高考数学专题集合.docx

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高考数学专题集合

高考数学专题：

集合

最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）任何集合都有两个子集.（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

解析　

（1）错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.

（2）错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.

（3）错误.当x＝1，不满足互异性.

（4）错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2.（必修1P7练习2改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A

解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2

，知a∉A.

答案　D

3.（·全国Ⅰ卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________.

A.

B.

C.

D.

解析　易知A＝（1，3），B＝

，所以A∩B＝

.

答案　D

4.（·石家庄模拟）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A.{1，4}B.{1，5}

C.{2，5}D.{2，4}

解析　由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}.

答案　D

5.已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

答案　2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A.1B.3C.5D.9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C.0D.0或

解析　

（1）当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；

当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的取值为0或

.

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　

（1）第

（1）题易忽视集合中元素的互异性误选D.第

（2）题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.

（2）用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

【训练1】

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

（2）由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意，舍去；

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－

.

答案　

（1）2　

（2）

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BAC.A⊆BD.B＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　

（1）若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（·长郡中学质检）若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A.{1，2}B.{x|x≤1}

C.{－1，0，1}D.R

（2）（·郑州调研）已知集合A＝{x|

＝

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A.2B.－1

C.－1或2D.

或2

解析　

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.

（2）由

＝

，得x＝2，则A＝{2}.

因为B＝{1，m}且A⊆B，

所以m＝2.

答案　

（1）A　

（2）A

考点三　集合的基本运算

【例3】

（1）（·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A.5B.4

C.3D.2

（2）（·浙江卷）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A.[2，3]B.（－2，3]

C.[1，2）D.（－∞，－2）∪[1，＋∞）

解析　

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.

（2）易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.

∴∁RQ＝{x|－2

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（∁RQ）＝{x|－2

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.

（2）一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

【训练3】

（1）（·石家庄模拟）设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是（　　）

A.N⊆MB.N∩M＝∅

C.M⊆ND.M∩N＝R

（2）（·山东卷）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A.{2，6}B.{3，6}

C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}

解析　

（1）易知N＝（－2，3），且M＝{－1，1}，∴M⊆N.

（2）∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，

又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U（A∪B）＝{2，6}.

答案　

（1）C　

（2）A

[思想方法]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.（·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（　　）

A.A＝BB.A∩B＝∅

C.ABD.BA

解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴BA.

答案　D

2.（·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）·（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A.{1}B.{1，2}

C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}

解析　由（x＋1）（x－2）<0，得－1

答案　C

3.（·肇庆模拟）已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则（　　）

A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B

解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝（1，＋∞），∴A∪B＝R.

答案　B

4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1]B.[1，＋∞）

C.[－1，1]D.（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，

得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].

答案　C

5.（·山东卷）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A.（－1，1）B.（0，1）

C.（－1，＋∞）D.（0，＋∞）

解析　由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝（0，＋∞）.

又B＝{x|x2－1<0}＝（－1，1）.

因此A∪B＝（－1，＋∞）.

答案　C

6.（·浙江卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁UP）∪Q＝（　　）

A.{1}B.{3，5}

C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}

解析　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴（∁UP）∪Q＝{1，2，4，6}.

答案　C

7.若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3

C.7D.31

解析　具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案　B

8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}

C.{x|0≤x≤1}D.{x|0

解析　

∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.

∴∁U（A∪B）＝{x|0

答案　D

二、填空题

9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案　（－∞，1]

10.（·天津卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.

解析　由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.

答案　{1，3}

11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.

解析　由x（x＋1）>0，得x<－1或x>0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1，0）.

答案　[－1，0）

12.（·石家庄质检）已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x

解析　由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，

又B＝{x|x

所以m＋1>2017，则m>2016.

答案　（2016，＋∞）

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.（·全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则（∁RS）∩T＝（　　）

A.[2，3]B.（－∞，－2）∪[3，＋∞）

C.（2，3）D.（0，＋∞）

解析　易知S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∴∁RS＝（2，3），

因此（∁RS）∩T＝（2，3）.

答案　C

14.（·黄山模拟）

集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}

C.{x|0

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

答案　B

15.（·南昌十所省重点中学模拟）设集合A＝

，B＝{x|y＝ln（x2－3x）}，则A∩B中元素的个数是________.

解析　由

≤2x≤16，x∈N，

∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.

又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，

∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.

答案　1

16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＋n＝________.

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n）可知m<1，

则B＝{x|m

所以m＋n＝0.

答案　0