不等式组的应用方案题.docx
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不等式组的应用方案题
不等式组
1、某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．
（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．答：
榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150-a）棵，
根据题意得，
60a+80（150−a）≤10840①
150−a≥1.5a②
，
解不等式①得，a≥58，
解不等式②得，a≤60，
所以，不等式组的解集是58≤a≤60，
∵a只能取正整数，
∴a=58、59、60，
因此有3种购买方案：
方案一：
购买榕树58棵，香樟树92棵，
方案二：
购买榕树59棵，香樟树91棵，
方案三：
购买榕树60棵，香樟树90棵．
2、5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？
列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从
（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．
解：
（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得
5x+3y≤30
x+y≥7
x≥1，
∵x、y为正整数，
当x=1时，y=6，7，8符合题意，
当x=2时，y=5，6符合题意，
当x=3时，y=4，5符合题意，
当x=4时，y=3符合题意，
当x=5时，y=1舍去，
当x=6时，y=0舍去．
共有8种购买方案，
方案1：
购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：
购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：
购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：
购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：
购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：
购买康乃馨3支，购买兰花4支；
方案7：
购买康乃馨3支，购买兰花5支；
方案8：
购买康乃馨4支，购买兰花3支；
（2）由题意，得，
5x+3y≤28
x+y≥7
x≥1
购花的方案有：
方案1：
购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：
购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：
购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案4：
购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案5：
购买康乃馨3支，购买兰花4支；
∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，
∴小明能实现购买愿望的概率为P=
3、（2013•西宁）青海新闻网讯：
西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：
甲种花卉（盆）
乙种花卉（盆）
A种园艺造型（个）
80盆
40盆
B种园艺造型（个）
50盆
90盆
（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？
（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮忙设计出来
答：
A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．
（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50-a）个，根据题意得：
80a+50（50−a）≤3490
40a+90（50−a）≤2950
，
解此不等式组得：
31≤a≤33，
∵a是整数，
∴符合题意的搭配方案有3种，如下：
A种园艺造型（个）
B种园艺造型（个）
方案1
31
19
方案2
32
18
方案3
33
17
4、（2013•攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第
（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？
最大利润是多少元？
5、（2013•泸州）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？
请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明
（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．
由题意，得
80x+30（30−x）≤1900
50x+60（30−x）≤1620
，
化简得
50x≤1000
10x≥180
，
解这个不等式组，得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一的费用是：
860×18+570×12=22320（元）；
方案二的费用是：
860×19+570×11=22610（元）；
方案三的费用是：
860×20+570×10=22900（元）．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
6、（2013•六盘水）为了抓住2013年凉都消夏文化节的商机，某商场决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．
（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时又不能超过6430元，则该商场共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第
（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？
最大利润是多少元？
答：
购进甲乙两种纪念品每件各需要80元和40元；
（2）设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品（100-a）件，根据题意得：
80a+40（100−a）≥6000
80a+40（100−a）≤6430
，
解得：
50≤a≤243
4
，
∵a只能取整数，a=50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，
∴共11种进货方案，
方案1：
购进甲种纪念品50件，则购进乙种纪念品50件；
方案2：
购进甲种纪念品51件，则购进乙种纪念品49件；
方案3：
购进甲种纪念品52件，则购进乙种纪念品48件；
方案4：
购进甲种纪念品53件，则购进乙种纪念品47件；
方案5：
购进甲种纪念品54件，则购进乙种纪念品46件；
方案6：
购进甲种纪念品55件，则购进乙种纪念品45件；
方案7：
购进甲种纪念品56件，则购进乙种纪念品44件；
方案8：
购进甲种纪念品57件，则购进乙种纪念品43件；
方案9：
购进甲种纪念品58件，则购进乙种纪念品42件；
方案10：
购进甲种纪念品59件，则购进乙种纪念品41件；
方案11：
购进甲种纪念品60件，则购进乙种纪念品40件；
（3）因为甲种纪念品获利最高，
所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，
因此选择购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最高，
总利润=60×30+40×12=2280（元）
则购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件时，可获最大利润，最大利润是2280元．
7、（2013•黄冈）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：
甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
300
如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
8、2012•铜仁地区）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第
（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？
最大利润是多少元？
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元…4分；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100-x）个，
∴
100x+50（100−x）≥7500
100x+50（100−x）≤7650
，…6分
解得：
50≤x≤53，…7分
∵x为正整数，x=50，51，52，53
∴共有4种进货方案，
分别为：
方案1：
商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个；
方案2：
商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个；
方案3：
商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个；
方案4：
商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个．…8分；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
因此选择购A种50件，B种50件．…10分
总利润=50×20+50×30=2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．…12分
9、（2012•绥化）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．
（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？
答：
改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元．
（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8-a）所．
则
20a+30（8−a）≥210①
（90−20）a+（130−30）（8−a）≤770②
，
解得由①的a≤3，由②得a≥1，
∴1≤a≤3，即a=1，2，3．
答：
有3种改造方案．
方案一：
A类学校有1所，B类学校有7所；
方案二：
A类学校有2所，B类学校有6所；
方案三：
A类学校有3所，B类学校有5所．
10、（2012•常德）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
A种产品
B种产品
成本（万元/件）
0.6
0.9
利润（万元/件）
0.2
0.4
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？
哪种生产方案获利润最大？
最大利润是多少？
解：
设生产A产品x件，则生产B产品（50-x）件，
由题意得，投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，
故可得：
0.6x+0.9（50−x）≤40
0.2x+0.4（50−x）＞16
，
解得：
50
3
≤x＜20，
∵x取整数，
∴x可取17、18、19，
共三种方案：
①A17件，B33件；
②A18件，B32件；
③A19件，B31件．
第一种方案获利：
0.2×17+0.4×33=16.6万元；
第二种方案获利：
0.2×18+0.4×32=16.4万元；
第三种方案获利：
0.2×19+0.4×31=16.2万元；
故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．
答：
工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万
11、为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？
（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
12、（2013•本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元．
（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？
（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？
答：
购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）设该中学购买篮球m个，
由题意得：
80m+50（100-m）≤6000，
解得：
m≤331
3
13、，
∵m是整数，
∴m最大可取33．
答：
这所中学最多可以购买篮球33个．
13、2012•益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，根据题意得：
80x+60（17-x）=1220，
解得：
x=10，
∴17-x=7，
答：
购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，
根据题意得：
17-x＜x，
解得：
x＞8
1
2
，
购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17-x）=20x+1020，
则费用最省需x取最小整数9，
此时17-x=8，
这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．
答：
费用最省方案为：
购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减
14、（2012•湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：
2：
3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
解：
（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：
2：
3，甲种树每棵200元，
则乙种树每棵200元，
丙种树每棵3
2
×200=300（元）；
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000-3x）棵．
根据题意：
200×2x+200x+300（1000-3x）=210000，
解得x=300
∴2x=600，1000-3x=100，
答：
能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵；
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000-y）棵，
根据题意得：
200（1000-y）+300y≤210000+10120，
解得：
y≤201.2，
∵y为正整数，
∴y最大取201．
答：
丙种树最多可以购买201棵．
15、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
答：
该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
120（z-100）+2×200×（138-120）≥8160，
解得：
z≥108．
答：
乙种商品最低售价为每件108元．
16、2010•牡丹江）在“老年节”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆．
（1）请帮助旅行社设计租车方案；
（2）若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？
此时租金是多少？
（3）旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后，为更好的照顾游客，决定同时租45座和30座的大小两种客车．大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，为此旅行社又请了4名医生．出发时，旅行社先安排游客坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率，请直接写出旅行社的租车方案？
解：
（1）设租甲种客车x辆，则租乙种客车（7-x）辆，
依题意，得40x+30（7-x）≥253+7，
解得x≥5，又x≤7，即5≤x≤7，x=5，6，7，
有三种租车方案：
租甲种客车5辆，则租乙种客车2辆，
租甲种客车6辆，则租乙种客车1辆，
租甲种客车7辆，则租乙种客车0辆；
（2）∵5×350+2×280=2310元，6×350+1×280=2380元，7×350=2450元，
∴租甲种客车5辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为2310（元）；
（3）
①大客车上正好配两名随团医生，小客车上正好配一名随团医生，
设有a辆大车，（11-2a）辆小车．
∵要求最后的车最少有20上座率，30-20=10，
∴最后车的空位不超过10个，
0≤45a+（11-2a）×30-（253+11）≤10，
56≤15a≤66，
∵大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，
∵a为整数，
得a=4，那么11-2a=3；
②若大客车上配两名随团医生，小客车上有若干辆配2名随团医生，
有m辆大客车，n辆小客车．
即2m+n＜11，
∵m、n是正整数，
∴2m+n≤10，
则0≤45m+30n-264≤10
符合题意的有：
m=2，n=6，
租车方案为：
租45座的客车4辆，30座的客车3辆或大租45座的2辆，租30座的6辆．
17、列不等式
18、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩．该校骆红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，她在期末考试中数学至少应得多少分？
（只列关系式）解：
设她在期末至少应考x分，则有：
40%×85+60%x≥90．
19、在某次数学测试中，共有20道选择题，答对一题得5分，不答或答错一题扣2分，要想得60分以上，至少要答对多少道题？
（只列式子解：
设这个学生至少要答对x道题，则答错的题目为（20-x）道题．
依题意得：
5x-2（20-x）＞60．
20、课外阅读课上，老师将43本书分给各小组，每组8本，还有剩余；每组9本却又不够．问有几个小组？
解：
设有x个小组，题意得
8x＜43
9x＞43
，
解得：
43
9
＜x＜43
8
21、2006•河南）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：
在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？
说明你的理由解：
（1）在甲超市购物所付的费用是：
300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元，
在乙超市购物所付的费用是：
200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元；
（2）①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
②当0.8x+60＞0.85x+30时，
解得x＜600，而x＞300，
∴300＜x＜600．
即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，
即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
22、某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．解：
设有宿舍x间．住宿生人数4x+21人．
由题意得4x+21＜55，
∴x＜8.5
1≤4x+21-7（x-1）＜7
解得7＜x≤9．
∴7＜x＜8.5．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．
当宿舍8间时，住宿生53人，
答：
住宿生53人．
（2008•湘潭）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
23、
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？
并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？
并求出最大利润的值．
解：
（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，
那么装运
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