在培训中启迪.docx
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在培训中启迪
在培训中启迪，在培训中见识
对新教材的研究中所产生的3个困惑，在培训中得到启发：
1．为什么要搞成模块？
搞模块的考虑出自教育思想和教学理念的改革。
时代性，不仅是指学习的内容应当是当今社会和科学技术发展最必须的数学知识，也是指课程的教育理念应当是当今最先进的、最适合学生发展的，能够培养学生的创新意识和实践能力的。
（建设中国特色的社会主义强国，落后就要挨打，要有自己的独立知识产权）
基础性包括两个方面。
第一，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，第二，为学生进一步学习提供必要的数学基础。
这些基础不仅是在知识技能方面，也包括过程方法和情感、态度、价值观。
（学生应当在学习中学会学习，发现、探究、理解、掌握、运用、创造，养成喜欢数学、钻研数学、自觉运用数学的习惯和意识）
选择性当然是指课程的设置，既要构建所有学生未来发展的共同平台，也要适应不同学生的不同发展需要。
特别是随着我国教育事业的发展，高中逐渐普及，学生的发展更是千差万别的，必须要有选择性。
过去能上高中的是少数学生，主要是继续升学。
今天要逐步普及高中阶段教育，提高民族素质，建设人力资源强国。
培养人才的渠道和方式应当是多种多样的。
标准中提出课程设计的基本理念的有十条。
前三条讲的就是时代性、基础性和选择性。
提高思维能力不仅是逻辑思维，这次更强调感知、发现、归纳、类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思构建等等各种思维的培养。
发展应用意识更加突出，不仅是学过知识的应用，而且在学习过程中，在获取知识时，就要了解知识发生发展的背景、来龙去脉，知道它们与实际的联系和应用。
由此，突出所学数学知识的本质，在此基础上再进行适度的形式化，打好“双基”。
“双基”是中国基础教育的特色，给我们的中小学教学带来了许多成果，有些对“双基”不恰当的理解，会产生了很多负面影响。
体现数学的文化价值，在高中课程中是第一次提到（安排了数学文化的要求，贯穿整个高中数学，提高学生对数学科学的认识，领会数学的价值，提高文化素养和创新意识）。
2．各模块的安排是否合理？
必修与选修、选修系列的安排、学科逻辑顺序
下面来看标准中的课程安排。
必修课程与选修系列的安排，首先，高中数学课程标准把教学内容分成了必修和选修两大部分。
必修课程是每一个进入高中的学生必须要学习和掌握的。
有5个模块。
学生在完成了这5个必修模块的学习之后，再根究个人的兴趣和志向决定继续选修哪些内容。
标准中提供了4个选修系列，供学生选择。
必修中的5个模块所有学生都要学，选修1和选修2是文理分科必选。
另外还要在选修3选修4里面任选一定数量的专题学习。
具体怎么选，目前各地的要求也不一样。
3．分科好还是综合好？
不能违背了这次课程标准所提倡的教育思想和教学理念的改革。
从历史上来看，很长时间以来高中数学课程是分科安排的，以前的高中数学教材一共有四册，代数两册，立体几何一册、平面解析几何一册。
因为以前教学大纲中就是这样安排的，是依据数学的学科体系（分支）安排的。
分科的安排有一定的好处，就是在教学中可以依照各个学科分支的发展顺序教学，知识的前后衔接比较顺利，但是也有一定的不足，就是照顾了学科的体系，使得学科之间的横向联系不够。
我们在解决现实的实际问题时，经常是需要综合运用各种数学知识。
这就需要我们对数学知识有一个整体的把握，应当融会贯通地理解所学的数学知识，并能够综合运用，形成了数学知识综合安排的教学大纲。
这次制订的高中数学课程标准，从整体上来看是综合安排的，不是分科安排的。
这样的安排是否得当，目前从实际情况来看，也是仁者见仁，智者见智。
各家都有各家的高招。
不过，内容顺序的调整是可以的，但是不能违背了这次课程标准所提倡的教育思想和教学理念的改革。
建议：
4．应当体现数学的本质，抓数学发生发展的思想方法，抓知识的来龙去脉和相互联系，抓学生的主动学习和理解，抓学生思维能力、实践能力的提高。
例如，函数的教学，一开始主要是让学生认识和理解什么是函数，以几种基本的初等函数为例，介绍函数的概念和性质，而不是直奔解答有关函数的一些具体的技巧问题（理解定义域的概念，而不是处理求定义域的种种技巧问题）。
又如，在必修课程中有关统计的教学，主要是介绍统计的思想和基本方法，而不是把重点放在解答统计问题的一些计算上。
新课程的实施给教师提出了更高的要求。
要使学生理解数学的本质，教师就得需要对数学的本质、来龙去脉更加熟悉，讲课时也不能像以往那样按照教科书照本宣科，而需要掌握较多的有关资料，更多地引导学生探索和思考。
我们在教学中要注重数学本质。
我们知道，形式化是数学抽象、概括、精练、严谨的突出表现。
但是，我们在教学中不能从形式化到形式化，要注意通过数学产生和发展的背景，向学生展示数学的来龙去脉。
要讲推理，更要讲道理。
在学生对于数学的本质有了体会和理解的基础上，适时地进行适度的形式化。
对于有些数学内容，让学生经过适度地自主探索，理解数学的概念、结论逐步形成的过程，将有助于学生真正地理解和运用所学的知识，将有助于培养学生的独立思考、发明创造。
新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式。
课程标准要求，学生的学习方式，不应仅仅限于接受、记忆、模仿和练习，还应提倡主动探索、动手实践、合作交流。
这些不同的多种学习方式，应当贯彻于各个数学内容的教学过程之中。
另外，课程标准中还单独对数学探究活动提出了具体要求。
注重提高学生的数学思维能力。
这是数学教育的基本目标之一。
新的课程标准自始至终贯彻着对于学生思维能力的培养。
思维能力不仅局限于逻辑推理能力，经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括的过程，进行符号表示、数据处理、运算求解、演绎证明、反思建构都是数学思维能力。
注重联系实际，发展学生的数学应用意识。
高中数学课程应提供基本内容的背景，反映数学的应用价值，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活和其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学的创新意识和实践能力。
为此课程标准中第一次对数学建模提出了具体要求。
新课程还提出了学习数学文化的要求，有助于学生认识数学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的价值，开阔视野，激发原创的动力，受到优秀文化的熏陶，提高学习数学的兴趣，培养正确的情感态度价值观。
新课程还提出，要注重信息技术与数学课程的整合。
在适当的时机，针对适当的内容，信息技术与数学课程有机的整合，将有助于学生把更多的精力集中在了解数学的本质和数学的来龙去脉上，更加容易地处理计算复杂的问题。
反思：
5．注意到教材与以前的大纲相比，教育思想和教学要求有变化的内容
（1）集合（必修1）
在必修1里，一开始就教学集合的知识，主要是为后面学习数学时说话方便，表达准确、清晰、简洁做准备。
这里的要求是作为语言来学习和使用，不涉及更深的集合理论知识。
在这段学习中，课程标准的要求是，使学生能够针对不同的情况，选择不同的语言（自然语言、图形语言、集合语言），对所研究的对象进行描述、表达和交流。
首先是了解集合的含义和表示（列举法、描述法），知道集合与元素之间的关系（属于），集合与集合之间的关系（包含、子集、全集、空集），理解集合的基本运算（并集、交集、补集），并且会用文氏图表示。
符号化是数学的显著特点，在教学集合语言时，要让学生学会运用符号表示的集合语言，并且能够正确、恰当地使用。
这里主要是理解、会用即可，没有必要讲得太多，更多的练习和掌握主要还是在以后的学习中，要经常使用集合的语言。
（2）函数（必修1）
函数和方程是初等数学教学中的重头戏，是中学数学的一条主线。
从必修课程中进一步在初中学习的基础上研究函数，到函数与方程的关系，到数列和不等式的学习，再到后面选修系列中的微积分初步知识（导数），都与函数有关。
为什么要学习函数？
一方面因为函数是刻画现实世界运动变化的数学模型，是解决实际问题的有力工具，学习函数可以帮助学生认识数学的广泛应用性，提高应用数学的意识，这对学生的今后发展无疑是有意义的。
另一方面，通过函数的学习加深学生对于数学本质的认识，提高学生的理性思维水平，这比利用函数解决某一具体问题更加重要。
在必修1中，首先要讲好函数的概念，使学生真正理解函数的本质。
接着讲基本初等函数Ⅰ，以对数函数和指数函数为例，介绍怎样研究函数和函数的性质。
这是最主要的内容。
然后再介绍一些函数与方程的关系，以及函数的一些简单的应用。
“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景和应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
”
因此，按照新课标的要求，最好是让学生通过丰富的实例，经历抽象概括函数模型的过程，来体会函数是应变量随着自变量的变化而变化的重要数学模型，要使学生体会到变化的过程和对应关系。
体会建立函数模型解决现实问题的思想和方法。
怎样加强学生对函数本质的理解呢？
函数的本质是一种特殊的对应关系，是数集到数集上的映射。
但是对于高中学生来说，从具体数量关系的对应讲起，会比给出映射的概念，再用映射的概念去定义函数，要更加容易理解其本质。
从以往的函数教学看，一个现实的困难是初中和高中的衔接。
经验表明，不少学生是在高一学习函数的过程中掉队的。
进入集合与函数，数学的难度似乎一下子增加了。
抽象的数学概念，严谨的数学语言，深刻的数学思想，灵活的数学方法，使得一些学生感到不适应。
符号的表达也是难点之一，从y=x到y=f（x）,再到f（x）=x。
于是高一第一学期，一些学生是在不知不觉、似懂非懂的状态下被动地走过来的。
克服这些障碍，一直以来是高中数学教学面临的课题。
因此，这次编写的人教版教材，教学函数是先结合实例，介绍函数的概念，等学生对函数的意义比较了解以后，再推广到一般的映射概念。
这样的安排，既可以减缓学生接受的难度，又有助于学生通过较多的实例，了解函数产生的背景，体会函数所蕴涵的思想，理解函数的本质。
在引导学生体会函数是描述现实世界事物变化规律的数学模型时，要通过较多的不同实例，让学生归纳、分析和体会，区别什么样的对应关系是函数，什么样的不是。
这是函数教学中比较大的变化。
在学习了函数的基本概念和基本性质之后，再介绍几种常见的初等函数，指数函数、对数函数和幂函数。
大家可能已经注意到了，课程标准中把它们叫做“基本初等函数Ⅰ”，后面还有“基本初等函数Ⅱ”。
之所以这样称呼，是为了使我们在教学中更加关注函数本质的教学，是通过几种具体的函数模型，继续研究函数的对应关系，以及不同的函数具有不同的性质。
由此一步一步地螺旋上升，加深对函数本质的理解。
另外，有关函数内容教学比较大的另一个变化，是加强了与其他知识之间的联系。
这些联系包括与方程、不等式和算法的联系。
比如，课程标准要求结合二次函数的图象，判断一元二次方程的根的存在性，从而了解函数的零点与方程的根的关系。
又如，让学生根据具体的函数图象，借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，与算法的学习相呼应（或为算法教学做准备、或在讲完算法之后试着编程来解答）。
课程标准在函数的模型及其应用方面，也比以往有较大的加强。
除了与数学的其他内容相联系，用来解决有关的数学问题之外，函数还是数学建摸的重要载体。
课程标准中要求学生收集生活中普遍使用的函数模型实例，了解函数模型的广泛应用，有条件的话还可以做一些应用函数进行数学建摸的活动。
与以往的大纲相比，在函数教学中还在以下几个方面的要求有所减弱。
一个是减少了对定义域和值域的繁难计算（以往为应付高考这里增加了很多人为繁难技巧的计算，冲淡了对函数本质理解的教学），一个是减弱了反函数的教学，只要求知道指数函数和对数函数互为反函数，不要求形式化地讨论一般的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
还有一个是将复合函数的内容放到选修系列的“导数及其应用”中再教学。
立体几何（必修2、选修2-1）
在高中新课程中，立体几何内容分成两个层次教学。
第一个层次在必修2中，叫做“立体几何初步”，主要是使学生通过直观感知、操作确认，获得对立体几何图形的认识，并通过简单的推理、论证，认识基本的空间图形之间的相互位置关系和有关性质。
更深一些层次的论证和度量，则放在选修2-1中用空间向量的知识来处理。
（1）立体几何初步（必修2）
必修2中的立体几何初步又分成了两个部分。
第一部分是空间几何体，第二部分是空间中点、线、面的位置关系。
内容的安排遵循了从整体到局部、从具体到抽象的原则。
在第一部分，空间几何体的展开，是先让学生观察现实生活中的一些简单物体的形状，在观察中发现并且认识它们形状的结构特征，抽象出各种空间几何体（柱、锥、台、球），并认识每一种几何体中各部分的特征和相互关系（平面、曲面、顶点、棱、三角形、多边形、平行、垂直等等）。
这里的认识还只是处于直观感知，描述的语言也是义务教育阶段学习的知识和生活中的自然语言。
因为这时还没有给出空间中线、面的定义和相互关系确切的表述。
这样做的目的是使学生从身边熟悉的物体开始，认识空间图形，把抽象的数学内容和具体的实物联系起来，有助于后面抽象地研究和讨论数学中形式化了的空间几何知识。
接着介绍平行投影和中心投影，使学生了解空间图形在平面上的画法，学会画出简单的立体图形。
这里还要求学生能够认识简单的空间几何体的三视图，能与相应的实际物体或直观图相互转换辨认。
上面所说的通过观察实物直观感知，以及画出与识别立体图形，这两项教学非常重要。
它们是后面研究抽象的立体几何知识的基础。
这次课程标准的要求，把这两项放在立体几何学习的最前面，反映了一种改革的理念。
数学学习应当尽可能地从数学发生发展的实际背景出发，使学生的认识建立在丰富的具体形象的实例基础上，而不是建立在一个个抽象定义的基础上。
几何学的学习当然就更应该如此。
为什么说画图也很重要？
它的作用不在于画图本身，不是要求学习制图，不是说要画的如何漂亮，而是通过画图和识别，为后面学习时的看懂图形、进行分析讨论和证明打下良好的基础。
（很多学生立体几何不好就是因为看不懂图）
空间几何体这一部分还有一个内容，学习柱、锥、台、球的体积和表面积的计算公式和简单应用。
这大概就是为了在认识了空间几何体之后，联系实际，进行一些简单应用，体验学习立体几何的价值的一部分吧。
在以上基础上，学习立体几何初步的第二部分，空间点、线、面的位置关系。
关于空间点、线、面的位置关系，课程标准提出的要求有三条。
第一条，“借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间点、线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
”
一共有四条公理和一个定理（见课标P20）
第二条，“以上述定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定。
”
四个判定定理（见课标P20-21）
“通过直观感知、操作确认，归纳以下性质定理，并加以证明。
”
四个性质定理（见课标P21）
第三条，“能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
”
这里内容比以往大纲里要求的内容少了很多，要求的层次很明确（公理是感知和了解，性质定理要求逻辑论证，判定定理只要求直观感知、操作确认、思辩论证，严格的证明放在选修2-1用向量处理）。
这些后面介绍教材时还要详细讲，不多说了。
需要特别指出的是，立体几何的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力，要达到这个目的，就必须让学生参与这些知识的发生、发展和应用的全过程。
以往的教学注重形式化较多，现在的理念就是要接头续尾，注重过程。
因此，新的课程标准强调在学习立体几何的定义、公理和定理时，一定要借助实物或者模型，比如一个长方体的框架，来帮助学生理解所学的内容。
要真正地理解，防止空对空地讲解和背诵这些结论。
要使学生在学过这些内容之后，能够联系实际，对照图形进行说理，能够准确地运用数学语言表述几何对象的位置关系，并能够对一些简单的空间图形问题进行推理论证。
（把合情推理和演绎推理结合起来）
在必修2里有关立体几何的证明都是基本的和简单的，重点是让学生理解和掌握几种简单空间几何体的特征，以及空间中直线和平面一些基本的位置关系，对证明的要求不高，内容也少了很多（比如没有三垂线定理）。
（2）空间向量与立体几何（选修2-1）
选修2-1里空间向量与立体几何这部分内容，主要是以讲空间向量为主，然后应用空间向量证明一些立体几何问题。
向量的教育价值前面已经讲过，空间向量的重要性也是如此。
鉴于用综合法证明立体几何中的问题历来是个难点，这里用空间向量证明是新的尝试（在2002年大纲里就曾经尝试过，现在作为选修中的正式要求）。
在已经学习过的平面向量的基础上，教学空间向量并没有什么困难。
其内容包括：
空间向量的基本概念、空间向量的加减和数乘运算、空间向量的相等与向量共线、空间向量基本定理和坐标表示、空间向量的数量积。
只不过是从二维的向量变成了三维的向量，只要在平面向量的基础上推广即可。
最后，应用向量方法证明或计算立体几何的一些问题，算是向量的实际应用。
当然，用向量证明立体几何问题的深度，也不应当是无底洞。
因为用向量方法证明或计算几何问题时，还有一道难关，就是要适当地建立坐标系，并且把具体的线段（量）转化为向量。
所以，涉及的问题不能过于繁难，练习的数量也不要太多。
还是以让学生体会向量的作用，了解运用向量解决问题的思想，以及向量与其他数学知识的联系为主。
具体的要求在教材介绍中还会详细讲到。
平面解析几何（必修2、选修1-1、选修2-1）
（1）平面解析几何初步
平面解析几何在新的课程里也是分成两个层次教学。
第一个层次在必修2中，课程标准里叫做“平面解析几何初步”。
第二个层次在选修1-1和选修2-1里面分别处理。
在必修2中，又分成两大块，直线与方程，圆与方程。
按照课程标准的要求，“在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
”（见标准P22）
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何的联系，体现了数形结合的重要数学思想。
按照课标的要求，这段学习应当让学生经历将几何问题代数化、处理代数问题、分析代数结果的几何意义、解决几何问题等几个过程。
无论是讨论直线与方程，还是讨论圆与方程，都要抓住几何图形代数化以后的几何要素（用代数语言描述的几何要素）。
在直线与方程里，需要抓住的几何要素就是直线的倾斜角，翻译成代数语言就是直线的斜率。
借助直观的几何图形（让学生观察图形，直角坐标系中的直线），我们知道两点确定一条直线，也就确定了它的倾斜角。
根据这两点的坐标，可以求出这条直线的斜率。
抓住了直线的斜率，就可以通过斜率描述一条直线的倾斜度（倾斜角），讨论两条直线的平行、相交和垂直等位置关系。
有了直线的斜率（在几何中就是直线的倾斜角，或是说直线的方向），再加上一个条件（直线上的一个点，或是知道两个点），就可以确定这条直线。
教学直线的点斜式、斜截式、两点式时，应当结合坐标系上的图形，使学生理解用代数方法描述几何问题时的转换过程。
这就体现了课标所要求的理念，“体会用代数方法处理几何问题的思想”。
从直线的点斜式、斜截式、两点式方程，到直线的一般式方程，实际上就是代数中的等式变形，经过变形整理得出，直线方程实际就是一个二元一次方程Ax+By+C=0。
如果对方程Ax+By+C=0再做一些探究，何时它表示与X轴平行（重合），与Y轴平行（重合），就可以使学生反复地理解和体会几何图形与代数方程之间的关系。
这就叫做加强数学思想方法的教学。
不要离开图形仅限于讲解代数式子和方程的推导，或大量地去做由已知条件求方程的练习。
关注过程的重点应当放在图形和方程的关系上。
在直线与方程的最后，有“用解方程组的方法求两条直线的交点坐标”和“探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离”的内容和要求。
目的是进一步反复地加深学生对几何图形与代数方程之间关系的理解（点与坐标、直线与方程的对应关系），练习运用代数方法解决几何问题，即把握平面解析几何的实质。
另一方面，学习两点间的距离公式，也为后面建立圆的方程做了准备。
在圆与方程里也是同样，需要抓住的几何要素是圆心和半径，翻译成代数语言就是圆心的坐标和圆周的点到圆心的距离长度。
教学时也要注意让学生观察图形、回想几何中关于圆的定义，借助直观引导学生探索，由两点间的距离公式，很容易建立圆的标准方程。
接着，在圆与方程这一部分里，讨论了直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系。
目的依然是加深学生对解析几何数学实质的理解，应当使学生明确直线方程与圆的方程联立的方程组，讨论二次方程有没有解，有几个解，就是在讨论直线和圆有没有交点，有几个交点，由此得出直线与圆的位置关系。
圆与圆的位置关系也是如此。
最后，课标在这一部分里还要求“能用直线和圆的方程解决一些简单的问题”。
这是新课程理念“发展学生的数学应用意识”的体现。
讲应用，可以使学生体会运用解析几何方法解答问题的优越性，还可以做一些本段教学的小结，用解析几何解决问题的“三步曲”。
在必修2学习平面解析几何初步的最后，还有一个小小的尾巴（空间直角坐标系）。
这样的安排大概是考虑到，在学完平面解析几何以后，可使所有的学生都了解对于空间图形、立体几何的问题，也可以建立坐标系用代数或向量的方法解决。
（因为选择学习选修系列1的学生，后面没有机会学习空间向量和立体几何，而建立这样的思想对谁都很重要）
学习空间直角坐标系也要注意引导学生把图形和对应的代数表示联系起来。
可以用长方体框架来帮助学生理解空间直角坐标系，探索空间中两点间的距离公式。
（2）圆锥曲线与方程
“圆锥曲线与方程”是选修1-1和选修2-1中的内容，是必修教材中解析几何的延续。
在必修2中我们研究了直线和圆的方程，在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程。
对于这段内容，选修1-1和选修2-1的处理基本相同，只有细微的区别。
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