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高等数学习题及解答极限连续与导数

高等数学习题库

淮南联合大学基础部

2008 年 10 月

第一章映射，极限，连续

习题一集合与实数集

基本能力层次：

1:

 已知：

A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3}

求：

在直角坐标系内画出 A×B

解：

如图所示 A×B＝{（x,y）| x ∈ A, y ∈ B }.

2：

证明：

∵ P 为正整数，∴p＝2n 或 p＝2n+1，当 p＝2n+1 时，p2＝4n2+4n+1，不能被 2 整除，

故 p＝2n。

即结论成立。

基本理论层次：

习题二函数、数列与函数极限

基本能力层次

1：

解：

2：

证明：

由

所以命题成立

得 cxy - ay = ax + b 即 x = ay + b ，所以 x = f （ y）

cy - a

3：

（1） y = 2- x2

（2） y =

x + lg（sin x）

⎧0, x ≥ 0⎫

（3 y = [ x]（4） y = ⎨⎬

⎩1, x < 0 ⎭

解：

4：

用极限定义证明：

 lim

n→∞

n - 1

n

= 1 （不作要求）

n - 1111

证明：

因为 ∀ω有 |- 1| =< ω 成立,只要 n >取 N＝[]，则当 n>N 时,就有

nnωω

n - 11n - 1

|- 1| =< ω 有定义变知 lim= 1 成立

nnn→∞ n

5：

求下列数列的极限

n

（1） lim

n→∞ 3n

（2） lim

n→∞

12 + 22 +

n3

+ n2

（3）

（4） lim 1 +

n→∞

1

n

解：

（1）

n  2n

<

3n 3n

又

lim

x→∞

2n               n              n

= 0 ,所以 0 ≤ lim ≤ 0  , 故：

 lim

3n n→∞ 3n n→∞ 3n

＝0

（2）由于

12 + 22 +

n3

+ n2

= n（n + 1）（2n + 1） 1  1   1 ）

n3       6   n     n

1111

又因为：

 lim（1+ ）（2n + ） =,所以：

 lim

n→∞ 6nn3n→∞

（3）因为：

所以：

12 + 22 +

n3

+ n2 1

3

（4） 因为：

1 ≤ lim 1 +

n→∞

1    1            1

≤ 1 +  ，并且 lim（1+ ） = 1 ,  故由夹逼原理得

n    n            n

lim 1 +

n→∞

1

n

= 1

6：

解：

由于

7：

解：

8：

9：

习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限

基本理论层次

1：

解：

同理：

（3），（4）

习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质

基本理论层次

1：

（1）

（2）

2：

第二章一元微分学及应用

习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数

.

基本理论层次

1.设f（x）= ⎨         , 试求常数a, b, 使f（x）在x=1处可导。

⎧⎪ax 2 + 1, x ≥ 1

⎪⎩- x2 + bx, x < 1

解：

首先必须f（x）在x=1处连续,f（1-0）=limf（x）=lim（-x 2 +bx）=b-1

f（1+0）=limf（x）=lim（ax2 +1）=a+1,由f（1-0）=f（1+0）f

（1）得b-1=a+1,即b=a+2

f （ x） - f 

（1）-x2 + bx - （a + 1）-（ x - 1）{x - （a + 1）}

-

f （ x） - f 

（1）ax2 + 1 - （a + 1）

+

由f ' 

（1） = f ' 

（1）得a = 0, 从而b=2。

+-

2. 求函数y=x+x

x

+ x x x , （ x > 0）

解：

设x

x

= e x ln x , x x x = e x x ln x , 所以 y = x + e x ln x + e x x ln x

⎛1 ⎫

⎝x ⎭

（（x x ）'ln

x + x x （ln x ） '

）

⎛

⎝x ⎭

3. f （ x） =

1

x2 - 3x + 2

 求f （n） （x ）

111

（x - 1）（x - 2）x - 2x - 1

⎛

⎝

1 ⎫（n） ⎛

⎝

1          -1     -1

⎪ ' =       -

（x - 2）2 （x - 1）2

⎛1-1⎫⎛ （-1）2 2（-1）2 2 ⎫

⎝ x - 1⎝⎭⎝⎭

由数学归纳法可得出：

⎡ （-1）n ⋅ n！

 （-1）n ⋅ n!

⎤

-⎥ =

⎛ ⎫

⎝

4.求下面的参数方程所确定的函数的导数。

x=

⎨

⎪ y = 3at 2

⎪⎩1+t2

 求

dy

dt

t =2

⎛ 3at 2 ⎫

解：

 ==又因为

⎝ 1+t2 ⎭

y ' （t ） == 6at 3 - 6a2t 3 + 6at

（1 + t 2 ）（1 + t 2 ）

x ' （t ） =

2a （1 + t 2 ）- 2at 2t

2

（1 + t 2 ）

dy （6a - 6a233 + 3t

==.

dx2a - 2at 21 - t 2

习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的

函数的导数、函数的微分

略

习题三中值定理罗必达法则 泰勒公式

基本理论层次

1

.

2．

3．

4

5.]

6.

7.

习题四导数的应用

基本理论层次

1．

综合练习题

一、填空题

f （a + x） - f （a - x）

=

x→0x

2、设 f '（3） = 2 ，则 lim

h→0

f （3 - h） - f （3）

2h

=

______________

。

- 1

x

h→0

f （2 - h） - f 

（2）

h

=

_____________

。

4、已知 f （ x） =

cos x                  π

0 0 0

_______________________

。

5、已知 x2 y + y 2 x - 2 = 0 ，则当经 x ＝1、 y ＝1 时，

dy

dx

=

_______________

。

6、 f （ x） = xe x ，则 f '''（ln 2） =

。

_______________

7、如果 y = ax（a > 0） 是 y = x2 + 1 的切线，则 a =。

__________

8、若 f （ x） 为奇函数， f '（ x ） = 1 且，则 f '（- x ） =

00

9、 f （ x） = x（ x + 1）（x + 2）（ x + n） ，则 f '（0） =

_________________

。

。

_________________

x→0

10、 y = ln（1+ 3- x ） ，则 y' =

11、设 f '（ x ） = -1 ，则 lim

0

。

____________________

x

f （ x - 2 x） - f （ x - x）

0 0

=        。

___________

12、设 x + y = tan y ，则 dy =

。

13、设 y = ln

1 - x

1 + x2

_________________________

，则 y'''（0） =         。

_______________

14、设函数 y = f （ x） 由方程 xy + 2ln x = y 4 所确定，则曲线 y = f （ x） 在点（1，1）

处的切线方程是

。

______________________

1

⎪ x cos

⎪⎩0

_______________________

x ≠ 0

x = 0

。

，其导数在 x = 0 处连续，则 λ 的取值范围是

16、知曲线 y = x3 - 3a 2 x + b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为

。

____________

二、选择题。

17、设 f （ x） 可导， F （ x） = f （ x）（1+ sin x ） ，则 f （0） = 0 是 F （ x） 在 x = 0 处可导的（）。

A充分了必要条件，B充分但非必要条件，

C必要条件但非充分条件，D既非充分条件又非必要条件。

⎪ x

⎪⎩ x2

x ≤ 1

x > 1

在 x = 1 处                    （     ）

A左右导数均存在，B左导数存在，右导数不存在，

C左导数不存在，右导数存在，D左右导数均不存在。

f 

（1）- f （1- x）

x→02 x

y = f （ x） 在点 （5, f （5）） 处的切线斜率为（）

A1 ，B0，C–10，D–2。

2

20、设函数 f （ x） = ⎨ （ x - 1）a

⎧1

⎪

⎪

⎩

cos

0

1

x - 1

x ≠ 1

x = 1

则实常数 a 当 f （ x） 在 x = 1 处可导时必满足（ ）

Aa < -1 ；B-1 ≤ x < 0 ；C0 ≤ x < 1；Da ≥ 1

⎧ x2 - 1x > 2

21、已知 ϕ （ x） = ⎨，且 ϕ '

（2） 存在，则常数 a, b 的值为（）

⎩ax + bx ≤ 2

Aa = 2, b = 1;Ba = -1,b = 5;Ca = 4, b = -5;Da = 3,b = -3.

22、函数 f （ x） 在 （-∞, +∞） 上处处可导，且有 f '（0） = 1 ，此外，对任何的实数 x, y 恒有

f （ x + y） = f （ x） + f （ y） + 2 xy ，那么 f '（ x） = （）

Ae x ;Bx;C2 x + 1 ；Dx + 1。

23、已知函数 f （ x） 具有任何阶导数，且 f '（ x） = [ f （ x）]2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时，

f （ x） 的 n 阶导数 f （n） （ x） 是（）

An!

[ f （ x）]n+1 ；Bn[ f （ x）]n+1 ；C[ f （ x）]2n ；Dn!

[ f （ x）]2n .

24、若函数 y = f （ x） 有 f '（ x ） =

0

1

2

，则当 ∆x → 0 时，该函数在 x = x 处的微分 dy 是 ∆x 的（ ）

0

A等价无穷小；B同阶但不等价的无穷小；

C低阶无穷小；D高阶无穷小。

25、设曲线 y = 1 和 y = x2 在它们交点处两切线的夹角为 ϕ ，则 tan ϕ =（）

x

A-1；B1;C2；D3。

⎩te y + y + 1 = 0

⎧x = 2t - 1d 2 y

26、设由方程组 ⎨确定了 y 是 x 的函数，则

dx2

t =0

= （   ）

A

1           1            1            1

D -

e2          2e2           e           2e

。

一、 填空题的答案

1、2 f '（a）2、-1 ；3、 1 e - 1 ；4、35、-1

4

21

6、6+2ln27、 8、 9、n!

10、 3- x ln 3

1 + 3- x

11、112、 dy =

1

sec y 2 - 1

dx

13、

- 3

15、 λ > 216、

b 2 = 4a 6

二、选择题答案：

17、A18、B19、D20、A

21、C22、C23、A24、B

25、D26、B

三、综合题：

27、求曲线 y = cux 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程。

剖析：

求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求

切线斜线。

x

解：

设切点为

k = y' | x = x = 1

0

0

（ x y ） 则点 （ x . y ） 处的切线斜度为

0 0 0 0

依题意知所求切线（）坐 x + y = 1 垂直，从而

1

x

0

= 1

x = 1     利

0

切点为 （1、0） ；切线（）为 k = 1.

故所求切线方程为 y - 0 = x - 1即：

 y = x - 1

设 f （ x） = e - 1

则 lim

t →0

1

= - e - 2

tc         4

9、如果 f （ x） 为偶函数，且 f - （0） 存在证明 f - （0） = 0

证明：

因为

f （ x） 为偶函数，所以 f （- x） = f （ x） 从而

f （0） = lim

x→0

f （ x） - f （0）      f （- x） = f （ x） - f （0）

= lim                 = - f '（0）

- x→0

x - 0              - x - 0

∴

:

 2 f '（0） = 0   故 f '（0） = 0

28、讨函数

⎪x sin

⎪⎩  0

1

x ≠ 0 在 x = 0 处方程连续性与可得

x = 0

解：

 lim y = lim x 2 sin 1 = y（0） ，所以函数 y 在 x = 0 处连续

x→0x→0x

又 lim y - y（0） = lim

x→0x - 0x→0

x 2 sin 1

x = lim x sin 1 = 0

x→0

x           x

故函数 y 在 x = 0 处可导、值

y ' |

x = 0

⎧ x 2  x ≥ 0 求

29、已知

f （ x） = ⎨

⎩- x x < 0

x=0

f ' （0）.及f ' （0） 2 f '（0）是否存在

+ -

解:

 f ' （0） = lim

+

x→0+

f （ x） - f （0）     x 2

= lim

x→0+

x - 0         x

= 0

f ' （0） = lim

-

x→0-

f （ x） - f （0）     - x

= lim

x→0-

x - 0         x

= -1

故 f '（0）不存在

x < 0

⎩ x求f '（ x）

解：

当x < 0时. f '（ x） = cos x

当x > 0时. f '（ x） = 1

f ' （0） = lim f '（ x） = lim 1 = 1

+

x→0+x→0+

所以：

 f 1 （0） = 1

从而

s

⎧c o x x < 0

f '（ x） = ⎨

⎩ 1 x ≥ 0

31、证明：

双曲线 xy = 2a 2 上往一点处切线与两坐标轴构成的

三角形的面积都等于 2a 2 。

证明：

设 （ x

0

 y ） 为双曲线 xy = a 2 上的一点，则该点处切线的斜

0

率为 k = -

0

y - y =-

0

a 2

0

（ x - x ）

0

令

x = 0 得 y 轴上的截距为 y = y

a 2   a 2

x

0 +  = 2 x

0 0

令 y = 0 得 x 轴上的截距为 x = 2 x

0

s =| x | y |=| 2 x .2|= 2a 2

0

0

x

32、设 y = e tan 1 sin 1 求 y '

x

解：

 y ' = （e tan 1 ）' sin 1 + e tan 1 （sin 1 ）'

xx

11

= e tan x （sec 2）（-） sin+ e tan x cos（-

xx 2xxx 2

）

33、设 y = f （求 dy

3x + 2dx

x=0

解：

设 y = f （u）, u = 3x - 2

3x + 2

= f '（u）（）' = f '（u）

dx3x + 2（3x + 2） 2

= （arcsin 2 u）12

（3x + 2） 2

3x - 212

= arcsin（） 2 ⋅

3x + 23x + 2 2

从而 dy |= 3arcsin1 = 3 π

dxx=02

34、设

⎪x arctan

0

⎧ 1

x 2 ≠ 0 ，讨论 f '（ x）在点x = 0 处连续性

x = 0

剖析：

本题需先求 f '（ x） 的表达式，再讨论 f '（ x） 在点 x = 0 处的

连续性

解：

当 x ≠ 0时f '（ x） = arctan 1 + x

x 2

12 x 2

= arctan

-

x 21 + x 4

-

1 + （

2

x 3

1

x 2

） 2

f ' = lim

x→0

f （ x） - f （0）

x - 0

= lim

x→0

x arctan 1

x 2 = π

x      2

从而：

⎧      1   2 x 2

1 + x 4

π

⎪ 2

x ≠ 0

x = 0

由于 lim f '（ x） = lim⎡arctan

x→0x→0 ⎣

∴ f '（ x）在点x = 0处连续

1   2 x 2 ⎤  π

-       =  = f '（0）

2

35、 设f （ x）可导, 求下列函数y的导数

dy

dx

:

（1） y =

解：

（1） y ' =

f （ x 2 ）        

（2） y = f （sin x 2 ） + f （cos 2 x）

f '（ x 2 ） ⋅ 2 x = 2 xf '（ x 2 ）

（2） y ' = f '（sin 2 x）（sin 2 x）' + f '（cos 2 x）（cos 2 x）'

= f '（sin 2 x）2 sin x cos x - f '（cos 2 x）2 cos x sin x

= sin 2 x[f 1 （sin 2 x） - f 1 （cos x2 ）]

37、设 f （ x） = lim t （1 + 1 ） 2tx , 求f '（t ）

x→∞x

提示：

 f （t ） = te 2t 。

答案：

 f '（t ） = （1 + 2t ）e 2t

38、求 y = arcsin2t

1 + t 2

导数

解:

 y' =1

1 - （2t

⋅ 2（1 + t 2 ） - 2t ⋅ 2t

（1 + t 2 ） 2

=12（1 - t 2 ）

1 + t 2

⎧2

t 2 < 1

2

⎪-

39、 y = f （ x 2 - x）, f二阶可导, 求y ''

解 y = f （u）, u = x 2 - x

y ' = f '（u）u ' = f '（ x 2 - x） ⋅ （2 x - 1）

y '' = 2 f '（ x 2 - x） + （2 x - 1） 2 f ''（ x 2 - x）

x 2 + 5

40、设 y =1 x + 6 求y （n）

剖析：

此类函数直接求导，很难找出规律，先对

x 2 + 5 + 6分解因式, 再将又拆项, 而后求导

y =

1        1     1

=     -

（ x + 2）（ x + 3）  x + 2  x + 3

11

y' = -+

（ x + 2） 2（ x + 3） 2

22

y'' =-

（ x + 2） 3（ x + 3） 3

3.23.2

y''' = -+

（ x + 2） 4（ x + 3） 4

n!

+ （-1）

（ x + 2） n+1（ x + 3） n+1

41、求下列函数的 n 阶导数的一般表达式

（1） y = sin 2 x

解 :

（1）、 y' = sin 2 x

（2） y = x ln x      （3） y = xe x

y'' = 2 cos 2 x = 2 sin（2 x +

π

2 ）

y''' = 22 cos（2 x +

π

2 ） = 2 sin（2 x +

2π

2

）

⎡（n - 1）π ⎤

⎣⎥

（2）、 y' = 1 + ln x

y'' = 1

x

y''' = -

y（4） =

1

x2

2

x3

y（5） = -

3 ⋅ 2

x4

y

（n）

（-1）n （n - 2）!

=            , n = 2,3

xn-1

（3）、 y ' = e x + xe x = （1 + x）e x

y '' = e x + e x + xe x == （2 + x）e x

y ''' = （3 + x）e x

y （n） = （n + x）e x

⎨

44、求曲线 ⎧x = cos3 t

⎩ y = sin 3 t

dy3sin 2 t ⋅ cos t

dx3cos 3 t ⋅ （- sin t ）

上对应于 t = π 点处的法线方程

6

K

切

= - tan t |

t =

π =-

6

3

3

则K

法

=- 3

当t = π

x = 3 3

8

y -

1

8

1         3 3

= - 3（ x -   ）

8          8

y = 3x - 1

1d 2 y

2dx 2

1

2

1

1 - y ' +cos yy ' = 0

2

dy2

dx2 - cos y

d 2 y- 2（2 - cos y）'2sin y - y '4sin y

==-=

dx（2 - cos y） 2（2 - cos y） 2（cos y - 2） 3

46、求 y =

1

a x x l