勾股定理练习6.docx

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勾股定理练习6

第十八章勾股定理

测试1勾股定理

（1）

学习要求：

掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

（一）课堂学习检测

一、填空题：

1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么________＝c2；这一定理在我国被称为________．

2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

①若a＝5，b＝12，则c＝________；

②若c＝41，a＝40，则b＝________；

③若∠A＝30°，a＝1，则c＝________，b＝________；

④若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________．

3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________．

4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为________，斜边上的高为________．

5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为________．

二、选择题：

6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为（）．

（A）8（B）4（C）6（D）无法计算

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于（）．

（A）4（B）6（C）8（D）

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）．

（A）150cm2（B）200cm2（C）225cm2（D）无法计算

三、解答题：

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

（2）若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

（3）若c－a＝4，b＝16，求a、c；

（4）若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高hc；

（5）若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

（二）综合运用诊断

10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_________．

12．在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________．

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

（三）拓广、探究、思考

14．如图，△ABC中，∠C＝90°，

（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S1＋S2与S3的关系；

（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S1＋S2与S3的关系；

（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S1＋S2与S3的关系．

图①图②图③

测试2勾股定理

（2）

学习要求：

掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

（一）课堂学习检测

一、填空题：

1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为__________．

2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距________km．

3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________米路，却踩伤了花草．

4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞________米．

二、选择题：

5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）．

（A）5m（B）7m

（C）8m（D）10m

6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

三、解答题：

7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：

mm）计算两圆孔中心A和B的距离．

8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少m．

（二）综合运用诊断

一、填空题：

9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为________米．

10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为________（π取3）

二、解答题：

11．如图所示，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时梯子顶端A到墙底端O的距离为2m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯足在地面上滑出的距离BB’的长度是多少？

（精确到0.1m）

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？

若楼梯宽2米，每平方米地毯30元，那么这块地毯需花多少元？

（三）拓广、探究、思考

13．如图，两个村子A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

测试3勾股定理（3）

学习要求：

熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

（一）课堂学习检测

一、填空题：

1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝________，AB边上的高CE＝________．

2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝________，AC边上的高BE＝________．

3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝________，AB边上的高CD＝________．

4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为________．

5．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝________，AB＝________，BC边上的高AE＝________．

二、选择题：

6．已知直角三角形的周长为

斜边为2，则该三角形的面积是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）1

三、解答题：

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，

求AB的长．

8．在数轴上画出表示

及

的点．

（二）综合运用诊断

9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

11．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

12．已知：

如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：

AE2＋BF2＝EF2．

（三）拓广、探究、思考

13．已知：

如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：

DE2＝AD2＋BE2．

14．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝________，Sn＝__________．

测试4勾股定理的逆定理

学习要求：

掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

（一）课堂学习检测

一、填空题：

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）6、8，10，

（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．（填序号）

4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a2＋b2＞c2，则∠c为_________；

②若a2＋b2＝c2，则∠c为_________；

③若a2＋b2＜c2，则∠c为_________．

5．若△ABC中，（b－a）（b＋a）＝c2，则∠B＝_________；

6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．

7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数），则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为________．

8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为________，此三角形为

二、选择题：

9．下列线段不能组成直角三角形的是（）．

（A）a＝6，b＝8，c＝10（B）

（C）

（D）

10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是（）．

（A）1∶1∶2（B）1∶3∶4

（C）9∶25∶26（D）25∶144∶169

11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m（其中m2＝2n＋1），则此三角形（）．

（A）一定是等边三角形（B）一定是等腰三角形

（C）是直角三角形（D）形状无法确定

（二）综合运用诊断

12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

13．已知：

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

14．已知：

如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且

求证：

AF⊥FE．

15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

（1）两直线平行，同位角相等．

（2）若a＞b，则a2＞b2．

（3）若a2＝b2，则a＝b．

（4）如果△ABC≌△A'B'C'，那么BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'．

（5）全等三角形的三组对应角相等．

（三）拓广、探究、思考

16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

18．观察下列各式：

32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？

请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

全章测试

一、填空题：

1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为________．

2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为________．

3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为________cm．

4．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是________米．

5．已知直角三角形的三边长分别为a＋1、a＋2、a＋3，则a＝________．

6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝________．

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝________．

8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为________．

二、选择题：

9．下列三角形中，是直角三角形的是（）．

（A）三角形的三边满足关系a＋b＝c

（B）三角形的三边比为1∶2∶3

（C）三角形的一边等于另一边的一半

（D）三角形的三边为9，40，41

10．直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高长为h，则下列各式中总能成立的是（）．

（A）ab＝h2（B）a2＋b2＝2h2

（C）

（D）

11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于（）

（A）5（B）

（C）

（D）

三、解答题：

12．已知：

如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

13．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

14．已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：

AB2－AC2＝BC（BD－DC）．

15．已知：

△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

16．如图所示，有一个长方体，其长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，在点A处有一只蚂蚁，它想拖走B处的食物，回到A处，那么它需要爬行的最短路程应为多少？

17．图①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c．

图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；

（2）用这个图形证明勾股定理；

（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一组能证明勾股定理的图形吗？

请画出拼后的示意图．

图①图②

18．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个？

（全等的三角形只算一个）