小学奥数王峰数论5余数问题.docx

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小学奥数王峰数论5余数问题

教案

教师：

__王鑫___学生：

_王峰上课时间：

学生签字：

____________

数论（五）余数问题

【知识点概述】

一、带余除法的定义及性质：

1.带余除法的定义：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有

a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；

（1）当

时：

我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

（2）当

时：

我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

2.和余数相关的一些重要性质：

（以下a,b,c均为自然数）

性质1：

余数小于除数

性质2：

性质3：

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

性质4：

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以

除以5的余数等于

。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以

除以5的余数等于

除以5的余数，即2.

【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余

1.同余定义

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm）

同余式读作：

a同余于b，模m

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：

如果有a≡b（modm），

那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）

这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

例如：

（1）

，因为

（2）

，因为

（3）

，因为

由上面的（3）式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为

例如，我们表示a是一个偶数，可以写为

表示b为一个奇数，可以写为

我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。

2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。

）

性质1：

a≡a（modm）（反身性）

性质2：

若a≡b（modm）,那么b≡a（modm）（对称性）

性质3：

若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm）（传递性）

性质4：

a≡b（modm）,c≡d（modm）,那么a±c≡b±d（modm）（可加减性）

性质5：

若a≡b（modm），c≡d（modm）,那么ac≡bd（modm）（可乘性）

性质6：

若a≡b（modm），那么an≡bn（modm）,（其中n为自然数）

性质7：

若ac≡bc（modm），（c，m）＝1,那么a≡b（modm）

三.弃九法

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：

检验算式

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

原理：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：

弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：

检验算式

时，

5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现

，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理

1.中国古代趣题：

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：

“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

”答曰：

“二十三。

”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：

假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：

因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由

，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数

是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

，其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算

得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.

【习题精讲】

【例1】（难度级别※）

一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例2】（难度级别※）

有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

【例3】（难度级别※）

求478×296×351除以17的余数。

【例4】（难度级别※）

求

的余数

【例5】（难度级别※）

用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

【例6】（难度级别※）

用弃九法检验乘法算式5483×9117＝49888511是否正确。

【例7】（难度级别※※）

已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

【例8】（难度级别※※）

号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【例9】（难度级别※※）

一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？

【例10】（难度级别※※）

一堆糖果，如果每2块分一堆剩1个，每3块分一堆剩1个….每10个分一堆也剩1个，且这堆糖果的个数在99－5000之间，求这堆糖果的个数？

【例11】（难度级别※※※）

求自然数

的个位数字。

【例12】（难度级别※※※）

自然数

的个位数字是多少?

【例13】（难度级别※※※）

若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。

问此数为何？

【例14】（难度级别※※※）

有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?

【例15】（难度级别※※※）

一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?

【例16】（难度级别※※※※）

将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?

【例17】（难度级别※※※※）

已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。

那么，最小的一个自然数是多少？

【例18】（难度级别※※※※）

已知

，求n被9整除后所得的商的个位数字是几？

【例19】（难度级别※※※※※）

对于任意7个不同的整数，证明：

其中一定存在2个数的和或差是10的倍数。

【例20】（难度级别※※※※※）

有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和

【作业】

1、求19992000÷7的余数

2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

（四中小升初选拔试题）

3、用弃九法检验算式运算是否正确：

1144192613÷28997＝39459

4、有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数的可能范围。

5、一个两位数除以13的不完全商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

6、有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？

7、若a为自然数，证明

8、

除以7的余数是多少（2008年101中学考题）

9、某个自然数被187除余52，被188除余52，那么这个自然数被22除的余数是多少？