三角形证明与计算题练习.docx

三角形证明与计算题练习.docx

《三角形证明与计算题练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形证明与计算题练习.docx（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

三角形证明与计算题练习

三角形证明与计算题练习

一．解答题（共30小题）

1．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．

2．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．

（1）求∠EBG的度数．

（2）求CE的长．

4．如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：

（1）BD=DE+CE；

（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？

5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：

（1）OA=OB；

（2）AB∥CD．

6．已知：

如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

求证：

（1）△BAD≌△CAE；

（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．

7．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：

BC=DE．

8．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：

BD=CE；

（2）求证：

∠M=∠N．

9．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：

△ABD≌△AEC．

10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．

求证：

AD=BE．

11．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若AC与BD相交于点O，求证：

AO=CO．

12．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：

△CDA≌△CEB．

13．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：

BE=CF．

14．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．

（1）求证：

△AOB≌△DOC；

（2）求∠AEO的度数．

15．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：

BE=CD．

16．如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：

AE=AF．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：

∠DBC=∠DCB．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：

AD=CE．

19．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．

20．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN．

21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

22．已知：

△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：

AF⊥AQ．

23．（本题有3小题，第

（1）小题为必答题，满分5分；第

（2）、（3）小题为选答题，其中，第

（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第

（2）小题评分．）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

注意：

第

（2）、（3）小题你选答的是第2小题．

24．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD；

（3）OE是线段CD的垂直平分线．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：

AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？

若是请给出证明；若不是，请说明理由．

26．已知：

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．

求证：

△ADC≌△CEB．

27．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数；

（3）探究：

小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？

你认为可以吗？

若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

28．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：

∠ACD=∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF=∠CFE．

29．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

30．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

三角形证明与计算题练习

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．

【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，

∴BC=BF，BD=BA，

∴CD=AF，

在△DGC和△AGF中，

，

∴△DGC≌△AGF，

∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，

∴∠CBG=∠FBG，

∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

2．（2015秋•瑶海区期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=

（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．

【解答】解：

∵△ABC≌△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=

（∠EAB﹣∠CAD）=

．

∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°

∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°﹣25°=65°．

综上所述：

∠DFB=90°，∠DGB=65°．

【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．

3．（2015春•长春期末）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．

（1）求∠EBG的度数．

（2）求CE的长．

【分析】

（1）根据全等求出∠EBA的度数，根据邻补角的定义求出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出AC=AB=9，AE=AD=6，即可求出答案．

【解答】解：

（1）∵△ABE≌△ACD，

∴∠EBA=∠C=42°，

∴∠EBG=180°﹣42°=138°；

（2）∵△ABE≌△ACD，

∴AC=AB=9，AE=AD=6，

∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

4．（2016秋•定陶县期末）如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：

（1）BD=DE+CE；

（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？

【分析】

（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；

（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．

【解答】

（1）解：

∵△BAD≌△ACE，

∴BD=AE，AD=CE，

∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，

即BD=DE+CE．

（2）解：

△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，

理由是：

∵△BAD≌△ACE，

∴∠E=∠ADB=90°（添加的条件是∠ADB=90°），

∴∠BDE=180°﹣90°=90°=∠E，

∴BD∥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好．

5．（2010•南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：

（1）OA=OB；

（2）AB∥CD．

【分析】

（1）要证OA=OB，由等角对等边需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证．

（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和

（1）可证∠OCD=∠ODC，又因为

∠AOB=∠COD，所以可证∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．

【解答】证明：

（1）∵△ABC≌△BAD，

∴∠CAB=∠DBA，

∴OA=OB．

（2）∵△ABC≌△BAD，

∴AC=BD，

又∵OA=OB，

∴AC﹣OA=BD﹣OB，

即：

OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠AOB=∠COD，∠CAB=

，∠ACD=

，

∴∠CAB=∠ACD，

∴AB∥CD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．

6．（2015•黄冈模拟）已知：

如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

求证：

（1）△BAD≌△CAE；

（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．

【分析】要证

（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．

【解答】

（1）证明：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

即∠BAD=∠CAE，

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

证明如下：

由

（1）知△BAD≌△CAE，

∴∠ADB=∠E．

∵∠DAE=90°，

∴∠E+∠ADE=90°．

∴∠ADB+∠ADE=90°．

即∠BDE=90°．

∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．

7．（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：

BC=DE．

【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠CAB=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴BC=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

8．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：

BD=CE；

（2）求证：

∠M=∠N．

【分析】

（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可

（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．

【解答】

（1）证明：

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，

即∠BAN=∠CAM，

由

（1）得：

△ABD≌△ACE，

∴∠B=∠C，

在△ACM和△ABN中，

，

∴△ACM≌△ABN（ASA），

∴∠M=∠N．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

9．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：

△ABD≌△AEC．

【分析】根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．

【解答】证明：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△AEC中，

，

∴△ABD≌△AEC（SAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：

SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．

10．（2016•丹东模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．

求证：

AD=BE．

【分析】此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．

【解答】证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC．

∵CE⊥BD，

∴∠BEC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠A=∠BEC．

∵BD=BC，

∴△ABD≌△BCE．

∴AD=BE．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．

11．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若AC与BD相交于点O，求证：

AO=CO．

【分析】

（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．

【解答】证明：

（1）∵BE=DF，

∴BE﹣EF=DF﹣EF，

即BF=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE与Rt△CBF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如图，连接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

12．（2016•泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：

△CDA≌△CEB．

【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．

【解答】证明：

∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CE=CD，BC=AC，

∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△CDA与△CEB中

，

∴△CDA≌△CEB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．

13．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：

BE=CF．

【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．

【解答】解：

∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴BE=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．

14．（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．

（1）求证：

△AOB≌△DOC；

（2）求∠AEO的度数．

【分析】

（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；

（2）再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角．

【解答】

（1）证明：

在△AOB和△DOC中

∵

∴△AOB≌△DOC（AAS）

（2）解：

∵△AOB≌△DOC，

∴AO=DO

∵E是AD的中点

∴OE⊥AD

∴∠AEO=90°

【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握，要熟练掌握这些性质并能灵活运用．

15．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：

BE=CD．

【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．

【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（ASA）

∴AB=AC，

又∵AD=AE，

∴BE=CD．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

16．（2015•武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：

AE=AF．

【分析】根据BC=BD，以及中点的定义证得BE=BF，然后利用SAS即可证得△ABE≌△ABF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得．

【解答】证明：

∵BC=BD，点E为BC中点，点F为BD中点，

∴BE=BF，

∵在△ABE和△ABF中，

，

∴△ABE≌△ABF（SAS），

∴AE=AF．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法就是转化为证明三角形全等．

17．（2012•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：

∠DBC=∠DCB．

【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD=CD，利用等边对等角证得结论即可．

【解答】证明：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD．

∴在△ACD和△ABD中

，

∴△ACD≌△ABD，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．

18．（2015•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：

AD=CE．

【分析】根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．

【解答】证明：

∵AE∥BD，

∴∠EAC=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EAC，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴AD=CE．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质，关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE．　

19．（2015•孝感）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．

【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．

【解答】证明：

∵在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠ABC．

又∵OE⊥AB，OF⊥CB，

∴OE=OF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

20．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN．

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

【解答】证明：

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．

21．（2016秋•饶平县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．

【解答】证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．

，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定