高中数学立体几何知识点总结大全.doc
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立体几何知识点总结
一、空间几何体的结构及其三视图与直观图
1．空间几何体的结构
（1）多面体
几何体
结构特征
备注
棱柱
①底面互相平行.
②侧面都是平行四边形.
③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.
按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
棱锥
①底面是多边形.
②侧面都是三角形.
③侧面有一个公共顶点.
三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.
棱台
①上、下底面互相平行，且是相似图形.
②各侧棱的延长线交于一点.
③各侧面为梯形.
可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥
（2）旋转体
几何体
结构特征
备注
圆柱
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.
圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
圆锥
①底面是圆面.
②有无数条母线，长度相等且交于顶点.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.
圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
圆台
①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.
②有无数条母线，等长且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.
圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
球
①球心和截面圆心的连线垂直于截面.
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：
.
球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.
2．空间几何体的三视图
（1）三视图的概念
①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；
②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；
③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.
（2）三视图的画法规则
①排列规则：
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：
正
侧
俯
②画法规则
ⅰ）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；
ⅱ）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；
ⅲ）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.
③线条的规则
ⅰ）能看见的轮廓线用实线表示；
ⅱ）不能看见的轮廓线用虚线表示.
（3）常见几何体的三视图
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.
②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
注释
直观图的面积与原图面积之间的关系
①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，
②直观图面积是原图面积的倍.
二、空间几何体的表面积与体积
1．旋转体的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
注释
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：
2．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体
体积
柱体
（S为底面面积，h为高）
（r为底面半径，h为高）
锥体
（S为底面面积，h为高）
（r为底面半径，h为高）
台体
（S′、S分别为上、下底面面积，h为高），
（r′、r分别为上、下底面半径，h为高）
注释
（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系
（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；
（3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
3．球的表面积和体积公式
设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.
注释
球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
三、空间点、直线、平面之间的位置关系
1．平面的基本性质
名称
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内
Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α
公理2
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα
公理2的推论
推论1
经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面
若点直线a，则A和a确定一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
⇒有且只有一个平面，使，
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
⇒有且只有一个平面，使，
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
Pα，且Pβ⇒α∩β=l，Pl，且l是唯一的
公理4
———l1
———l2
———l
平行于同一直线的两条直线平行
l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2
2．等角定理
（1）自然语言：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
（2）符号语言：
如图
（1）、
（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，，则或.
图
（1）图
（2）
3．空间两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
（2）从是否共面的角度分类：
4．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.
（3）两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.
5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类
（1）直线和平面位置关系的分类
①按公共点个数分类：
②按是否平行分类：
③按直线是否在平面内分类：
（2）平面和平面位置关系的分类
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线.
注释
（1）唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（2）异面直线的判定方法
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
四、直线、平面平行的判定及其性质
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
简记为：
线线平行⇒线面平行
图形语言
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
简记为：
线面平行⇒线线平行
图形语言
符号语言
作用
①作为证明线线平行的依据．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据.
3．平面与平面平行的判定定理
文字语言
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
简记为：
线面平行⇒面面平行
图形语言
符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
4．平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简记为：
面面平行⇒线线平行
图形语言
符号语言
作用
证明线线平行
注释
1．平行问题的转化关系
2．常用结论
（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．
（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
（8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
五、直线、平面垂直的判定及其性质
1．直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：
l⊥α.图形表示如下：
注释
定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
简记为：
线线垂直⇒线面垂直
图形语言
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
注释
在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.
3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行.
简记为：
线面垂直⇒线线平行
图形语言
符号语言
⇒
作用
①证明两直线平行；
②构造平行线.
4．平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：
5．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
简记为：
线面垂直⇒面面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直
6．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记为：
面面垂直⇒线线平行
图形语言
符号语言
作用
证明直线与平面垂直
7．直线与平面所成的角
（1）定义：
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.
8．二面角
（1）二面角的定义：
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的平面角的定义：
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
（3）二面角的范围：
.
注释
1．垂直问题的转化关系
2．常用结论
（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
（5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．
（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
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