22函数的图象.docx
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22函数的图象
2.2函数的图象
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课标要求
1．能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析；
2．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
本节重点是用描点法画函数图象、从图象中获取信息对变量的变化情况进行分析；难点是画函数图象.
教材详析
1.根据解析式画函数图象的一般步骤
第一步：
列表.列表要时注意
（1）把自变量的值放在第一行，函数值放在第二行；
（2）要在自变量的取值范围内，按从小到大的顺序取值.
第二步：
描点.描点时要注意把自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，这也是画函数图象的易错点.
第三步：
连线.注意两点
（1）连线要按自变量从小到大的顺序进行；
（2）要把所有的点用平滑的曲线连接起来.
2函数图象上的点与函数解析式之间的关系
（1）函数图象上任意一点P（a,b）中的x,y一定满足该函数的解析式；
（2）以满足函数解析式的任意一对x,y的值作为横、纵坐标的点（a,b）必定在函数图象上.
3.判断点P（a,b）是否在函数图象上
把横坐标a代入解析式，求出函数y的值，如果y=a,那么点P就在函数图象上；如果y≠b,则点P不在函数图象上.
4.函数图象的识图与读图
首先，要看清两条坐标轴的意义，由此明确点的横纵坐标的意义；
其次，要看清自变量的取值范围和函数值的取值范围；
第三，要看清函数图象的起伏变化，从图象的高低看出函数值的大小.
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例题精析
例1画函数y=x2的图象.
分析由解析式可得，自变量x的取值范围是任意实数，所以先取x=0,再在0的左右对称取值.
解
（1）列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
4
1
0
1
4
…
（2）描点如图2.2-1：
（3）连线如图2.2-1：
图2.2-1图2.2-2
说明画函数的图象时，一般都要按列表、描点、连线这三步完成，其中列表时要注意自变量x的取值要在其取值范围内进行；描点时要注意坐标的构成，x,y一前一后，不能颠倒位置；连线时一定要按从左到右的顺序，用平滑的曲线连接.
【变式】画函数y=
的图象.
解
（1）列表：
x
…
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
…
y
…
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1
…
（2）描点如图2.2-2：
（3）连线如图2.2-2：
例2用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
分析因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所以周长L与边长a的函数关系可表示为L=3a，自变量a必须满足条件a>0.
解解析式是L=3a；用图象法表示如图2.2-3：
列表：
a
…
1
2
3
4
…
L
…
3
6
9
12
…
描点、连线：
图2.2-3图2.2-4
说明在列表时，应考虑自变量x的取值范围，本题中自变量的取值范围是a>0，所以图象是一条不包括端点的射线，点O处用空心圆点来表示．
【变式1】甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
解由题意可知，x秒后甲车行驶路程为20x米，乙车行驶路程为25x米.两车行驶路程差为25x-20x=5x米，两车之间距离为（500-5x）米.y随x变化的函数关系式为：
y=500-5x（0≤x≤100）
列表如下：
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
100
y
500
450
400
350
300
250
200
150
100
0
用描点法画图如图2.2-4.
【变式1】如图2.2-5，点A为直角坐标系中x轴的负半轴上一点．以0A为边长作正方形AOBC，点B在y轴的正半轴上．A点坐标为（x，0）．
图2.2-5
（1）若正方形AOBC的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）试作出y随x变化而变化的图像．
解
（1）由已知，得0A＝|x|＝一x．
∵正方形AOBC的面积为OA2＝（一x）2＝x2．
∴y＝x2．自变量x的取值范围是x<0.
（2）列表：
x
—3
—2
—1
0
y
9
4
l
0
在直角坐标系中描点、连线，得其图像如图2.2-6所示．
图2.2-6图2.2-7
例3某跳水运动员进行一次跳水训练，图2.2-7表示这次跳水时的身体（看作一个点）离水面的高度与时间的关系，请根据图象回答下列问题．
（1）此图的变化中，是自变量，是自变量的函数；
（2）点A表示的含义是；
（3）从起跳到入水一共用了的时间；
（4）在第秒时，运动员的身体到达最高点；最高点离水面米．
分析观察图象，可得
（1）x轴单位为秒，y轴单位为米，根据题意分析可得时间是自变量，高度是函数；
（2）A点坐标是（0.8,10），与起跳时的高度一样；（3）因为1.2秒时，纵坐标为0，故从起跳到入水一共用了1.2秒；（4）因为图象的最高点的坐标为（0.4，10.6），故可得在第0.4秒时，运动员的身体到达最高点；最高点离水面10.6米．
解
（1）时间,高度；
（2）0.8秒时，运动员与起跳时的高度一样高；（3）1.2秒；（4）0.4，10.6.
说明看图象时，首先要看两轴，弄清坐标轴所表示的意义；其次要看图象上关键点的坐标，弄清图象上的点所表示的意义；第三要看最高点和最低点，弄清图象上的最高点和最低点所分别表示的意义.最高点对应着因变量的最大值；最底点对应着因变量的最小值.
【变式】图2.2-8中的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图形情况，根据图形提供的信息，下列结论错误的是（ ）
图2.2-8
A.这一天的温差是10℃B.在0：
00--4：
00时气温在逐渐下降
C.在4：
00--14：
00时气温都在上升D.14：
00时气温最高
解这一天的最高温度为32℃，最低温度为22℃，所以这一天的温差为10℃，故A正确；在0：
00--4：
00时气温在逐渐下降，故B正确；在4：
00--6：
00气温上升，6：
00--8：
00气温没有变化，8：
00--14：
00时气温在上升，故C错误；14：
00时气温最高，故D正确．选C.
说明读图时一定要弄清图象上的上升线部分、下降线部分、水平线部分所分别表示的意义：
上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加，下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少，水平线表示因变量不随自变量取值的增加而发生变化.
例4小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图2.2-9中的折线表示小亮的行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
图2.2-9
A．他离家8km共用了30minB．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350m/min
解从图中折线的最右端的坐标是（30,8）可以看出，小亮离家8km共用了30min，故A正确；由中间水平线段的两个端点坐标分别是（10,1），（16,1）知，他等公交车时间为16-10=6min，B正确；由最左边的的线段的两个端点坐标分别是（0,0），（10,1）知，他步行1km用时10min，所以速度是100m/min，C也正确.所以D错误，选D.
说明对于折线型图象，一般是由线段或线段和射线连接而成，看图象时，一定要抓住线段的两个端点的坐标，或射线的端点和其中任一点的坐标，由此通过计算和推理，获取信息并解决问题.本题中公交车的速度应该是（8-1）×1000÷（30-16）=7000÷14=500m/min.
【变式】一水池有二个进水口，一个出水口，一个水口在单位时间内的进、出水量如图2.2-10中甲、乙所示、某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点一定不进水不出水．则正确的论断是．（填上所有正确论断的序号）
图2.2-10
解由图象可知，进水速度为1，出水速度为2，①0点到3点时，蓄水量增加速度为：
6÷3=2，说明开放两个进水口，关闭出水口，即只进水，正确；②3点到4点时，蓄水量减少速度为：
（6-5）÷（4-3）=1，说明开放一个进水口，一个出水口，错误；③4点到6点时，蓄水量持平，可能不进水不出水，或者开放二个进水口，一个出水口，错误．故填①.
为什么错
1.忽视自变量的取值范围
例5一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
升）随行驶里程x（单位：
千米）的增加而减少，若这辆汽车平均耗油0.2升/千米，则y与x函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
错解根据题意知，随着行驶里程越来越大，油箱中的汽油越来越少，所以选C.
分析错解忽略了自变量x的取值范围，导致错误.因为汽车平均耗油0.2升/千米，所以60升汽油只能供汽车行驶60÷0.2=300千米，也就是说，当x=300时，y=0，汽车就停止行驶了，而显然x≥0,所以0≤x≤300，故图象是线段，而不是直线.D正确.
正解选D.
2.没有弄清坐标轴的意义
例6小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），则s与t的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
错解选A.
分析错解没有弄清纵轴的意义，这里S表示小刚所走的路程，而不是离家的距离.小刚取车的整个过程共分三个阶段：
①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；②在同学家逗留期间，s不变；③骑车返回途中，速度是徒步速度的3倍，s随t的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡，所以只有B选项符合．
正解选B.
3.不能准确理解图象的意义
例7如图2.2-11是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y（米）与时间x（天）之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是米．
图2.2-11
错解288÷4×8=576米，填576.
分析错解没有弄清图象的意义，误以为前4天的修路速度相同，导致出错.根据图象可知，前2天的修路速度一样，后6天的修路速度相同.因为第3,4天共修路288-180=108米，所以后6天的修路速度是每天修108÷2=54米，共修54×6=324米，可知该公路的长度是180+324=504米．
正解填504.
探究平台
例8打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量
（升）与时间
（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）
分析由已知，开始洗衣机内无水，所以图象应该从原点开始，故B,C不符合题意；又因为第三个过程是排水，所以衣机内的水越来越少，故A不对.
解选D.
说明这类题目一般都以我们的生活为背景，以选择题的形式出现，解题时，一定要把握根据题目提供的情节，抓住题目的一些关键字句（如本题中的“洗衣机内无水”和“进水、清洗、排水时洗衣机中的水量”），结合我们的生活经验分析图象的变化过程是否与题意相符，并采用排除法逐项排除错误选项，进而得出正确答案.
【变式1】如图2.2-12，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为
，瓶中水位的高度为
，下列图象中最符合故事情景的是（ ）
解要选择出符合问题情景的图象必须透彻分析乌鸦的衔石与喝水过程.从乌鸦看到瓶的那刻起到衔石放入瓶中，时间在增加，而瓶中水位的高度
没有发生变化，因而可排除图象C；当乌鸦不断衔来一个个小石子放入瓶中的过程中，水位不断上升，据此可排除图象A；乌鸦喝水的过程中，瓶中水位的高度逐渐下降，但其水位不能低于开始的水的高度，而图象B确是低于的，故排除B；所以选D.
【变式2】如图2.2-13，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF，一动点P从点A出发沿着A→B→C→D→E方向匀速运动，最后到达点E.运动过程中△PEF的面积（s）随时间（t）变化的图象大致是（）
解由图2.2-13，由于△PEF的边EF不变，故把EF作为底，P点到EF的距离作为高，于是△PEF的面积随着高（即P点到EF的距离）的变化而变化，而高又随着P点的运动而变化，显然，当P点在AB上运动时，高不变，这时△PEF的面积也不变，从而可以排除D；当P点在BC上运动时，高逐渐变小，△PEF的面积也随着变小，但从A,C的图象中，P点没动面积就直接变小，故不符合题意。
选B.
说明这类题目常以点在图形中的运动为背景，解题时，找出不变量，抓住关键的变量（如本题中的EF不变，高变化，面积变化），结合图形和图象，综合分析排除错误选项.
例9如图2.2-14，是著名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题：
图2.2-14
（1）在这个图形所表示的变化过程中自变量、因变量各是什么？
2小时后，记忆大约保持了多少？
（2）图中点A表示的意义是什么？
（3）图中的遗忘曲线还告诉你什么相关信息？
请写出其中一条信息．
分析
（1）可以由图象的横纵坐标可以直接得到自变量是时间、因变量是记忆的保持量，再由图象可得2小时后，记忆大约保持了40%；
（2）由图象的意义说明15小时后，记忆的保持量是多少；（3）答案不唯一，根据自己的认识说一条相关信息即可．
解
（1）根据图象可知：
记忆的保存量随时间的变化而变化，∴在这个图形所表示的变化过程中自变量是时间、因变量是记忆的保持量，2小时后，记忆大约保持了40%；
（2）图中点A表示的意义是15小时后，记忆的保持量是多少；
（3）图中的遗忘曲线还告诉我随时间的加长，人的记忆保持量会逐渐减少，两个小时内减少的最快．
说明读图时，也要弄清上升线、下降线的坡度所分别表示的意义.上升线越平缓表示随自变量的增加函数的取值增加的越慢；上升线越陡表示随自变量的增加函数的取值增加的越快；下降线越平缓表示随自变量的增加函数的取值减少的越慢；下降线越陡表示随自变量的增加因变量的取值减少的越快.
【变式】小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图2.2-15），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是（ ）
图2.2-15
A．B．C．D．
解从图象上看小亮的路程走平路不变是不正确的，故A不是．从图象上看小亮走的路程随时间有一段更少了，不正确，故B不是．小亮走的路程应随时间的增大而增大，两次平路的两条直线互相平行，此图象符合，故C正确．因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样，所以不应是一条直线，不正确，故D不是．选C.
例10（2012•吉林）在如图2.2-16所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
图2.2-16
情境a：
小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：
小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是、（填写序号）；
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
分析
（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案．
解
（1）∵情境a：
小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；
∵情境b：
小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故依次填③，①．
（2）答案不唯一，如：
小芳从家出发，到书店买书停留了一段时间，买完书后就以原速返回家中.
说明这类问题的关键是理解情景和图象的关系，把情景中的两个变量的关系与图象表示的两个变量的函数对应起来.
【变式】甲、乙、丙三人同时从A村出发去B村，刚开始甲骑自行车载乙，丙步行；a小时后甲骑车中途回头接丙，乙步行，结果三人同时到达B地．假设：
乙、丙步行速度相同，甲载乙与甲载丙时速度相同，甲载人与不载人时的速度不同，甲、乙、丙三人与A村之间的距离y（千米）与出发的时间x（小时）之间的函数关系如图2.2-17．（掉头与上下车时间忽略不计）
图2.2-17
（1）选择：
甲与A村之间的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数图象为折线（）
A.O-M-P B.O-N-P C.O-M-N-P D.O-N-M-P
乙与A村之间的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数图象为折线（）
A.O-M-P B.O-N-P C.O-M-N-P D.O-N-M-P
丙与A村之间的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数图象为折线（）
A.O-M-P B.O-N-P C.O-M-N-P D.O-N-M-P
（2）求步行速度，和甲载人骑车时的速度；
（3）求a的值以及甲骑车走过的总路程．（写出必要的演算和推理过程）
分析
（1）根据题意的描述，分析可得甲乙丙三人的行动路线，由此可得答案；
（2）根据图象，可得N的坐标，由N的坐标可得步行的速度，再结合P的坐标，可得甲载人骑车时的速度；（3）根据题意，有NP∥OM，由
（2）的结果，可得M的坐标，即可得a的值，进而可得甲的总路程．
解
（1）根据题意，甲先骑自行车载乙，a小时后甲骑车中途回头接丙，载丙到B村，故其函数图象是折线O-M-N-P，C正确；
乙先被甲骑自行车载着，再步行到B村，故其函数图象是折线O-M-P，A正确；
丙先步行，再被甲骑自行车载着到B村，故其函数图象是折线O-N-P，B正确；
（2）根据题意，乙、丙步行速度相同，且N的坐标为（
，
），可得步行速度为
÷
=3千米/小时，P的坐标为（
，
），则甲载人骑车时的速度为（
-
）÷（
-
）=12千米/小时；
（3）根据题意，三人同时到达B地，且乙、丙步行速度相同，故甲载乙与甲载丙的时间相同，故a=
-
=
，总路程为=
×12+（
-
）×3=10.5．
【智能分级演练】
知识达标
1.选择题
（1）如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
第1
（1）题图A．B．C．D．
（2）张老师在做实验时，将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却，如图是这杯水冷却时的温度变化图，根据图中所显示的信息，下列说法不正确的是（ ）
第1
（2）题图第1（3）题图
A．水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6分钟
B．从开始冷却后14分钟时的水温是15℃
C．实验室的室内温度是15℃
D．水被自然冷却到了10℃
（3）如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（ ）
A．这一天中最高气温是24℃
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
（4）一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当x=0时，函数值最大；②当0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；③存在0＜x0＜1，当x=x0时，函数值为0．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（5）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是（ ）
第1（4）题图第1（5）题图
A．男生在13岁时身高增长速度最快
B．女生在10岁以后身高增长速度放慢
C．11岁时男女生身高增长速度基本相同
D．女生身高增长的速度总比男生慢
（6）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）
第1（6）题图A．B．C．D．
（7）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（ ）
第1（7）题图
A．B．C．D．
（8）向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟后停止注水1分钟，然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
（9）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：
方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：
①图象甲描述的是方式A；②图象乙描述的是方式B；③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．其中，正确结论的个数是（ ）
第1（9）题图第1（10）题图
A．3B．2C．1D．0
（10）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（ ）
A．小莹的速度随时间的增大而增大
B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C．在起跑后180秒时，两人相遇
D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
2.填空题
（1）某商店出售茶杯，茶杯的个数与钱数之间的关系，如图所示，由图可得每个茶杯
元．
第2
（1）题图第2
（2）题图
（2）某图书出租屋，有一种图书的租金y（元）与出租的天数x（天）之间的关系图象如图所示，则两天后，每过一天，累计租金增加元．
（3）往杯子里注水（单位时间内的注水量保持不变），杯中水的高度h与注水时间t的关系如图所示，则杯子的形状可能是（填序号）．
第2（3）题图
（4）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化规律如图．（图中OABC为一折线），这个容器的形状是．
（5）一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h与时间t的关系应是在下面右边六个图象中的（填标号）．
第2（5）题图
（6）如图是某地湖水在一年中各个月的最高温度和最低温度统
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