25平行线的判定.docx

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25平行线的判定

2.5平行线的判定

【知识精华点击】

课标要求

1.掌握平行线的判定公理及判定定理；

2.能运用平行线的判定公理及判定定理、平行公理的推理判定两条直线是否平行.

本节重点是平行线的判定公理及判定定理

难点：

综合运用上述知识进行计算和证明.

教材详解

判定方法1：

（1）内容：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（2）简称：

同位角相等，两直线平行。

（3）推理格式：

如图2.5-1，∵∠1=∠5（已知），

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.

判定方法2：

（1）内容：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（2）简称：

内错角相等，两直线平行。

（3）推理格式：

如图2.5-1，∵∠3=∠5（已知），

∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.

判定方法3：

（1）内容：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（2）简称：

同旁内角互补，两直线平行

（3）推理格式：

如图2.5-1，∵∠4+∠5=180°（已知），

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.

判定方法4：

平行公理推论

如图2.5-2，∵a∥c,b∥c,（已知）

∴a∥b.（平行于同一条直线的两条直线平行）

【名师优质讲堂】

例题精析

例1如图2.5-3，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明AB//CD。

图2.5-3

分析观察图形，从标出的3个角可知：

∠1与∠3是同位角，若能说明∠1=∠3，则可根据“同位角相等，两直线平行”，说明AB//CD。

由图可知，∠1与∠2互为邻补角，由邻补角定义知∠1+∠2=180°，已知∠2=3∠1，故∠1可求。

又由∠1+∠3=90°，可求∠3。

解∵∠1+∠2=180°，（邻补角定义）

∠2=3∠1（已知）

∴∠1+3∠1=180°（等量代换）

可得∠1=45°

∵∠1+∠3=90°（已知）

∴∠3=45°

∴∠1=∠3

∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）

说明平行线的一个判定公理和两个判定定理是我们判定两条直线平行的主要依据，本题在得出∠1=∠3之后，由∠1+∠2=180°，可得∠2+∠3=180°，再由平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”完成推理，这是判定AB//CD的第二种方法；还可在算出∠1+∠2=180°后，利用∠1的对顶角等于∠3，再由平行线判定定理“内错角相等，两直线平行”完成推理，这是判定AB//CD的第三种方法。

【变式1】如图2.5-4，已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD。

图2.5-4

分析要判定AB//CD，先要寻找与AB、CD都相交的第三条直线，这里有两条：

BD和DE。

其中与已知条件中∠1、∠2都有直接联系的直线是DE。

联系平行线判定定理，可知∠EDC（∠1的内错角）、∠FDG（∠1的同位角）、以及∠EDF（∠1的同旁内角）应是我们关注的对象。

想一想，选择哪个角作为我们解题的突破口比较好呢？

解∵DE平分∠BDC（已知）

∴∠2=∠EDC（角平分线定义）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠EDC=∠1（等量代换）

∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）

【变式2】如图2.5-5，已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN。

图2.5-5

分析要说明PQ//MN，关键在于确定“第三条直线”，该题中较为明显的直线是AB。

在“三线八角”中，与已知条件∠1、∠2有明显联系的是∠QAB、∠ABN，这是一对同旁内角，至此，解题途径已经明朗。

解∵AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN

∴∠QAB=2∠1，∠ABN=2∠2

∵∠1+∠2=90°

∴2∠1+2∠2=180°

∴∠QAB+∠ABN=180°

∴PQ//MN（同旁内角互补，两直线平行）

说明“同位角、内错角、同旁内角”是判定两条直线平行时涉及的基本元素，其关键是确定“第三条直线”，这条直线一旦确定，“同位角、内错角、同旁内角”随之而定。

剩下的问题是根据题设条件选择运用哪一个判定定理。

在很多情况下，题中的已知条件不是直接说明结论的条件，因此必须根据这些已知条件，结合学过的几何公理、定义等，得出新的可供推理的条件，并设法沟通这些条件，使其成为判断直线平行的直接条件。

弄清了“由什么，得什么”，“根据什么，推出什么”，一步一步便能找到说理的思路。

灵活地选择判定直线平行的方法，离不开对图形的仔细观察和对已知条件的“充分发掘”。

例2如图2.5-6所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,

∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?

为什么?

分析由已知不难判定a∥b，b∥c，故可判定a∥c.

解平行.理由如下：

∵∠1=∠2,

∴a∥b（内错角相等，两直线平行）,

又∵∠3+∠4=180°,

∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）,

∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

说明有时虽然已知条件中与角有关的信息比较多，但却很难（或根本不能）由角的关系来判定所给两直线是否平行，这时可尝试选择运用平行公理推论判定.

【变式】如图2.5-7，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系.

分析由已知条件无法直接判断，故需要添加辅助线，构造能运用课本上介绍的方法的条件，这里选择过E点作直线EF，将问题转化为例2的情形.

解过E作∠BEF=∠B，则AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.

∵∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，∴∠DEF=∠D（等式性质）,

∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）.

∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

例3某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）

A．第一次左拐30°，第二次右拐30°

B．第一次右拐50°，第二次左拐130°

C．第一次右拐50°，第二次右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°

分析两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．

解如图2.5-8所示（实线为行驶路线）：

图2.5-8

只有A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．故选A．

说明本题考查平行线的判定，正确画出示意图是解决问题的关键．

【变式1】如图2.5-9，不能判断AD∥BC的条件是（　　）

A.∠1=∠2B.∠ADC+∠C=180°C.∠EAD=∠ABCD.∠3=∠4

图2.5-9

分析欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被三条直线所截，其中∠3和∠4是被BD所截的内错角，∠ADC和∠C是被CD所截的同旁内角，∠EAD和∠ABC是被AB所截的同位角，根据平行线的判定性质只要∠3=∠4、∠EAD=∠ABC、∠ADC+∠C=180°成立可以判定AD∥BC．A不能判定AD∥BC.

解故选A．

【变式2】如图2.5-10，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）

图2.5-10

A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等

解∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故选A．

例4如图2.5-11所示，由已知条件推出结论正确的是（　　）

A．由∠1=∠5，可以推出AB∥CDB．由∠3=∠7，可以推出AD∥BC

C．由∠2=∠6，可以推出AD∥BCD．由∠4=∠8，可以推出AD∥BC

图2.5-11图2.5-12

分析由∠1=∠5，可以推出AD∥BC，故A错误；由∠3=∠7，可以推出AB∥CD，故B错误；由∠2=∠6，可以推出AB∥CD，故C错误；由∠4=∠8，可以推出AD∥BC，故D正确．

解选D．

说明解决这类问题的关键是弄清所给两角是否是两直线被第三条直线所截的同位角或内错角或同旁内角。

【变式】如图2.5-12，∠3=∠4，则下列条件中不能推出AB∥CD的是（　　）

A．∠1与∠2互余B．∠1=∠2C．∠1=∠3且∠2=∠4D．BM∥CN

解若∠1=∠2，又已知∠3=∠4，则∠DCB=∠ABC，则AB∥CD；若∠1=∠3且∠2=∠4，又已知∠3=∠4，所以∠DCB=∠ABC，则AB∥CD；若BM∥CN，则∠1=∠2．因为∠3=∠4，所以∠DCB=∠ABC，则AB∥CD．只有∠1与∠2互余无法判定AB∥CD．故选A．

为什么错

1.张冠李戴错误

例5如图2.5-13，已知∠1=∠3，则图中平行的直线是．

图2.5-13

错解填“AB∥CD”。

分析错解误认为∠1、∠3是直线AB，CD被直线AC所截的内错角，所以得到错解“AB∥CD”，实际上∠1、∠3是直线AD，BC被直线AC所截的内错角，所以应该是AD∥BC.

正解填“AD∥BC”。

2.认错三线八角

例6如图2.5-14，能判断EG∥CH的条件是（　　）

A．∠FEB=∠ECDB．∠GEC=∠ECH

C．∠BEC+∠ECD=180°D．∠AEG=∠DCH

图2.5-14

错解选D.

分析要判定EG∥CH，显然截线是CF，故所得内错角是∠GEC与∠ECH，而不是∠AEG与∠DCH，其实∠AEG与∠DCH根本就不是三线八角。

正解选B．

探究平台

例7如图2.5-15，AB⊥BE于B，CD⊥DF于D，要使AB∥CD，还需补充什么条件?

请你写出所需条件.

分析　要使AB∥CD，只要使∠B＝∠CGE，因AB⊥BE于B，从而∠B＝90°，故只需∠CGE＝90°；考虑到CD⊥DF于D，故∠D＝90°，从而∠CGE＝∠D即可；又由∠CGE＝∠D可知BE∥DF.

解　答案不惟一.如，∠CGE＝∠D，或BE∥DF.等等.

说明　本题是属于条件探索型的问题，即要得到某一结论，但还缺少条件，要求补充完整，往往所补充的条件不惟一的题.

【变式1】在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定

分析如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知l1与l8的位置关系是平行．

解∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，

∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．

∵l1⊥l2，∴l1∥l8．

故选A．

【变式2】在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）

A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线

解如图2.5-16所示：

图2.5-16

不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．故选D．

【智能分级演练】

知识达标

1.选择题

（1）图2.5-17中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角．由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（　　）

A.∠2+∠4=180°B.∠3+∠8=180°C.∠5+∠6=180°D.∠7+∠8=180°

图2.5-17图2.5-18图2.5-19

（2）如图2.5-18，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　）

A．∠3=∠4B．∠A+∠ADC=180°C．∠1=∠2D．∠A=∠5

（3）如图2.5-19，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（　　）

A．∠2=70°B．∠2=100°C．∠2=110°D．∠3=110°

（4）如图2.5-20，能判定EB∥AC的条件是（　　）

A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE

图2.5-20图2.5-21图2.5-22

（5）如图2.5-21，以下条件能判定GE∥CH的是（　　）

A.∠FEB=∠ECDB.∠AEG=∠DCHC.∠GEC=∠HCFD.∠HCE=∠AEG

（6）如图2.5-22，下列条件不能判定直线a∥b的是（　　）

A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠1+∠4=180°D.∠2+∠4=180°

（7）如图2.5-23，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（　　）

A．AB∥CDB．AD∥BCC．∠B=∠DD．∠3=∠4

图2.5-23图2.5-24图2.5-25

（8）如图2.5-24，不能作为判断AB∥CD的条件是（　　）

A.∠FEB=∠ECDB.∠AEC=∠ECDC.∠BEC+∠ECD=180°D.∠AEG=∠DCH

（9）如图2.5-25，在下列结论给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）

A．∠2+∠A=180°B．∠A=∠3C．∠1=∠4D．∠1=∠A

（10）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（　　）

A．a∥dB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c

（11）下列命题中，不正确的是（　　）

A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

（12）如图2.5-26，下列说法中，正确的是（　　）

A．因为∠A+∠D=180°，所以AD∥BCB．因为∠C+∠D=180°，所以AB∥CD

C．因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CDD．因为∠A+∠C=180°，所以AB∥CD

图2.5-26图2.5-27图2.5-28

（13）如图2.5-27所示，能说明AB∥DE的有（　　）

①∠1=∠D；②∠CFB+∠D=180°；③∠B=∠D；④∠BFD=∠D．

A．1个B．2个C．3个D．4个

（14）如图2.5-28，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，则下列结论正确的是（　　）

A．∠A=∠CB．∠E=∠FC．AE∥FCD．AB∥DC

（15）在下图中，∠1=∠2，能判断AB∥CD的是（　　）

A．B．C．D．

2.填空题

（1）如图2.5-29所示，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出符合要求的一个条件。

图2.5-29图2.5-30图2.5-31

（2）如图2.5-30所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件。

（3）如图2.5-31，∠1=60°，∠2=60°，则直线a与b的位置关系是。

（4）如图2.5-32，请在括号内填上正确的理由：

因为∠DAC=∠C（已知），所以AD∥BC。

（5）我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图2.5-33，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方法是。

图2.5-32图2.5-33图2.5-34

（6）如图2.5-34：

已知∠2=∠3，则∥。

（7）如图2.5-35，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°这个零件合格吗？

（填“合格”或“不合格”）．

图2.5-35图2.5-36图2.5-37图2.5-38

（8）如图2.5-36所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是。

（9）如图2.5-37，木工利用直角尺在木板上画出两条直线，则直线ABCD．

（10）如图2.5-38，装修工人向墙上钉木条．若∠2=100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于。

3.如图2.5-39，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN？

图2.5-39图2.5-40图2.5-41

4.如图2.5-40，已知∠1=∠2，AF平分∠PAB，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN？

5.利用图2.5-39和图2.5-40中的“∠1=∠2”这一条件，还能判定哪两条直线平行？

为什么？

6.已知，如图2.5-41，∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？

为什么？

7.如图2.5-42，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1＝∠2.则DF与AE平行吗？

为什么？

8.已知，如图2.5-43，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠1=60°．求证：

AB∥CD．

9.如图2.5-44：

在下列括号中填写推理理由

∵∠l=135°（）

∴∠3=∠135°（）

又∵∠2=45°（）

∴∠2+∠3=45°+135°=180°,

∴a∥b（）

10.如图2.5-45，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：

AB∥CD．

图2.5-45

能力挑战

11.学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图2.5-46

（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

图2.5-46

A．①②B．②③C．③④D．①④

12.如图2.5-47，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（　　）

A．4组B．3组C．2组D．1组

图2.5-47图2.5-48

13.如图2.5-48所示，已知直线BF、CD相交于点O，∠D=40°，下面判定两条直线平行正确的是（　　）

A．当∠C=40°时，AB∥CDB．当∠A=40°时，AC∥DE

C．当∠E=120°时，CD∥EFD．当∠BOC=140°时，BF∥DE

14.如图2.5-49是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是，这是因为．

图2.5-49图2.5-50图2.5-51

15.如图2.5-50，因为（只要求写出一个条件），所以AB∥CD．

16.如图2.5-51，AB⊥BD，CD⊥MN，垂足分别是B、D点，∠FDC=∠EBA．

（1）判断CD与AB的位置关系；

（2）BE与DF平行吗？

为什么？

17.如图2.5-52：

∠1=∠2．能判断AB∥DF吗？

为什么？

若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个什么样的条件？

并请说明理由．

图2.5-52图2.5-53图2.5-54

18.如图2.5-53，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？

为什么？

自主创新

19.如图2.5-54，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．

（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；

（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；

（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？

若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．

20．小颖用七巧板拼了一个小猪（如图2.5-55）：

（1）请你在图中找出一组互相平行的线段并标上字母，然后再用平行符号表示出来；

（2）请你在图中找出一组互相垂直的线段并标上字母，然后再用垂直符号表示出来；

（3）请你在图中找出一个钝角并标出字母，然后用角的符号表示出来．

图2.5-55

答案与提示

1.

（1）B提示：

∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，∴∠3=∠4，∴L1∥L2（内错角相等，两直线平行）．

（2）C提示：

∵∠1=∠2，∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）．

（3）C提示：

∵∠1=70°，要使AB∥CD，则只要∠2=180°-70°=110°（同旁内角互补两直线平行）．

（4）D提示：

A和B中的角不是三线八角中的角；C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行．D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC．

（5）C提示：

∠FEB=∠ECD，∠AEG=∠DCH，∠HCE=∠AEG错误，因为它们不是GE、CH被截得的同位角或内错角；∠GEC=∠HCF正确，因为它们是GE、CH被截得的内错角．

（6）C提示：

A,∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；B,∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C,∠1+∠4=180°与a，b的位置无关；D、∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

（7）B提示：

∵∠1=∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．

（8）D提示：

A正确，∵∠FEB=∠ECD，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．B正确，∵∠AEC=∠ECD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．C正确，∵∠BEC+∠ECD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

（9）D提示：

A,∵∠2+∠A=180，∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行）；B,∵∠A=∠3，∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）；C,∵∠1=∠4，∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）．

（10）C提示：

∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d．

（11）C提示：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，符合平行线的判定，A正确；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，符合平行线的判定，B正确；两条直线被第三条直线所截，位置不确定，不能准确判定这两条直线平行，C错误；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，符合平行线的判定，D正确．

（12）C提示：

因为∠A+∠D=180°，由同旁内角互补，两直线平行，所以AB∥CD，A错误；因为∠C+∠D=180°，由同旁内角互补，两直线平行，所以AD∥BC，B错误；C正确；∠A与∠C不能构成三线八角，无法判定两直线平行，D错误．

（13）C提示：

①∵∠1=∠D，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；②∵∠CFB=∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D=180°，∴∠AFD+∠D=180°，∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；④∵∠BFD=∠D，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；所以①②④都能说明AB∥DE．

（14）D提示：

∵∠EMD=65°，∠MNB=115°，∴∠CMN=∠EMD=65°，∴∠CMN+∠MNB=180°，∴AB∥DC．

（15）D提示：

选项A、B、C中的∠1与∠2都不是直线AB、CD形成的同位角，所以不能判断A