选修11第一章单元测试.docx
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选修11第一章单元测试
1．下列语句是命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数D．今天会下雪吗
答案：
A
2．（2011年高考课标全国卷）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：
|a＋b|>1⇔θ∈[0，
） p2：
|a＋b|>1⇔θ∈（
，π]
p3：
|a－b|>1⇔θ∈[0，
） p4：
|a－b|>1⇔θ∈（
，π]
其中的真命题是（ ）
A．p1，p4B．P1，p3
C．P2，p3D．P2，p4
解析：
选A.|a＋b|>1⇔1＋1＋2cosθ>1⇔θ∈[0，
）．
|a－b|>1⇔1＋1－2cosθ>1⇔θ∈（
，π]．
3．判断下列命题的真假：
①3≥3：
________；
②100或50是10的倍数：
________.
答案：
①真命题 ②真命题
4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p和结论q.
解：
条件p：
一个函数的图象是一条直线；
结论q：
这个函数为一次函数．
一、选择题
1．下列语句不是命题的有（ ）
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；
④函数f（x）＝x2是R上的偶函数．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：
选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．{∅}是空集
B.
是无限集
C．π是有理数
D．x2－5x＝0的根是自然数
解析：
选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．
3．（2010年高考山东卷）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
答案：
D
4．下列命题中真命题的个数为（ ）
①面积相等的两个三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．
5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．如果A⊆B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么（∁UA）∩B＝∅
C．如果A⊆B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A⊆B
解析：
选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．
6．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形
B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆N
C．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零
D．若x2＋x＋1<0，则x∈R
解析：
选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1二、填空题
7．命题：
一元二次方程x2＋bx－1＝0（b∈R）有两个不相等的实数根．则条件p：
________，结论q：
________，是________（填“真”或“假”）命题．
答案：
一元二次方程为x2＋bx－1＝0（b∈R） 有两个不相等的实数根 真
8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．（只填序号）
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边．
解析：
根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．
①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．
答案：
②③ ②③
9．给出下列几个命题：
①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
②若a>b，则a2>b2；
③若x>－3，则x2＋x－6≤0；
④若a，b是无理数，则ab也是无理数．
其中的真命题有________个．
解析：
①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝（
）
，b＝
，则ab＝（
）2＝2是有理数，假命题．
答案：
1
三、解答题
10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：
（1）若整数a是偶数，则a能被2整除；
（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（3）相等的两个角的正切值相等．
解：
（1）条件p：
整数a是偶数，结论q：
a能被2整除，真命题．
（2）命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：
一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：
该四边形是矩形，真命题．
（3）命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：
两个角相等，结论q：
这两个角的正切值相等，假命题．
11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
（3）已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解：
（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
（2）若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝
.
（3）已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
12．已知p：
x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0（m∈R）无实根，求使p正确且q正确的m的取值范围．
解：
若p为真，则
解得m>2.
若q为真，则Δ＝16（m－2）2－16<0，解得1p真，q真，即
故m的取值范围是（2,3）．
1．（2011年高考福建卷）若a∈R，则“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：
选A.a＝2⇒（a－1）（a－2）＝0，但（a－1）（a－2）＝0⇒a＝1或2，故选A.
2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A.由于“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．
3．用符号“⇒”或“
”填空：
（1）整数a能被4整除________a的个位数为偶数；
（2）a>b________ac2>bc2.
答案：
（1）⇒
（2）
4．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的什么条件？
解：
当a＝2时，直线ax＋2y＝0，即2x＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，
因为直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，
所以
＝1，a＝2，
综上，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件．
一、选择题
1．设集合M＝{x|0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B.M＝{x|02．（2010年高考福建卷）若向量a＝（x,3）（x∈R），则“x＝4是|a|＝5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：
选A.由x＝4知|a|＝
＝5；反之，由|a|＝
＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.
3．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过原点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.
4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q
p，所以q是p的必要条件．
5．已知条件：
p：
y＝lg（x2＋2x－3）的定义域，条件q：
5x－6>x2，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A.p：
x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；
q：
5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，
由小集合⇒大集合，
∴q⇒p，但p⇒/q．故选A.
6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是（ ）
①p：
x>1，q：
－3x<－3；②p：
x>1，q：
2－2x<2；③p：
x＝3，q：
sinx>cosx；④p：
直线a，b不相交，q：
a∥b.
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选C.①由于p：
x>1⇒q：
－3x<－3，所以p是q的充分条件；
②由于p：
x>1⇒q：
2－2x<2（即x>0），所以p是q的充分条件；
③由于p：
x＝3⇒q：
sinx>cosx，所以p是q的充分条件；
④由于p：
直线a，b不相交
q：
a∥b，所以p不是q的充分条件．
二、填空题
7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：
x2－3x＋2<0⇔（x－1）（x－2）<0⇔1答案：
18．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．
解析：
在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．
答案：
充要
9．下列不等式：
①x<1；②0解析：
由于x2<1即－1答案：
②③④
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
（1）p：
|x|＝|y|，q：
x＝y；
（2）p：
△ABC是直角三角形，q：
△ABC是等腰三角形；
（3）p：
四边形的对角线互相平分，q：
四边形是矩形．
解：
（1）∵|x|＝|y|⇒/x＝y，
但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
（2）△ABC是直角三角形
△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形
△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
（3）四边形的对角线互相平分
四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．命题p：
x>0，y<0，命题q：
x>y，
>
，则p是q的什么条件？
解：
p：
x>0，y<0，则q：
x>y，
>
成立；
反之，由x>y，
>
⇒
>0，
因y－x<0，得xy<0，即x、y异号，
又x>y，得x>0，y<0.
所以“x>0，y<0”是“x>y，
>
”的充要条件．
12．已知条件p：
－1≤x≤10，q：
x2－4x＋4－m2≤0（m>0）不变，若綈p是綈q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？
解：
p：
－1≤x≤10.
q：
x2－4x＋4－m2≤0
⇔[x－（2－m）][x－（2＋m）]≤0（m>0）
⇔2－m≤x≤2＋m（m>0）．
因为綈p是綈q的必要而不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，
即{x|－1≤x≤10}
{x|2－m≤x≤2＋m}，
故有
或
，
解得m≥8.
所以实数m的范围为{m|m≥8}．
1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则（ ）
A．p∨q为假 B．q为假
C．q为真D．不能判断
答案：
B
2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（ ）
A．简单命题
B．“p或q”形式的复合命题
C．“p且q”形式的复合命题
D．“非p”形式的复合命题
答案：
C
3．判断下列命题的形式（从“p∨q”、“p∧q”中选填一种）：
（1）6≤8：
________；
（2）集合中的元素是确定的且是无序的：
________.
答案：
p∨q p∧q
4．已知命题p：
6是12的约数，q：
6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．
解：
“p∧q”：
6既是12的约数又是24的约数．
“p∨q”：
6是12或24的约数．
“綈p”：
6不是12的约数．
一、选择题
1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么（ ）
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定为真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
解析：
选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．
2．若命题p：
0是偶数，命题q：
2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ）
A．p∧qB．p∨q
C．綈pD．（綈p）∧（綈q）
解析：
选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．
3．命题p：
a2＋b2<0（a，b∈R）；命题q：
a2＋b2≥0（a，b∈R），则下列结论中正确的是（ ）
A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假D．“綈q”为真
解析：
选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．
4．若命题p：
2m－1（m∈Z）是奇数，命题q：
2n＋1（n∈Z）是偶数，则下列说法正确的是（ ）
A．p∨q为真B．p∧q为真
C．綈p为真D．綈q为假
解析：
选A.命题p：
“2m－1（m∈Z）是奇数”是真命题，而命题q：
“2n＋1（n∈Z）是偶数”是假命题，所以p∨q为真．
5．已知命题p：
所有有理数都是实数，命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．（綈p）∨qB．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）
解析：
选D.p为真，q为假，所以綈q为真，（綈p）∨（綈q）为真．
6．给出两个命题：
p：
函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：
若
<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是（ ）
A．（綈p）∨qB．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）
解析：
选D.对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×（－1）＝5>0.
可知函数有两个不同的零点，故p为真．
当x<0时，不等式
<1恒成立；
当x>0时，不等式的解为x>1.
故不等式
<1的解为x<0或x>1.
故命题q为假命题．
所以只有（綈p）∨（綈q）为真．故选D.
二、填空题
7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题：
（1）若x∈A∪B，则x∈A________x∈B；
（2）若x∈A∩B，则x∈A________x∈B；
（3）若ab＝0，则a＝0________b＝0；
（4）a，b∈R，若a＞0________b＞0，则ab＞0.
答案：
（1）或
（2）且 （3）或 （4）且
8．设命题p：
2x＋y＝3；q：
x－y＝6.若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
解析：
若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，
所以有
解得
答案：
3 －3
9．命题“若a解析：
命题“若a2a≥2b”，命题的否定为“若a答案：
若a≥b，则2a≥2b 若a三、解答题
10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题：
（1）方程x2－3＝0没有有理根；
（2）不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2或x<－1}．
解：
（1）这个命题是“綈p”的形式，其中p：
方程x2－3＝0有有理根．
（2）这个命题是“p或q”的形式，其中p：
不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}，q：
不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．
11．判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，綈p形式的命题的真假：
（1）p：
负数的平方是正数，q：
有理数是实数；
（2）p：
2≤3，q：
3<2；
（3）p：
35是5的倍数，q：
41是7的倍数．
解：
（1）p真，q真，∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题；
（2）p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题；
（3）p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．
12．设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：
（1）由x2－4ax＋3a2<0得
（x－3a）（x－a）<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由
解得
即2所以q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则
⇔2所以实数x的取值范围是（2,3）．
（2）綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p⇒綈p且綈q
綈q.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A
B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是（1,2]．
1．下列是全称命题且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x
>1D．∀x，y∈R，x2＋y2>0
答案：
B
2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是（ ）
A．一次函数都不是单调函数
B．非一次函数都不是单调函数
C．有些一次函数是单调函数
D．有些一次函数不是单调函数
解析：
选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．
3．（2010年高考安徽卷）命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
答案：
存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
4．
（1）用符号“∀”表示命题“不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根”；
（2）用符号“∃”表示命题“存在实数x，使sinx>tanx”．
解：
（1）∀m∈R，x2＋x－m＝0有实根．
（2）∃x0∈R，sinx0>tanx0.
一、选择题
1．下列语句不是特称命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x0∈R,2x0＋1是奇数
答案：
C
2．（2010年高考湖南卷）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1
C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0
解析：
选C.对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝
时，tanx＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．
3．下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0∈R，
＝x0
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：
选D.A中含有全称量词“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C是特称命题．所以选D.
4．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．∃x0，y0∈R，使x
＋y
≥2x0y0
C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．∃x0<0，y0<0，使x
＋y
≤2x0y0
解析：
选A.这是一个全称命题，且x，y∈R，故选A.
5．下列命题的否定是假命题的是（ ）
A．p：
能被3整除的整数是奇数；綈p：
存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：
每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：
存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：
有的三角形为正三角形；綈p：
所有的三角形不都是正三角形
D．p：
∃x0∈R，x
＋2x0＋2≤0；綈p：
∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0
解析：
选C.p为真命题，则綈p为假命题．
6．下列命题中，假命题的个数是（ ）
①∀x∈R，x2＋1≥1；
②∃x0∈R,2x0＋1＝3；
③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；
④∃x0∈R，x
＋2x0＋3＝0.
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选B.①②③都是真命题，而④为假命题．
二、填空题
7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：
________.
解析：
命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．
答案：
有些函数没有奇偶性
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________（用符号表示），是________命题（填“真”或“假”）．
解析：
原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．
答案：
∃x0，y0∈R，x0＋y0>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假
9．下列命题：
①存在x0<0，使|x0|>x0；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.
其中，所有正确命题的序号为________．
解析：
命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有an答案：
①②③
三、解答题
10．判断下列语句是不是命题？
如果是，说明其是全称命题还是特称命题：
（1）有一个向量a0，a0的方向不能确定；
（2）存在一个函数f（x0），使f（x0）既是奇函数又是偶函数；
（3）对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；
（4）平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？
解：
（1）
（2）（3）都是命题，其中
（1）
（2）是特称命题，（3）是全称命题．由于（4）是一个问句，因此（4）不是命题．
11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）二次函数的图象是抛物线；
（2）直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
（3）∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
解：
（1）綈p：
∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．
（2）綈p：
在直角坐标系中，∃x
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