高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数fxAsinωx+φ的图象及应用检测理新人教A03294206.docx
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高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数fxAsinωx+φ的图象及应用检测理新人教A03294206
第四节函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
限时规范训练（限时练·夯基练·提能练）
A级 基础夯实练
1．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A．x＝－（k∈Z） B．x＝＋（k∈Z）
C．x＝－（k∈Z）D．x＝＋（k∈Z）
解析：
选B.将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即平移后图象的对称轴为x＝＋（k∈Z）．
2．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f的值为（ ）
A．－B．－
C．－D．－1
解析：
选D.由函数图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.
又f＝sin＝－，|φ|<，得φ＝，则f（x）＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.
3．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（ ）
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：
选A.点P在函数y＝sin的图象上，∴t＝sin＝.所以P.将点P向左平移s（s>0）个单位长度得P′.因为P′在函数y＝sin2x的图象上，所以sin2＝，即cos2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋（k∈Z），又s>0，所以s的最小值为.
4．（2018·衡水模拟）将函数y＝f（x）＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则下面对函数y＝g（x）的叙述正确的是（ ）
A．函数g（x）＝2sin
B．函数g（x）的周期为π
C．函数g（x）的一个对称中心为点
D．函数g（x）在区间上单调递增
解析：
选C.将函数f（x）＝2sin的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin＝2sin的图象；
再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin的图象，
故g（x）的周期为＝，排除A，B.
令x＝－，求得g（x）＝0，可得g（x）的一个对称中心为，故C满足条件．
在区间上，4x＋∈，函数g（x）没有单调性，故排除D.
5．（2018·广东珠海质检）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象如图所示，为了得到g（x）＝cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：
选D.根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，×＝－，
∴ω＝2.
因此f（x）＝sin（2x＋φ）．
由题图，知f＝sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ－（k∈Z）．
又|φ|＜，∴φ＝.
∴f（x）＝sin.
∵f（x）＝sin＝cos
＝cos＝cos＝cos，
故把f（x）＝sin的图象向左平移个单位，可得g（x）＝cos2x的图象．
6．（2018·太原模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈ZB．[6k－3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k＋3]，k∈ZD．[6kπ－3，6kπ]，k∈Z
解析：
选C.因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，
所以T＝6＝，所以ω＝，且当x＝3时函数取得最大值，所以×3＋φ＝，所以φ＝－，
所以f（x）＝Asin，
所以－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，
所以6k≤x≤6k＋3，k∈Z.
7．（2018·唐山模拟）已知角φ的终边经过点P（－4，3），函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．
解析：
由角φ的终边经过点P（－4，3），可得cosφ＝－.
根据函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
可得周期为＝2×，解得ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x＋φ），
∴f＝sin＝cosφ＝－.
答案：
－
8．（2018·南昌模拟）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是______安．
解析：
由函数图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin（100πt＋φ），
∵图象过点，
∴10sin＝10，
∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵0＜φ＜，∴φ＝.
∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5（安）．
答案：
－5
9．（2018·河北邯郸调研）已知函数f（x）＝2cos2ωx－1＋2cosωxsinωx（0＜ω＜1），直线x＝是f（x）图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值；
（2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．
解：
f（x）＝2cos2ωx－1＋2cosωxsinωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.
（1）由于直线x＝是函数f（x）＝2sin图象的一条对称轴，
∴sin＝±1.
∴ω＋＝kπ＋（k∈Z），
∴ω＝k＋（k∈Z）．
又0＜ω＜1，∴－＜k＜.
又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.
（2）由
（1）知f（x）＝2sin，由题意可得
g（x）＝2sin，即g（x）＝2cosx.
∵g＝2cos＝，
∴cos＝.
又α∈，
∴＜α＋＜，
∴sin＝，
∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
10．已知函数f（x）＝sinωx－sin（ω＞0）．
（1）若f（x）在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；
（2）若f（x）在上单调，且f（0）＋f＝0，求ω的值．
解：
f（x）＝sinωx－sin＝sinωx－sinωx－cosωx＝sinωx－cosωx＝sin.
（1）由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f（x）在[0，π]上的值域为，即最小值为－，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，解得≤ω≤.∴ω的取值范围是.
（2）因为f（x）在上单调，所以≥－0，则≥，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f（0）＋f＝0且f（x）在上单调，得是f（x）图象的对称中心，∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，所以ω＝2.
B级 能力提升练
11．（2017·天津卷）设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝
解析：
选A.∵f＝2，f＝0，∵f（x）的最小正周期大于2π.
∴－＝，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f（x）＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
12．（2018·石家庄质检）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象关于点对称，则m的值可能为（ ）
A.B．
C.D．
解析：
选D.依题意得解得
＝＝－＝，
故ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ）＋.
又f＝sin＋＝，
故＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．
因为|φ|＜，故φ＝，
所以f（x）＝sin＋.
将函数f（x）的图象向左平移m个单位长度后得到g（x）＝sin＋的图象，又函数g（x）的图象关于点对称，即h（x）＝sin的图象关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ（k∈Z），故m＝－（k∈Z）．令k＝2，则m＝.
13．（2018·青岛二中月考）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若x1，x2∈（－，），则f（x1）＝f（x2），且f（x1＋x2）＝________．
解析：
观察题中图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ）．
将代入上式得sin＝0，
由已知得φ＝，故f（x）＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f（x1）＝f（x2），
∴f（x1＋x2）＝f＝f
＝sin＝.
答案：
14．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：
（1）根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f（x）＝5sin.
（2）由
（1）知f（x）＝5sin，
得g（x）＝5sin.
因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，
解得θ＝－，k∈Z.由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
15．已知函数f（x）＝2cosπx·cos2＋sin[（x＋1）π]·sinφ－cosπx的部分图象如图所示．
（1）求φ的值及图中x0的值；
（2）将函数f（x）的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．
解：
（1）f（x）＝2cosπx·cos2＋sin[（x＋1）π]·sinφ－cosπx＝cosπx·－sinπx·sinφ
＝cosπx·cosφ－sinπx·sinφ＝cos（πx＋φ）．
由题图可知，cosφ＝，又0＜φ＜，所以φ＝.
又cos＝，所以πx0＋＝，
所以x0＝.
（2）由
（1）可知f（x）＝cos，将图象上的各点向左平移个单位长度得到y＝cos
＝cos的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍后得到g（x）＝cos的图象．
因为x∈，所以－≤πx＋≤.
所以当πx＋＝0，即x＝－时，g（x）取得最大值；
当πx＋＝，即x＝时，g（x）取得最小值－.
C级 素养加强练
16．（2018·广东中山质检）已知函数f（x）＝msinx＋ncosx，且f是它的最大值（其中m，n为常数，且mn≠0）．给出下列命题：
①f为偶函数；
②函数f（x）的图象关于点对称；
③f是函数f（x）的最小值；
④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y＝的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|＝π.其中正确命题的个数是________个．
解析：
由于函数f（x）＝msinx＋ncosx＝sin（x＋φ），且f是它的最大值，
∴＋φ＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴f（x）＝sin
＝sin.
对于①，由于f＝·sin（x＋＋）＝cosx是偶函数，故①正确；
对于②，由于当x＝时，f（x）＝0，故函数f（x）的图象关于点对称，故②正确；
对于③，由于f＝·sin＝－是函数f（x）的最小值，故③正确；
对于④，由正弦函数的图象可知，|P2P4|等于最小正周期2π.故④不正确．
答案：
3
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
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3、大自然的语言丰富多彩：
从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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