为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10
（2），六进制数341（6），十进制数一般不标注基数.
知识点二 k进制化为十进制
思考 2小时3分4秒共多少秒？
答案 共2×602＋3×60＋4＝7384秒.
梳理 一般地，将k进制数anan－1…a1a0（k）转化为十进制：
anan－1…a1a0（k）＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.
知识点三 除k取余法
思考 7384秒是多少小时多少分多少秒？
答案 7384＝123×60＋4，即123分钟4秒.而123分钟＝2×60＋3，即2小时3分.故7384秒是2小时3分4秒.
梳理 一般地，把十进制的数化为k进制的数的方法是：
把十进制数除以k，余数为k进制的个位数.把商再除以k，余数为k进制倒数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.
1.二进制数中可以出现数字3.（ × ）
2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.（ √ ）
3.不同进制数之间可以相互转化.（ √ ）
类型一 k进制化为十进制
例1 二进制数110011
（2）化为十进制数是什么数？
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化为十进制
解 110011
（2）＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.
反思与感悟 将k进制数anan－1…a1a0（k）化为十进制数的方法：
把k进制数anan－1…a1a0（k）写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.
跟踪训练1
（1）把二进制数1110011
（2）化为十进制数.
（2）将8进制数314706（8）化为十进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
解
（1）1110011
（2）＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.
（2）314706（8）＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104902.
所以，化为十进制数是104902.
类型二 十进制化k进制
例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
解 算式如图，
则458＝13022（4）＝2042（6）.
反思与感悟 十进制数化为k进制数的思路为
→
→
.
跟踪训练2 把89化为二进制数.
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化二进制
解 算式如图，
则89＝1011001
（2）.
类型三 两种非十进制互化
例3 324（5）化为二进制数是________.
考点 k进制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 1011001
（2）
解析 先将五进制数324（5）化为十进制数：
324（5）＝3×52＋2×5＋4＝89，再把十进制数89化成二进制数的算法
如图.
得1011001
（2），∴324（5）化为二进制数是1011001
（2）.
反思与感悟 两种非十进制之间转化以十进制为中转站.
跟踪训练3 将七进制数235（7）化为八进制数为________.
考点 k进制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 174（8）
解析 235（7）＝2×72＋3×71＋5×70＝124，
利用除8取余法可得124＝174（8），
所以235（7）＝174（8）.
1.已知175（r）＝125（10），则r的值为（ ）
A.1B.5
C.3D.8
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 D
解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15（舍去），∴r＝8，故选D.
2.下列各数中，最小的数是（ ）
A.85（9）B.210（6）
C.1000（4）D.111111
（2）
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 D
解析 85（9）＝8×9＋5＝77,210（6）＝2×62＋1×6＋0＝78,1000（4）＝1×43＝64,111111
（2）＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.
3.把189化为三进制数，则末位数是（ ）
A.0B.1
C.2D.3
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
答案 A
解析 采用“除k取余法”，得
即189＝21000（3）.
4.已知10b1
（2）＝a02（3），则a＋b的值为（ ）
A.0B.1
C.2D.3
考点 k进位制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 C
解析 ∵10b1
（2）＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，
a02（3）＝a×32＋2＝9a＋2，
∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.
∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，
∴当a＝1，b＝1时符合题意，
当a＝2，b＝
时不合题意，
∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，
故选C.
5.
（1）将二进制数
（2）转化成十进制数；
（2）将53（8）转化为二进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 其它进位制之间的互化
解
（1）
（2）＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.
（2）先将八进制数53（8）转化为十进制数：
53（8）＝5×81＋3×80＝43；
再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.
所以53（8）＝101011
（2）.
1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.
2.十进制数化为k进制数（除k取余法）的步骤：
3.把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个非十进制数.
一、选择题
1.下列各数可能是五进制数的是（ ）
A.55B.106
C.732D.2134
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制的概念
答案 D
解析 五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字.
2.下列写法正确的是（ ）
A.751（16）B.751（7）
C.095（12）D.901
（2）
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制的概念
答案 A
解析 七进制不可能有数字7，二进制也不可能有数字9，B，D错.C项首位为0，也错.
3.两个二进制数101
（2）与110
（2）的和用十进制数表示为（ ）
A.12B.11
C.10D.9
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 B
解析 101
（2）＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110
（2）＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.
4.四位二进制数能表示的最大十进制数是（ ）
A.4B.64
C.255D.15
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 D
解析 由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1111时表示的十进制数最大，
此时，1111
（2）＝15.
5.已知44（k）＝36，把67（k）转化为十进制数为（ ）
A.8B.55
C.56D.62
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 B
解析 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.
则67（k）＝67（8）＝6×81＋7×80＝55.
6.下列与二进制数1001101
（2）相等的是（ ）
A.115（8）B.113（8）
C.114（8）D.116（8）
考点 k进位制化十进制
题点 其它进位制间的互化
答案 A
解析 先化为十进制数：
1001101
（2）＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，
再化为八进制：
所以77＝115（8），
所以1001101
（2）＝115（8）.
7.已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于（ ）
A.7或4B.－7
C.4D.都不对
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 132（k）＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，
∴k2＋3k＋2＝30，
即k2＋3k－28＝0，
解得k＝4或k＝－7（舍去）.
8.三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是（ ）
A.322B.402
C.342D.365
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 三位七进制数中的最大数为666（7），则转化为十进制为666（7）＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.
9.下列四个数最大的是（ ）
A.322（7）B.402（6）
C.342（7）D.355（6）
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 342（7）＝3×72＋4×7＋2＝177，
402（6）＝4×62＋0×6＋2＝146.
所以342（7）＞402（6）.
而342（7）＞322（7），402（6）＞355（6），
所以最大的数是342（7）.
10.类似于十进制中的逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0,1,2，…，9和字母M，N作计数符号，这些符号与十进制的数字对应关系如下表：
十二进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M
N
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如，因为563＝3×122＋10×12＋11，所以十进制中的563在十二进制中就表示为3MN.那么十进制中的2008在十二进制中被表示为（ ）
A.11N4B.1N25
C.12N4D.1N24
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
答案 A
解析 利用除12取余法得
∴2008（10）＝11N4（12）.
二、填空题
11.若146（x）＝66，则x的值为________.
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 6
解析 146（x）＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.
可得x＝6.
12.若6×6＝44，则在这种进制里的数76记成十进制数是________.
考点 k进制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 62
解析 设44为k进制数，而6×6＝36，
∴44（k）＝36.
∴4×k＋4＝36，∴k＝8.
故76（8）＝7×8＋6＝62.
三、解答题
13.将五进制数44（5）转化为二进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 其它进制之间的互化
解 44（5）＝4×51＋4×50＝24，
所以24＝11000
（2），即44（5）＝11000
（2）.
四、探究与拓展
14.已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为________________.
考点 k进制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 33（4）<12（16）<25（7）
解析 将三个数都化为十进制数.
12（16）＝1×16＋2＝18,25（7）＝2×7＋5＝19，
33（4）＝3×4＋3＝15，
∴33（4）<12（16）<25（7）.
15.十六进制数与十进制数的对应如表：
十六进制数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
十进制数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
例如：
A＋B＝11＋12＝16＋7＝F＋7＝17（16），所以A＋B的值用十六进制表示就等于17（16）.
试计算：
A×B＋D＝________.（用十六进制表示）
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 92（16）
解析 ∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，
146÷16＝9…2,9÷16＝0…9，
∴用十六进制表示146为92（16）.
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