到m3或m
1．整理关干x的方程，得
（m1）x2
2mx
30
．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次
项系数要进行讨论，当m-10时，方程是一元一次方程；当m1
0时，方程是
一元二次方程。
解：
由m
2
1，得
m2
1,
∴
m1
3,m21.
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整理mx（x2）2（x1）（x
1）
，得
（m
1）x2
2mx
3
0.
当m
3时，原方程为2x2
6x
3
0，
解得
x1
3
3,x2
3
3
2
2
当m
1时，原方程为2x
3
0，
解得
3
x.
2
∴当m3时，x1
33,x2
33
2
2
当m1时，x
3.
2
填空题
1．方程（x
2）2
（x
2）
的根是
2．方程（x3）（x
1）
6x
4的解是
3．方程（2y
1）2
3（2y
1）2
0的解是
答案：
1．x1
2，x2
3
2．x1
12，x2123．y1
1，y2
3.
2
解答题
1．用因式分解法解下列方程：
（1）（x2）2
2x
4；
（2）4（x3）2
x（x3）0；
（3）10x2
11x
6
0；
（4）9（x2）2
4（x1）2。
（5）x2
x0；（6）x2
2x
350；
（7）x2
7x100；（8）x2
9x180；
（9）10x2
11x
6
0；（10）6x2
11x70.
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2.用因式分解法解下列方程：
（1）（x3）（x1）
5；
（2）14（x4）2
9（x4）650；
（3）3（1
x）2
5（x
1）20。
2
2
3．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：
（1）
x
2
x
2
x
0；（）
x
2
2mx
m
2
n
2
0
；
k
2
（3）
x
2
3
mx
54
m
2
0
；（）
15m
2
x
2
17mx
180（m0）
；
4
（5）abx2（a2b2）xab0（ab0）
4．用适当的方法解下列方程：
（1）4x2
490；
（2）4x2
9x0；
（3）x2
x
2；（4）x2
2x
624；
（5）x2
x
10；（6）x2
25x20.
5．已知三角形的两边分别是
1和2，第三边的数值是方程2x2
5x
3
0的根，
求这个三角形的周长.
答案：
1．
（1）x1
2，x2
0；
（2）x1
3，x2
4；
（3）x1
3，x2
2；
（4）x1
8，x2
4.
2
5
5
（5）
0
（）
，
x1
，x2
16x1
5，x27（7）x12
x25（8）x1
3，x2
6
（9）x1
3，x2
2（10）x1
1，x2
7.
2
5
2
3
2.
（1）x1
2，x2
4；
（2）x1
3，x2
41；
（3）x1
1，x2
5.
2
7
6
2
，
2
，
x
mn（3）x
6m，
（）
3．
（1）x1
0
x2
k1
（2）x1
mn
2
x2
1
9m
4
x1
2，x2
9（5）x1
b，x2
a.
3m
5m
a
b
4．
（1）x1
7，x2
7
（2）x1
0，x2
9（3）x1
2，x2
1（4）x1
26，
2
2
4
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x2
24（5）x1
1
5，x2
1
5（6）x1
53，x253
2
2
5．提示：
三角形两边之和大于第三边，三角形周长为4.5.
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