小学奥数专题之数阵图练习题例.docx
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小学奥数专题之数阵图练习题例
66666小学奥数专题之数阵图练习题例（总20页）
小学奥数专题之——————数阵图
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：
每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
辐射型数阵
例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：
已给出的五个数字和是：
1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？
因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：
图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝3030÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
解：
图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，a被重复使用了两次，即：
1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。
（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。
由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。
在a＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。
但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：
9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。
经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。
因此，确定a只能填4。
例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：
1～9九个数字和是：
1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45，把45平分成两份：
45÷2＝22余1。
这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3……。
总之，因45÷2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。
因而，此题可有多种解法。
但中心数必须是9以内的奇数。
例5将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。
解：
图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。
共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：
中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。
据此，中心数填6、11均可得解。
封闭型数阵
例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
解：
要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。
解：
要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：
21×3＝63。
而1～9九个数字的和只有45。
45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加18。
所以应确定顶点的三个数。
下面是填法中的一种。
确定了顶角的数后，其他各数便容易了。
例3下图是四个互相联系的三角形。
把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。
解：
每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：
15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。
45比60少15。
怎样才能使它增加15呢？
靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。
因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。
因此，它的三个顶角数字，可以分别为：
1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。
前页下图是其中的一种。
例4把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。
解：
2～10九个数字的和为：
2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54
若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15×6＝90。
54比90少36。
在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。
所以，每个三角形三个顶角的数和应为：
36÷2＝18。
这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。
三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。
填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。
上面是填法中的一种。
例5把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。
解：
图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。
因此，要使各三角形顶角的数字和相等。
去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。
如：
以10为中心数，可填为如上图样。
例6将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
解：
图中共有四个三角形，共有六个边。
1～12的数字和是78。
每条边上的数字和应为：
78÷6＝13。
这样，我们可以推想：
因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。
7、把
九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个数的和都相等。
解：
九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。
这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：
把它们按序排列为斜方形：
将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，这样重新组成的数阵，便是求得的解了。
例8将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。
解：
图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×4＝48，可是1～8八个数字总和只有36。
36比48少12。
只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。
因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。
把1～8八个数四个一组，和为12的有：
6＋3＋2＋1
5＋4＋2＋1
上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。
例9在下图五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。
求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。
解：
能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。
最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。
如果这五个数是1，2，3，4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：
1＋2＋3＝62＋3＋4＝93＋4＋5＝12
1＋2＋4＝71＋3＋4＝82＋3＋5＝10
2＋4＋5＝11
这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4，5五个自然数不能满足条件。
例10在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
解：
图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：
（1＋2＋3＋4）×3＝30
30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。
同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。
例11将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个面的四个数和相等。
解：
数字图是个正立方体，共有六个面。
每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。
1～8八个数的数字总和是：
1＋2＋3＋……＋8＝36
因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：
36×3＝108
每个面的数字和便是：
108÷6＝18
这样，便可填为下图或其他形式。
数阵图
【方阵】
例1将自然数1至9，分别填在图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（长沙地区小学数学竞赛试题）
讲析：
中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
显然，中间一数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图），便得解答如下。
例2从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。
（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：
据题意，所选的十二个数之和必须既能被3整除，又能被4整除，（三行四列）。
所以，能被12整除。
十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。
每列为（91—7）÷4=21
而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图所示。
三个奇数和为21的有两种：
21=1＋9+11=3＋5+13。
经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图所示。
例3十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。
那么，这个和数的最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
不难得出十个数为:
2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
【其他数阵】
例1如图，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
可先看竖格。
因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。
从而容易推出，竖格各数从上而下是：
3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。
同理可推导出横格各数，其中“×”=5。
例2如图，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：
可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。
（如图）
显然a=5，g=9。
则有：
b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。
经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。
例3如图，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。
那么，这六个质数的积是______。
（全国第一届“华杯赛”决赛试题）
讲析：
最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。
所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。
同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。
20÷2=10，10＝2+3+5。
所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4在图的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。
现已填好两个数，那么X=_______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：
如图，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b，得：
a比b多2。
所以，b=13+2=15。
进而容易算出，x=19。
例5图中8个顶点处标注的数字：
a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：
将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得
即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0
幻方与数阵图扩展
[内容概述]
本讲有两部分主要内容：
1、幻方的概念和性质，简单幻方的编制；
2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：
封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：
所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法：
一、累加法：
利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、比较法：
利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
[思考题]
我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。
1.
如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？
2.
3.
「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？
立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？
哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？
而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。
于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。
接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。
同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。
没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。
下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：
因为A+E+I=15,B+E+H=15,C+E+G=15,D+E+F=15,所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？
不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。
「详解」
根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。
从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。
然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：
（大家自己完成）
偶
奇
偶
奇
5
奇
偶
奇
偶
我们可以看到，如果4个角上的偶数被确定下来，那么其余4个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4个偶数的填法。
利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有8种填法。
具体填法如下：
2
9
4
2
7
6
8
3
4
8
1
6
7
5
3
9
5
1
1
5
9
3
5
7
6
1
8
4
3
8
6
7
2
4
9
2
4
9
2
4
3
8
6
7
2
6
1
8
3
5
7
9
5
1
1
5
9
7
5
3
8
1
6
2
7
6
8
3
4
2
9
4
「评议」这里要强调一点：
奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。
在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。
本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E
。
那么我们来问一个深入一点的问题：
你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质
还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？
好，那就让我们来看例2：
4.下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
「分析」有了第1题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1题的一部分解题过程搬过来就行。
这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。
「详解」首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”。
然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。
所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E。
说明完毕。
「评议」同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E（请大家自己说明）。
本题回答了第1题评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。
性质1：
“幻和”的3倍等于这九个数之和；
性质2：
所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
请大家牢记。
那么，三阶幻方还有什么别的更奇妙更有趣的性质吗？
5.
B
A
C
第3题
下图是一个三阶幻方，请说明A+B=2×C。
「分析」这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。
于是我们就想到利用性质1和2，看看能不能解决问题。
当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：
x
B
A
*
C
下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。
「详解」现在考虑*处的数字。
如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。
所以B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2×C。
说明完毕。
「评议」这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。
当然，类似本题中这样A+B=2×C的性质还有另外3种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。
“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。
但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。
这正是数学的魅力所在。
D
E
F
第2题
那么究竟我们总结出来的3条性质有什么用呢，请看例4：
6.
请完成下面的三阶幻方：
「分析」本题需要综合利用上面的3条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。
但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。
这类题是简单的。
「详解」
B
A
100
19
95
（1）
根据性质2，A=100×
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