企业退休职工养老金制度改革的模型.docx
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企业退休职工养老金制度改革的模型
企业退休职工养老金制度改革的模型
摘要
本文对第一个问题做出了合理的假设，建立了阻滞增长模型预测2011后的工资增长，在确定工资的最大值时
采用了经验估计的方法，根据我国经济发展战略目标和目前我国工资的实际水平，利用目前中等发达国家的工资来代替
。
在spss中拟合出了以后每年的工资数据，与我国实际基本吻合。
问题二由于个人工资变化情况比较复杂，在具体计算过程中，为了将问题简化，引入平均工资增长率这一概念。
影响平均工资增长率的因素有两个：
社会平均工资增长和企业平均工资增长。
利用题中的假设和附件给出的计算公式进行计算，算出本人指数化月平均缴费工资，进而算出基础养老金。
计算出职工退休前个人账户总额，进而算出个人账户养老金。
得出各种情况的替代率，并用表格进行了总结。
问题三在问题二的基础进行计算，对于职工个人账户余额所产生的利息进行了简化计算，不考虑复利的情况。
得出了个人缴存的养老金总额，利用问题二中算出的职工养老金额建立方程，可以解出收支平衡的月份，进而算出养老金的缺口。
但该方程编写程序比较，在具体计算时，查阅一个简单公式:
来计算收支平衡的月份。
进而算出各种情况下养老金的缺口。
问题四，在问题二和问题三的基础上，大致分析了影响替代率的因素，和影响收支平衡的因素。
建立了一个收支的不等式，讨论了既要维持收支平衡又要提高替代率所采取的措施：
根据缴费月数12*m来调整计划发养老金月数n，使二者近似相等达到收支平衡，同时通过提高个人缴费比划C和个人平均缴费指数R来提高替代率。
最后对模型的优缺点进行了讨论。
关键词：
替代率SPSS养老保险金缺口收支平衡阻滞模型
1问题重述
养老金也称退休金，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
这两个账户我们合称为养老保险基金。
个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。
近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。
我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。
问题一是对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并通过山东省职工历年平均工资数据，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二是根据2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三是假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡问。
题四是如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。
请给出你的理由。
2问题分析
针对问题一先对未来中国经济发展和工资增长的形势做出客观、合理的假设，然后用SPSS软件分析历史数据，得出一个阻滞增长模型，进而预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
针对问题二首先计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比把它们的比值看作职工缴费指数的参考值，进而计算不同情况下的养老金，再结合问题一就可以算出不同情况下的养老金替代率。
问题三结合前面两问，算出各种情况下的职工所投保险费可以支付职工的月数，养老金的实际缺口。
问题二和问题三采用附件给出的公式，进行计算。
在具体计算过程中，为了将问题简化，引入平均工资增长率这一概念，影响平均工资增长率的因素有两个：
社会平均工资增长和企业平均工资增长。
社会平均工资增长主要是由社会经济的发展引起的全社会工资的增长；企业平均工资增长，是由于职工由于工作经验和工作时间等因素引起的自身工资的增长。
问题四结合问题二和问题三其缴存的养老保险基金与领取的养老金之间达到收支平衡的条件，和影响替代率的因素。
3符号说明
P：
表示基础养老金；
Q:
表示个人账户养老金；
W：
退休前的上年度社会平均月工资；
S:
本人指数化月平均缴费工资
C：
表示个人账户缴费比例；
D：
表示社会统筹账户缴费比例；
V：
职工交养老金时的月工资；
U：
职工交养老金时的社会平均月工资；
R：
职工平均缴费指数；
T:
替代率；
m：
缴费年限；
n：
计发月数；
:
养老金之间达到收支平衡时的月份数；
为参保人员退休前i年本人缴费工资额；
为参保人员退休前i年全省社会平均工资；
称为退休前第i年的缴费指数
q：
社平工资增长率；
r：
个人账户记账利率；
Z1：
退休前个人账户总额；
Z2：
退休前社会统筹账户总额；
Z3：
退休后个人账户总额所产生的利息和；
Z：
养老金缺口；
4模型假设
1根据前三十年我国经济发展状况和经济发展战略目标，我国经济的增长，2010前经济的增长速度越来越快，2010年后经济增长速度越来越慢，最后趋向平稳。
2假设国家未来宏观调控政策好，社会因素稳定，国家没有战争和暴动，不考虑金融危机的影响对我国经济的影响；
3假设工资增长水平与经济增长水平成正比。
4.个人工资的增长由两部分构成，全省平均工资的增长和企业内部由工作经验引起的工资增长。
5把企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值
6.银行利率没有发生变化，始终以年利率3%进行计算。
5模型建立与求解
5.1问题一的求解
模型的建立
利用时间和平均工资做散点图可知，二者的呈曲线关系如下图1，（程序见附录一）
由散点图可以看出，工资的增长速度越来越快，但是根据我国经济发展战略目标和目前发达国家的经济和工资水平2010后的工资增长速度会逐渐变慢。
由此，考虑使用阻滞增长模型来预测未来工资的数据。
阻滞作用体现在对经济增长率r的影响上，使得r随着经济规模x的增长而下降。
将r表示为x的函数r（x），则它应是减函数，可得
（1）
对r（x）的一个最简单的假定是，设r（x）为x的线性函数，即
（2）
图1
当
时经济不再增长，即增长率
，带入
（2）式得
，于是
（2）式为
（3）
当增长率
与经济尚未实现部分的比例
成正比，比例系数为固有增长率r。
将（3）代入方程
（1）得
，
（4）
方程（4）右端的因子
体现经济的增长趋势，因子
则体现了资源对经济增长的阻滞作用。
显然，
越大，前一因子越大，后一因子越小，经济增长是两个因子共同作用的结果。
方程（4）利用分离变量法求解得到
（5）
参数估计
根据我国经济发展的战略目标，对于参数
的估计，上网查阅资料，查阅目前中等发达国家，比如韩国，现在的工资水平：
2万美元即人民币12.7万元。
作为本方程中的
。
拟合后逼近程度相关数据
大于0.7，检验统计量F=5632.66的P值等于0。
03小于0.05（允许的误差范围）通过检验，所以可以认为我国的经济和工资增长应配合阻滞增长模型。
上述方程（5），在SPSS用阻滞增长模型里可以很快的求出每年的工资水平，具体数据见下表。
表格1
年份
预测平均工资
年份
预测平均工资
2011
33199
2024
86787
2012
36720
2025
90507
2013
40454
2026
94015
2014
44380
2027
97296
2015
48475
2028
100343
2016
52706
2029
103154
2017
57038
2030
105731
2018
61432
2031
108081
2019
65845
2032
110213
2020
70236
2033
112137
2021
74563
2034
113868
2022
78787
2035
115417
2023
82871
各年工资数据拟合曲线如下图：
图2
由以上拟合图可以看出利用阻滞增长模型比较符合我国经济发展过程和国际现状。
5.2问题二的求解
5.2.1.预处理
取每组月收入范围的中数
（j=12345645678）作为每个年龄段职工的工资，各年龄段职工总工资L=
（同一年龄段不同月收入范围的人数
），总人数P=同一年龄段人数总和。
各年龄职工平均工资W=各年龄段职工总工资L
总人数P，职工缴费指数的参考值C=各年龄段职工平均工资W
该企业的平均工资。
通过计算得到以下各年龄段的不同数据。
首先在计算该企业各年龄段的平均工资时，取工资的中值，然后进行加权平均即可得到平均工资。
在excel表格中即可算出各年龄的平均工资和该企业的总工资。
对应的可以算二者之间的比值。
具体见下表：
表2
年龄段
平均工资
与平均工资的比值（缴费指数）
企业内部工资增长率
20-24岁职工数
1731.95
0.669990807
0.202110783
25-29岁职工数
2081.996
0.805403173
0.220022711
30-34岁职工数
2540.083
0.982610163
0.085429111
35-39岁职工数
2757.08
1.066553675
0.099226899
40-44岁职工数
3030.656
1.172384488
0.079790682
45-49岁职工数
3272.474
1.265929847
-0.045642259
50-54岁职工数
3123.111
1.208149949
-0.044269839
55-59岁职工数
2984.851
1.154665345
企业平均工资
2585.036
由上表数据用MATLAB预测出60-64岁职工平均工资（W）为2889.5元，职工缴费指数参考值（C）为1.130。
（详见附录二）
为了计算退休前个人账户储存额的方便我们引入职工工资的平均增长率。
影响平均增长率的因素有两个：
1.社会工资增长，主要是因为国家或地区经济的增长导致的工资的增长2.企业工龄工资增长，主要是由于职工工作年限比较长以后，工作经验变丰富后，相应的工资也应该提高。
在excel表格里可以很快算出社会工资增长率和企业工龄工资增长率。
采用这两个增长率的平均值作为职工工资的平均增长率，还可以将职工工资的平均增长率转换成月平均增长率。
具体数据见下表。
表3
企业内年平均工资增长率
0.01704766
社会工资平均增长率
0.078
职工工资总体年平均增长率
0.044766222
职工工资总体月平均增长率
0.003730518
5.2.2替代率的计算
定义1替代率：
是指职工刚退休时的养老金占退休前一年工资的比例。
根据替代率的定义，退休前一年的工资使用第一问中的结论即可，所以本问题的重点是求出职工退休时的养老金。
职工退休时的养老金由两部分组成：
养老金=基础养老金+个人账户养老金
基础养老金的计算公式如下：
P=（W+S）÷2×m×1% ，
（1）
公式
（1）中，
为参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额；
为参保人员退休前1年、2年、……、m年全省社会平均工资；
称为退休前第i年的缴费指数，i=1,…,m.在本问中缴费指数直接采用表一中的各年段工资与企业平均工资的比值。
个人账户养老金的计算公式为：
/n
（2）
替代率的计算公式：
（3）
利用上述公式在matlab中算出个人账户养老金，（程序见附录三）。
在excel中算出本人指数化月平均工资。
进而算出替代率。
具体数据见下表：
表4
缴费工资指数
1.394
1.142
1.136
1.216
1.201
1.181
退休前一年工资
86787
103154
113868
44380
65845
86787
缴费年限
25
30
35
15
20
25
计发月数
170
139
101
170
139
101
存款利率
0.03
社会平均工资增长率
0.07
表5
30-55
30-60
30-65
40-55
40-60
40-65
养老金
36406
46757
64576
10764
21823
38528
退休前工资
86787
103154
113868
44380
65845
86787
替代率
41.95%
45.33%
56.71%
24.25%
33.14%
44.39%
5.3问题三的求解
职工个人领取每月养老金的数额算法步骤和问题二相同，唯一有区别的地方是在计算S（本人指数化月平均缴费工资（AverageIndexedMonthlyEarnings）有点细微的差别：
缴费指数的计算使用
而不是各年龄段职工工资的比值。
职工所实际缴存的养老金总额分成三部分：
退休前个人账户总额；退休前社会统筹账户总额；退休后个人账户总额所产生的利息总和。
退休前个人账户总额计算公式：
Z1=
退休前社会统筹账户总额计算时，认为企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳也即是按照职工个人工资的20%交到社会统筹账户。
计算公式如下：
Z2=
退休后个人账户总额所产生的利息总和计算时，不再考虑复利情况，只考虑本金所产生的利润。
计算公式如下：
Z3=
由上面公式可以看出，要计算缺口情况，应先计算缴纳的养老金可支付的月数。
利用下面方程即可解出可支付的月数
：
Z1+Z2+Z3=
计算出可支付的月数
，即可算出养老金的缺口。
公式如下：
Z=
当
时。
该模型求解过程比较困难，在matlab里编写程序过于麻烦。
通过查阅资料查到一个比较简单的计算公式[3]
利用该公式可以快速的算出可支付的月数，进而可以算出养老金的缺口。
具体数据见下表：
表6
30-55
30-60
30-65
可支付月数
117
171
148
可支付年数
9.75
14.25
12.333333
缺口情况（单位万）
-10
-0.75
2
5.4问题四
5.4.1替代率影响因素
由问题二的建模过程，P和Q的计算公式化简可得：
T=
将
称为个人平均缴费指数，记为R；而上式的第二部分的分母
可以和分子化简消掉。
由此可以看出替代率与以下三个个量成正比例关系：
1.个人平均缴费指数R
2.个人缴费比例C
3.缴费年数m
从公式还可以发现，个人工资V，利率r和社会平均工资增长q也与替代率T成正比，但是这三个因素本身是整个经济水平决定的，属于不可控因素，所以可认为V、r和q是不变量。
5.4.2收支平衡分析
养老金的领取要达到收支平衡要满足以下关系式：
Z1+Z2+Z3>=
由Z1，Z2，Z3的定义式，可以大致分析出：
如果缴费月数12*m和计划发养老金月数n近似相等，不等式肯定成立。
另外提高D和C，R不等式肯定会成立。
以上分析可知要达到收支平衡，同时又要提高替代率。
需要控制如下参数：
根据缴费月数12*m来调整计划发养老金月数n，使二者近似相等达到收支平衡，提高公司缴费比例D使收支尽可能的达到平衡。
同时通过提高个人缴费比划C和个人平均缴费指数R来提高替代率。
而个人平均缴费指数反映的是个人工资情况，所以可以通过适当的提高个人工资来提高替代率。
6模型结果分析
问题一，阻滞增长模型的模拟数据与2010前的实际数据，有一定的误差，但是后面的工资数据和增长率，比较符合我国的经济战略目标和经济发展现实。
问题二，根据题目中附件给出的计算公式，引入职工月平均工资增长率，使问题的难度降低了许多。
但是第本问中对第一问的数据有一定的依赖性，如果第一问数据处理不理想，会影响第二问的结果。
问题三，在计算个人账户总额在退休后的利息总和时，使用了近似计算，没有考虑复利的情况，建立的数学模型比较复杂，在matlab上编写程序也比较麻烦，因时间关系该模型的程序没有编写出来，而是通过查阅参考资料上的简单公式来进行计算的。
问题四，在问题二和问题三的基础上，大致分析了影响替代率的因素，和影响收支平衡的因素。
但没有进行严格的证明和讨论。
从养老金计发模式及替代率计算公式可以看出，在一定个人账户记账利率和社评工资增长条件下，基础养老金与缴费指数和缴费年限呈递增关系，也就是说当缴费指数与缴费年限确定了，也就确定了基础养老金和个人账户养老金水平，进而确定了养老金结构。
7模型评价与推广
优点：
1、在阻滞增长模型中，经济发展和工资增长不会快速增长，随着时间的变化它会越来越趋向于缓和，它符合经济发展的规律。
2、本模型运用SPSS进行回归分析建立了阻滞增长模型，并且还预测了2011-2035年的山东省历年职工平均工资，数据具有科学性，模型求解里利用图表说明通俗易懂，让人一目了然。
3、阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的经济预测，而指数增长模型在做经济的短期预测因为其形式的相对简单性也常被采用。
缺点：
1、因为是对历史数据进行分析然后才进行预测，所以预测的结果会和实际结果存在偏差，并且预测出来的数据不是很全面。
2、在模型建立时忽略了很多因素，在实际运用中会存在一定的误差。
推广
增长模型为预测未来的数据建立了一个很好的方案，它可以通过分析历史数据来预测未来数据，因此阻滞增长模型还可以推广到人口预测、染病问题社会福利等。
参考文献
[1]姜启源.数学模型[M].北京:
高等教育出版社,1998
[2]沈小芳，测算养老保险替代率的模型和方法，黄冈师范学院学报，3：
69-71，2010
[3]程乐平，基本养老金计算模型的构建与分析，南昌大学学报，1:
92-95，2008
[4]卫海英.SPSS10.0forWindows在经济管理中的应用.北京:
中国统计出版社,2000.8[5]张海平.统计学原理.北京:
机械工业出版社,2007.3[6]张圣勤.MATLAB7.0实用教程.北京:
机械工业出版社,2006.7
附录一
>>a=[12345678];
>>b=[0.68230.81950.99891.06191.15691.23501.17841.1871];
>>plot（a,b,'+'）
附录二
>>a=[12345678];
>>b=[0.68230.81950.99891.06191.15691.23501.17841.1871];
>>plot（a,b,'+'）
>>c=polyfit（a,b,2）
c=
-0.01610.21830.4694
>>y2=-0.0161*a.^2+0.2183*a+0.4694;
>>plot（a,b,'+',a,y2,'r'）
>>y2=-0.0161*9^2+0.2183*9+0.4694
y2=
1.1300
附录三
a=2206.50521;s=0;r=0.03/12;g=0.003730518;jiy=170;
fori=1:
12*25-1
s=s+0.08*a*（1+r）.^（12*25-1-i）*（1+g）.^i;
end
s;
t=s/jiy
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