高中数学新人教A版必修5练习第2课时正弦定理.docx

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高中数学新人教A版必修5练习第2课时正弦定理

第2课时　正弦定理

（2）

知识点一正弦定理的变形及应用

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝（　　）

A．－B．C．－1D．1

答案　D

解析　∵acosA＝bsinB，

∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，

∴sinAcosA＋cos2B＝1．

2．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是（　　）

A．，＋∞B．（10，＋∞）

C．（0，10）D．0，

答案　D

解析　∵＝＝，∴c＝sinC．∵C∈（0，π），∴0

3．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________．

答案　7

解析　∵△ABC的外接圆的直径为2R＝2，

∴＝＝＝2R＝2，

∴＋＋＝2＋1＋4＝7．

知识点二判断三角形的形状

4．在△ABC中，若a＝2bcosC，则这个三角形一定是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

答案　A

解析　由a＝2bcosC，得sinA＝2sinBcosC，

∴sin（B＋C）＝2sinBcosC，

∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，

∴sin（B－C）＝0，∴B＝C，

∴这个三角形一定是等腰三角形．

5．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

答案　A

解析　由正弦定理，得acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin（A－B）＝0，

由于－π

6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由正弦定理，得＝＝，

∴2sin＝2sin＝2sin．

显然＋＝π或＋＝π或＋＝π均不成立．

∴＝＝，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选B．

7．在△ABC中，已知＝，试求△ABC的形状．

解　∵＝，a＝2RsinA，b＝2RsinB，

∴＝．

又∵sinAsinB≠0，

∴sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，

∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，

即A＝B，或A＋B＝．

故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

知识点三三角形中的三角函数问题

8．在△ABC中，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）

A．6∶5∶4B．7∶5∶3

C．3∶5∶7D．4∶5∶6

答案　B

解析　∵（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，

∴＝＝．

令＝＝＝k（k>0），则

解得

∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3．

9．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，则角A等于（　　）

A．B．C．D．

答案　A

解析　由正弦定理，得

sinAcosC＋sinC＝sinB＝sin（A＋C），

∴sinAcosC＋sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，

∴cosA＝．∴A＝．故选A．

易错点忽视角之间的关系

10．△ABC的三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求的取值范围．

易错分析　这里容易忽视讨论“A＝B”这个情况，从而产生“A＝B”这个增根．

解　∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB．

∴sin2A＝sin2B．

∵2A，2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π．

∴A＝B或A＋B＝．

如果A＝B，那么a＝b不符合题意，∴A＋B＝．

∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sinA＋．

∵a≠b，C＝，∴A∈0，，且A≠，

∴∈（1，）．

一、选择题

1．在△ABC中，若A＝178°，B＝1°，则有（　　）

A．＞B．＜

C．＝D．以上结论都不对

答案　C

解析　由正弦定理＝＝2R．故选C．

2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝（　　）

A．2B．2C．D．

答案　D

解析　由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB（sin2A＋cos2A）＝sinA．

所以sinB＝sinA．所以＝＝．

3．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝，A＝或，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．

4．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为（＋1）∶2，则最大角为（　　）

A．45°B．60°C．75°D．90°

答案　C

解析　设C为最大角，则A为最小角，

则A＋C＝120°，

∴＝

＝

＝＋＝＝＋，

∴tanA＝1，∴A＝45°，C＝75°．

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝（3a－c）cosB．若·＝4，则ac的值为（　　）

A．9B．10C．11D．12

答案　D

解析　由正弦定理，得sinBcosC＝（3sinA－sinC）·cosB．化简，得cosB＝．又∵B·B＝accosB＝4，∴ac＝＝12．

二、填空题

6．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________．

答案　

解析　∵tanA＝，∴sinA＝．在△ABC中，＝，∴AB＝·sinC＝×＝．

7．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．

答案　2

解析　因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2．

8．若满足c＝，acosC＝csinA的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是________．

答案　（，2）

解析　由acosC＝csinA及正弦定理，得

sinAcosC＝sinCsinA，则tanC＝1，所以C＝．

过点B作BD⊥AC，垂足为D，则BD＝BC，

要使满足条件的△ABC有两个，

则需BC＜＜BC成立，解得＜BC＜2．

三、解答题

9．在△ABC中，已知2b＝a＋c，证明：

acos2＋ccos2＝．

证明　由正弦定理可知，

要证acos2＋ccos2＝，

即证sinAcos2＋sinCcos2＝，

sinA·＋sinC·＝，

sinA＋sinC＋（sinAcosC＋sinCcosA）＝3sinB，

sinA＋sinC＋sinB＝3sinB，sinA＋sinC＝2sinB．

又∵2b＝a＋c，

∴acos2＋ccos2＝成立．

10．如图，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．

（1）证明：

sinα＋cos2β＝0；

（2）若AC＝DC，求β的值．

解　

（1）证明：

∵α＝－（π－2β）＝2β－，

∴sinα＝sin2β－＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0．

（2）在△ADC中，由正弦定理，得＝，

即＝，∴sinβ＝sinα．

由

（1），得sinα＝－cos2β，

∴sinβ＝－cos2β＝－（1－2sin2β），

整理，得2sin2β－sinβ－＝0，

解得sinβ＝或sinβ＝－．

∵0<β<，∴sinβ＝，∴β＝．