《统计学》第五章时间数列补充例题.docx
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《统计学》第五章时间数列补充例题
第五章动态数列
例1、“九五”时期我国国内生产总值资料如下：
单位：
亿元
年份
国内生产总值
其中
第一产业
第二产业
第三产业
1996
1997
1998
1999
2000
67884.6
74462.6
78345.2
82067.4
89403.5
13844.2
14211.2
14552.2
14472.0
14212.0
33612.9
37222.7
38619.3
40557.8
45487.8
20427.5
23028.7
25173.5
27037.7
29703.8
试计算“九五”时期我国国内生产总值和其中各产业的平均发展水平。
解：
【分析】这是时期数列资料，可按简单算术平均数（
）计算平均发展水平。
计算结果如下：
国内生产总值平均发展水平78432.7亿元
其中：
第一产业平均发展水平14258.3亿元；第二产业平均发展水平39100.1亿元；第三产业平均发展水平25074.2亿元。
例2、我国人口自然增长情况见下表：
单位：
万人
1986年
1987年
1988年
1989年
1990年
比上年增加人口
1656
1793
1726
1678
1629
试计算我国在“七五”时期年平均增加人口数量。
解：
【分析】新增长人口是时期指标，故平均增加人口数量仍用
计算。
年平均增加
（万人）
例3、某商店2010年商品库存资料如下：
单位：
万元
日期
库存额
日期
库存额
1月1日
1月31日
2月28日
3月31日
4月30日
5月31日
6月30日
63
60
55
48
43
40
50
7月31日
8月31日
9月30日
10月31日
11月30日
12月31日
48
45
45
57
60
68
试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均库存额。
解：
这是一个等间隔时点数列，用“首末折半法”计算：
例4、某企业2002年各月份记录在册的工人数如下：
1月1日
2月1日
4月1日
6月1日
9月1日
12月1日
12月31日
在册工人数
326
330
335
408
414
412
412
试计算2002年该企业平均工人数。
解：
【分析】这是不等间隔时点数列，用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数：
=385（人）
例5、某企业2002年各季度计划利润和利润计划完成程度的资料如下：
计划利润（万元）
利润计划完成（%）
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
860
887
875
898
130
135
138
125
试计算该企业年度利润计划平均完成百分比。
解：
【分析】应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计算：
该企业利润年平均计划完成百分比（%）
例6、1995-2000年各年底某企业职工工人数和工程技术人员数资料如下：
年份
职工人数
工程技术人员
1995
1996
1997
1998
1999
2000
1000
1020
1085
1120
1218
1425
50
50
52
60
78
82
试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重。
解：
【分析】这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题。
分子和分母均应按“首末折半法”计算序时平均数后加以对比。
工程技术人员占全部职工工人数比重（%）
=
例7、某工厂2003年上半年工人数和工业总产值资料如下：
月份
月初工人数（人）
总产值（亿元）
1
2
3
4
5
6
1850
2050
1950
2150
2216
2190
2.50
2.72
2.71
3.23
3.74
3.73
另外，7月初工人数为2250人。
根据上述资料计算：
（1）上半年平均工人数。
（2）上半年平均总产值。
（3）上半年平均劳动生产率。
（4）上半年劳动生产率。
解：
【分析】解答本题要明确劳动生产率的概念；认识月初工人数是时点指标，总产值是时期指标，然后采用相应的方法计算序时平均数加以对比。
（1）上半年平均工人数
（2）上半年平均总产值
（3）上半年平均劳动生产率
（4）上半年劳动生产率
例8、某公司的两个企业2004年2月份工业增加值及每日工人在册资料如下：
企业
增加值（万元）
工人数
1-15日
16-20日
21-28日
甲
乙
415
452
330
332
312
314
245
328
试计算各企业和综合两企业的月劳动生产率
解：
先按
公式计算平均工人数
甲企业：
乙企业：
全公司：
计算结果如下表：
企业
增加值（万元）
平均工人数（人）
月劳动生产率（元/人）
（1）
（2）
（3）=
（1）÷
（2）
甲
乙
415
452
302.5
327.6
13719
13797
合计
867
630
13762
例9、试利用动态指标的互相联系来确定某市生产总值动态数列水平和所缺的环比动态指标：
年份
生产
总值
（亿元）
环比动态指标
增长量
（亿元）
发展速度（%）
增长速度（%）
增长1%绝对值（亿元）
2000
353
2001
24
2002
106.1
2003
7.25
2004
2005
32
4.59
2006
108
2007
42
2008
612
5.72
2009
48
解：
【分析】动态分析指标中增长速度与发展水平、前期水平与增长1%绝对值的关系是解答本题的依据。
就是结果如下表所示：
年份
生产
总值
（亿元）
环比动态指标
增长量
（亿元）
发展速度（%）
增长速度（%）
增长1%绝对值（亿元）
2000
353
——
——
——
——
2001
377
24
106.8
6.8
3.53
2002
400
23
106.1
6.1
3.77
2003
429
29
107.25
7.25
4.00
2004
459
30
107.0
7.0
4.29
2005
491
32
107.0
7.0
4.59
2006
530
39
108
8.0
4.91
2007
572
42
107.9
7.9
5.30
2008
612
40
107.0
7.0
5.72
2009
660
48
107.8
7.8
6.12
平均增长量=
平均发展速度=
=
平均增长速度=1.072-1=0.072
即该市生产总值年平均总值34.11亿元，平均发展速度107.2%。
例10、已知某公司所属甲、乙两工厂2001年利税各为500万元与1000万元，其环比增长速度如下：
单位：
%
2002年
2003年
甲厂
乙厂
12.5
10.0
10
15
试通过计算确定哪个工厂平均增长速度较高？
整个公司哪年的发展速度较快？
解：
各年份利税总量指标计算如下：
单位：
%
2001年
2002年
2003年
甲厂
乙厂
500
1000
500×1.125=562.5
1000×1.1=1100
562.5×1.1=618.75
1100×1.15=1265
合计
1500
1662.5
1883.75
平均增长速度：
甲厂：
乙厂：
乙厂的平均增长速度比甲厂高1.23个百分点
公司发展速度：
2002年：
2003年：
说明整个公司2003年发展速度较快。
例11、某地区粮食产量1985—1987年平均发展速度是1.03，1988—1989年平均发展速度是1.05，1990年比1989年增长6%，试求1985—1990年六年的平均发展速度。
解：
【分析】本题的基年是1984年，前后跨度七年，可理解为对6项环比发展速度按几何平均法计算其平均值。
平均发展速度
例12、1995年我国国内生产总值5.76万亿元。
“九五”的奋斗目标是到2000年增加到9.5万亿元，远景目标是2010年比2000年翻一番。
试问：
（1）“九五”期间将有多大平均增长速度？
（2）1996—2010年（以1995年为基期）平均每年发展速度多大才能实现远景目标？
（3）2010年人口控制在14亿内，那时人均国内生产总值达到多少元？
解：
（1）平均发展速度=
“九五”平均增长速度将达到10.52%
（2）至2010年国内生产总值将达到的规模是：
实现远景目标的平均增长速度为：
（3）2010年人均国内生产总值将达到的水平是：
例13、某煤矿采煤量如下：
日期
产量
日期
产量
日期
产量
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
301
302
304
291
298
310
305
312
315
310
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
308
319
320
323
296
290
328
330
334
338
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
336
334
338
338
339
345
342
356
350
351
求：
（1）按五日和按旬合并煤产量，编成时间数列；
（2）按五日和按旬计算平均日产量，编成时间数列；（3）运用移动平均法（时距扩大为四天和五天）编制时间数列。
解：
（1）
（2）按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列。
某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列
单位：
吨
日期起止
煤产量
平均日产量
日期起止
煤产量
平均日产量
1-5
6-10
11-15
1496
1552
1566
299.2
310.4
313.2
16-20
21-25
26-30
1615
1685
1744
323
337
348.8
某煤矿每10日的采煤量和每10日平均每日采煤量的时间数列
单位：
吨
日期起止
1-10
11-20
21-30
煤产量
平均日产量
3048
304.8
3181
318.1
3429
342.9
（3）运用移动平均法（时距扩大为四天和五天）编制时间数列:
五天移动平均：
第一个平均数为
对正第三天原值。
依次类推移动平均，得出五天移动平均数列共26项。
四天移动平均：
第一个平均数为
对着第2-3项中间。
第二个平均数为
对着第2-3项中间。
依次类推移动平均，得出四天移动平均数列。
最后进行二项移正平均。
日期
产量
趋势值
五天移动平均
四天移动平均
两项移正平均
1
301
—
—
—
2
302
—
—
299.50
3
304
229.2
299.10
298.75
4
291
301.0
299.75
300.75
5
298
301.6
300.88
301.00
6
310
303.2
303.75
306.25
7
305
308.0
308.50
310.50
8
312
310.4
310.50
310.50
9
315
310.0
310.90
311.25
10
310
312.8
312.10
313.00
11
308
314.4
313.60
314.25
12
319
316.0
315.90
317.50
13
320
313.2
316.00
314.50
14
323
309.6
310.90
307.25
15
296
311.4
308.30
309.25
16
290
313.4
310.25
311.00
17
328
315.6
315.80
320.50
18
330
323.0
325.90
331.25
19
334
332.2
332.30
333.25
20
333
333.4
333.80
334.25
21
336
335.1
334.80
335.25
22
334
335.8
336.00
336.50
23
338
337.0
337.00
337.25
24
338
338.8
338.60
340.00
25
339
340.4
340.50
341.00
26
345
344.4
343.25
345.50
27
342
346.4
346.90
348.25
28
356
348.8
349.00
349.75
29
350
—
—
—
30
351
—
—
例14、某地区年粮食总产量如下表所示：
年份
产量（万吨）
年份
产量（万吨）
1
2
3
4
5
230
236
241
246
252
6
7
8
9
10
257
262
276
281
286
要求：
（1）试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型的？
（2）如果是直线型，请用最小平方法配合直线趋势方程。
（3）预测第11年的粮食生产水平。
解：
（1）列表如下：
年份
产量y
逐期增长量
年份
产量y
逐期增长量
1
2
3
4
5
230
236
241
246
2525
—
6
5
5
6
6
7
8
9
10
257
262
276
281
286
5
5
14
5
5
从逐期增长量可以看出，各期增长量大体相同，所以变化趋势是直线型的。
（2）配合直线趋势方程如下：
年份
产量
时间代码
趋势值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
230
236
241
246
252
257
262
276
281
286
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
81
49
25
9
1
1
9
25
49
81
-2070
-1652
-1205
-738
-252
252
786
1380
1967
2574
228.17
234.51
240.85
247.19
253.53
259.87
266.21
272.55
278.89
285.23
2567
0
330
1047
2567
把上表数据代入简化了的方程组：
解得
，
则配合的直线方程为
（3）预测第11年（
）粮食产量为：
例15、以下是某厂的单位产品成本和配合方程的相关数据：
年份
金额（元）
环比速度（%）
1995
1996
1997
1998
1999
2000
435
422
407
395
382
370
—
97.01
96.45
97.05
96.71
96.86
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
2.6385
2.6253
2.6096
2.5966
2.5821
2.5682
2.6385
5.2506
7.8288
10.3864
12.9105
15.4092
—
—
21
91
15.6203
54.424
预测2001年的单位产品水平。
解：
【分析】从以上资料可知环比速度大体相同，所以其发展趋势是指数曲线型的，方程式为
设
下面用最小二乘法配合曲线方程。
所以
例16、某市1999——2002年各月毛衣销售量如下：
单位:
件
月份
1999
2000
2001
2002
月平均
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8000
6000
2000
1000
600
400
800
1200
2000
5000
21000
25000
15000
9000
4000
2500
1000
800
1200
2000
3500
8500
34000
35000
24000
15000
6000
4000
2000
1100
3200
4000
7000
15000
42000
48000
28000
14000
8000
3000
1200
900
3700
4800
8300
14000
47000
51000
18750
1100
5000
2625
1200
800
2225
3000
5200
10625
36000
39754
根据上表资料按月平均法计算季节比率。
解：
【分析】先计算出各年同月份的月平均数（即上表的“月平均”）和各年所有月份的月总平均数，然后将12个各年同月的平均数分别除以各年所有月份的月总平均数，得到12个季节比率，比率高说明是旺季，比率低说明是淡季。
通过计算，各年所有月份的平均数（月总平均数）为
=11348.25
所计算的季节比率如下表：
月份
季节比率（%）
月份
季节比率（%）
1
2
3
4
5
6
165.22
96.93
44.06
23.13
10.57
7.05
7
8
9
10
11
12
19.61
26.44
45.82
93.63
317.23
350.31
季节比率的具体计算：
如1月份的季节比率=
如12月份的季节比率=
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