第七章梯形中的辅助线问题.docx
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第七章梯形中的辅助线问题
第七章梯形中的辅助线问题
梯形8种辅助线作法，助你玩转四边形
一、考情分析
1．在近几所全国中考试题及模拟试题中，有关“梯形”的各类型问题是一直以来中考的必考内容．下面我们将考查的各类题型分析如下：
考查类型
卷型
题序
分值
求线段、角的数量关系或求值．
2011年北京
2010年北京东城区中考一模卷
2010年北京海淀区中考一模卷
2010年北京崇文区中考一模卷
2011年河南中考卷
2011年重庆中考卷
4
19
19
19
17
24
4
5
5
5
9
10
与周长有关的问题
2011年烟台中考卷
2011年浙江中考卷
6
7
4
4
与面积有关的问题
2011年陕西中考卷
2011年呼和浩特中考卷
16
23
3
7
动态问题
2011年北京朝阳区中考一模卷
2011年吉林中考卷
23
28
7
10
2．专家预测
“梯形”是历年北京及全国各省市中考的必考内容，也是近年来中考数学综合题中的重点和热点题型．利用梯形的性质和它多种辅助线的添加，来证明线段相等，及进行线段、角、梯形周长和面积的计算，是中考的常见题型．
二、名师讲堂
知识点睛
1．梯形的有关概念：
（1）梯形的定义：
有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，叫做梯形．
（2）梯形的相关定义
①梯形的底：
梯形中平行的两边叫做梯形的底．
注：
通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上、下底是以长短区分的，不是由
位置定的．
②梯形的腰：
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
③梯形的高：
梯形两底的距离叫做梯形的高．
2．梯形的分类
3．梯形的判定
（1）定义法：
①一组对边平行；②另一组对边不平行．
（2）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
注：
此判定方法可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
4．等腰梯形的性质
（1）等腰梯形两腰相等，两底平行
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等．
（3）等腰梯形的对角线相等．
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线是它的对称轴．
注：
等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成“
（1）等腰梯形两底上的角相等；
（2）等腰梯形两
底角相等”．
5．等腰梯形的性质
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
技巧提炼
1．解决梯形问题的基本思路
梯形问题
三角形或平行四边形问题．
2．梯形的很多问题都是需要添加简单辅助线，下表总结了梯形常见的辅助线方法．
类型
图形
作法
本质
典型应用
与高有关
过A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F（简称作双高）
把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形
面积计算
与腰有关
过D作DE∥AB交BC于点E（平移一腰）
把梯形转化为一个平行四边形和集中两腰、上下底之差的三角形（△DCE）
梯形中四边关系
过点C作CE∥AB，交AD延长线于点E（平移一腰）
过E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交BC于点N（平移两腰）
把梯形转化为两个平行四边形和一个集中两腰和上下底之差的三角形（△EMN）
分别延长CA、DB交于点E（补成三角形）
△ECD为三角形
中考热点，梯形中构造特殊三角形
与对角线有关
过D作DE∥AC交BC延长线于点E（平移对角线）
把梯形转化为一个平行四边形（□ADEC）和一个集中两条对角线与上下底之和的三角形（△BDE）
集中对角线
与腰的中点（M）有关
连接AM并延长交BC延长线于点E（倍长中线）
将梯形切割拼接成一个与它面积相等的三角形（△ABE）
梯形的中位线证明：
梯形拼接成三角形或四边形
过M作EF∥AB交BC于点E，交AD延长线于点E（倍长类中线）
将梯形切割拼接成一个和它面积相等的平行四边形（□ABFE）
例题精讲
例1如图7-1（a），在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，∠BDC=90°，AD=3，BC=8，求AB的长．
解析
解：
如图7-1（b）在梯形ABCD中，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∴AE∥DF．∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=3，AE=DF．
∵BD=CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC边上的中线．
∵∠BDC=90°，∴DF=
BC=BF=4．∴AE=4，BE=BF－EF=4－3=1．
在Rt△ABE中，
，∴AB=
．
点评：
遇到梯形中求线段长，通常考虑过梯形一底的两个顶点向另一底做垂线（也称作梯形的双高），
把梯形转化成矩形和两个直角三角形从而求解，这是解决梯形问题的常用方法．
例2如图7-2（a）所示，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠B=2∠D，AB=3，BC=5，求CD的长．
解析
解：
如图7-2（b）所示，过点B作BE∥AD，交CD于E点．
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE=AB=3，∠3=∠D．
∵∠ABC=2∠D=2∠3，∴∠2=∠3=∠1．∴△BEC为等腰三角形．
∴CE=BC=5，∴CD=DE＋EC=3＋5=8．
例3如图7-3（a）所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＋∠D=90°，E、F为AB、CD的中点．求证：
CD－AB=2EF．
解析
证明：
如图7-3（b），过E点分别作AD、BC的平行线，交DC于点G、H，
∴四边形ADGE、BCHE都是平行四边形．
∴DG=AE，HC=EB．
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=EB，DF=FC．∴DF－DG=CF－CH．
即GF=FH=
（DC－AB）．
∵EG∥AD．EH∥CB，∴∠D=∠EGF，∠C=∠EHF．
∵∠D＋∠C=90°，∴∠EGF＋∠EHF=90°，∴∠GEH=90°．
∵GF=FH，∴EF=
GH=
（DC－AB），即CD－AB=2EF．
点评：
遇到同一底边上的两个底角和为90°，上下底之差或者对角存在2倍关系时通常考虑作腰的平行线，构造平行四边形和三角形，将分散的条件集中到平行四边形和三角形中．例3还可以得到结论AD＋BC＞DC－AB．
例4如图7-4（a），梯形ABCD中，AD∥BC,∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD，过点C作CE⊥AB于点E，
交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：
CF=AB＋AF．
解析
（1）解：
如图7-4（a）所示，
∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴DBC=∠DCB=45°．
∴CD=DB=2，
在Rt△BDC中，CB=
．
∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，
∴EG=
CB=
（2）证明：
如图7-4（b），延长BA、CD交于点H，
∵BD⊥CD，
∴∠CDF=∠BDH=90°．
∴∠DBH=∠H=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠DCF=＋∠H=90°．
∴∠DBH=∠DCF．
又CD=BD，∠CDF=∠BDH，
∴△CDF≌△BDH（ASA）．
∴DF=DH，CF=BH=BA＋AH．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADF=45°．
∴∠HAD=∠DCB=45°．
∴∠ADF=∠HDA．
又∵DF=DH，DA=DA，
∴△ADF≌△ADH（SAS）．
∴AF=AH．
∴CF=AB＋AF．
点评：
本题含括了直角三角形、梯形和全等三角形的有关知识，主要考查了构造全等三角形解决问题的能力．为了构造全等三角形，可延长两腰，把梯形转化成三角形求解．
例5已知:
如图7-5（a），梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC，AC⊥BD，BE⊥DC，若AB=3，DC=5，求这
个梯形的面积．
解析
解：
如图7-5（b）所示，作BF//AC交DC的延长线于点F．
∵AB//CD，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∴BF=AC，CF=AB．
∵AD=BC，AB//CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∴BD=AC．
∴BD=BF．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥BF．
∴△BDF为等腰直角三角形．
∵BE⊥DF，
∴E为DF中点．
∴BE=
DF．
∴BE=
（DC+CF）=
（DC+AB）=
×（3+5）=4．
∴
．
点评：
遇到梯形对角线夹角为特殊角，通常考虑平移对角线，构造平行四边形和三角形，本题将求梯形面积的问题转化成求直角三角形面积，使问题得以解决．
变式1如图7-6，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的
最大值为．
变式2如图7-7，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是梯形的高，MN是中位线，
求证：
MN=CH．
例6如图7-8（a），在梯形ABCD中，AB//CD，E是AD的中点，∠BEC=90°．
求证：
BC=AB+CD．
解析
证明：
如图7-8（b），延长BE交CD的延长线于点F．
在△ABE和△DFE中，
∠A=∠FDE，AE=DE，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，AB=DF．
∴CF=CD+DF=AB+CD．
∵CE⊥BF，BE=EF，
∴BC=CF=AB+CD．
点评另外此题还可以拓展为在梯形ABCD中，AB//CD，①E是AD的中点，②∠BEC=90°；③BC=AB+CD；
④BE平分∠ABC；
以上四个条件，除由②③不能推出①④外，由其它任意两个作条件，均可推出另两个结论，读者可自行推导．
例7如图7-9（a），在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC的中点，tanC=
．
求AE的长度．
解析
解：
如图7-9（b），过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M．
在梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE．∵∠M=∠EFC，∠DEM=∠CEF，DE=CE．
∴△MDE≌△FCE．
∴FE=ME，DM=CF．
∵AD=2，BC=5，
∴DM=CF=AM－AD=
（AD+BC）－AD=
（2+5）－2=
．
在Rt△FCE中，
，∴EF=ME=2．
在Rt△AME中，
．
点评由例6、例7解法可知，已知一腰中点，通常可以考虑过梯形一顶点和此腰中点作直线，利用中心
对称，构造全等三角形，把梯形问题转化成三角形问题求解．
例8如图7-10（a）所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：
AB=BC；
（3）若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求
的值．
解析
（1）解：
∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠ADE=45°．
∵AB⊥BC，AD∥BC
∴∠DAB=90°，
∴∠AED=45°
（2）证明：
由
（1）知∠AED=45°．
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
∵△DCE是等边三角形．
∴CD=CE，
∴点C也在线段DE的垂直平分线扇个，连接AC，如图7-10（b）所示．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，又AB⊥BC．
∴∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB．
（3）解：
∵∠FCB=30°，
∴∠ABF=60°．
如图7-10（c），连接AF，延长BF、AD交于点G．
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°．
∴BC=BF．
由
（2）知BA=BC，
∴BA=BF．
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA．
又∵∠BAG=90°，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG．
∴△BCF≌△GDF．
∴CF=DF，即点F是线段CD的中点．
∴
三、牛刀小试
【易】小试1
如图7-11，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）
A．8B．9C．10D．12
【中】小试2
已知一个梯形的四边条边的长分贝为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）
A．4B．6C．
D．
【中】小试3
（1）如图7-12（a），梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，
且AF⊥AB，若AD=2．7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）
A．
B．
C．2．5D．2．3
（2）如图7-12（b），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，
垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）
A．
B．
C．
D．
【中】小试4
如图7-13，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4，求BC的长．
【中】小试5
如图7-14，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为
、
、
，则
、
、
之间的关系是．
【中】小试6
已知：
如图7-15，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，求∠B的度数及AC的长．
【难】小试7
如图7-16所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度移动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒2cm的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒，求t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形．
【难】小试8
如图7-17所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，DC=a+b，且
，，点M是AB边的中点．
（1）求证：
CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离．（用a，b的式子表示）
【难】小试9
如图7-18所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分别是AB和BC边上的点．
（1）如图7-18（a），以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B和点D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，
求梯形ABCD的面积
的值；
（2）如图7-18（b），连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果
（k为正数），试猜
想BE与CG有何数量关系？
写出你的结论并证明．
眺望中考
如图7-19所示，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=
，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，求CF的长．
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