小学数学《数字谜与数阵图》练习题含答案.docx

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小学数学《数字谜与数阵图》练习题含答案

小学数学《数字谜与数阵图》练习题（含答案）

数字谜这类题目往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用.

数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜来解答.

解题技巧：

（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位、重复数字以及位数的差异.

（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算.

（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性.

（四）注意结合进位及退位来考虑.

（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法.

【例1】右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?

【分析】显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十位加法（含个位加法进位）等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：

7，5；7，4；6，5．再考虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、“奥”等于7，5，“国”、“京”、“运”等于1，3，4．“国”取l，3，4中最大的4，得到“中国”最大是84．

【例2】下图的等式中，不同的汉字表示不同的数字，如果“巧+解+数+字+谜=30”，那么，“数字谜”所代表的三位数是_______.

【分析】谜字只能取0或5．如果谜=0，字也要取0，不合题目要求，所以谜=5．3个字加上2是10的倍数，所以字=6．2个数加上2是10的倍数.所以数=4或9，如果数=4，那么解+1=10，所以解=9．但这时巧=30-9-4—6—5=6与字相同，不合题意.因此数=9，解+2=10，所以解=8，巧=30-8-9-6-5=2，所以“数字谜”所代表的三位数是965.

【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？

【分析】根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．

若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+“赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值．

因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．

【例3】

在图所示的乘法算式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，这个乘法算式的最后乘积是多少?

【分析】问题中出现的都是末位数.而且都是奇数，故应先从末位数开始考虑．

第三行的末位为1，共有三种可能的组合：

1×1，3×7，9×9．由于第二行数的每一位与第一行相乘后都得到五位数，故第二行的各位数字不会为1．故1×1、9×9均不满足条件．第一行和第二行末位数为3、7或者7、3．分两种情况来讨论：

若第一行末位为3，第二行末位为7，由末位的9推知第二行的数应为3337，由第三行的十位应为0知第一行的十位为4．从而得到第四、五、六行的十位皆为2，进而有第三行的百位应该是8，于是推出第一行的百位为5．这样便立刻得到第四、五、六行的百位为6，从而由第三行的4位为1得到第一行的千位为4．于是有4543×3337=15159991，满足条件．

若第一行末位为7，第二行末位为3，同样的方法立刻有第二行数应为7773．依次推得第一行的十位、百位、千位分别为6、4、0，不符合题目要求．

于是本题答案为15159991．

评注：

本题采用了枚举的方法，对可能的有限种情况分别讨论，从而求解出问题．在数字谜的求解中常常用到这种方法．

【例4】内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：

【分析】由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262.

数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵.幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.n阶幻方的定义与三阶幻方相仿！

【例5】

请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？

【分析】关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k.为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，设每条直线上的数字和为k.

根据题意可得：

2a＋（1+2+3+4+5+6+7）=3k，2a＋28=3k，由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:

a为1、4或7.答案如下：

（1）当a=1，时2+7=5+4=3+6，得到第一种答案。

（2）当a=4，时1+7=5+3=2+6，得到第二种答案。

（3）当a=7，时1+6=4+3=2+5，得到第三种答案。

【例6】

将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.

【分析】所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次.所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：

（1＋2＋…＋7）×2＋中心数＝56＋中心数.

因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4.每条边及每个圆周上的三数之和等于（56＋4）÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5.于是得到右上图的填法.

【例7】将九个数填入下图

（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为

.请你说明理由！

（2）将九个数填入下图

（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：

.请你说明理由！

（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：

.请你说明理由！

【分析】

（1）因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：

九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格中的数=

（2）和=3e，a+e+b=和=3e，所以a+b=2e，即得：

.

（3）设中心数为d.每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此可得右图，

那么有：

c+（2d-b）=a+（2d-c），由此可得：

.

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.

【巩固】在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.

【分析】中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：

【例8】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方.

【分析】（法1）：

易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右上图.答案不唯一，仅供参考.

（法2）：

其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.

【拓展】如图

（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的三阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图

（2），请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.

【分析】①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.

　　②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.

【例9】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.

【分析】如下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.

【例10】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横行四数之和相等，每数列三数之和相等.

【分析】由和的整除性质，首先确定使用哪十二个数填图．由于每横行四数之和相等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数，因此是12的倍数，由此可知不用填图的数字是7，所选十二个数和为：

[（1+13）×13÷2]-7=84，每横行四个数和为：

84÷3=28，每竖行三个数和为：

84÷4=21．由于竖行和为21，因此可知1，2，3，4在不同竖行，而5只能跟3或4在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两种情况：

（1，8，12），（2，9，10），（3，5，13），（4，6，11）或（1，9，11），（2，6，13），（3，8，10），（4，5，12）．再根据横行和为28，易得如上结果：

【例11】下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志.请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.

【分析】设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和.而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15.

　　当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解.

【附1】在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．

【分析】从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=（）4，是本题的突破口．这里有两种情况：

4×6=24或9×6=54，都可使□×6=（）4成立．也就是说，被乘数个位上的数字可能是4，也可能是9．

先考虑被乘数个位上的数字是9的可能性，因为在乘数十位上找不出任何数字与9相乘得“整十数”，所以被乘数个位上的数字不可能是9．

如果被乘数个位上的数字是4，很容易推出乘数十位上的数字应是5，才能与4相乘得“整十数”．

由被乘数乘以乘数十位上的5得270，也很容易推出被乘数十位上的数字是5，进而可推出其它各数字．

【附2】在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：

【分析】

（1）17×64=1088；

（2）5283×39=206037；

（3）734×619=454346，被乘数是6606和4404的三位数的公约数.

【附3】右面算式中，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数，其中“新”>4．清补残缺的数字，那么“新年好”代表的数字是.

【分析】“新年好”代表的数字是691．如右下式，“新”一定小于7，否则A是2大了，是l又小了．不论“新”，是5或6，由于乘法第一行首位是“新”，一定有B=9．如果“新”=5，第二行百位是4，A无合适的值，因此“新”=6，而A=2．“年”≥7，对7，8，9三数算一下可知，只有“年”=9合适，如式（3）所示．

【附4】（1994年小学数学奥林匹克初赛A卷）

在下面残缺的算式中，只写出五个3，那么这个算式的商数是___________.

【分析】为了便于说明，用英文字母来表示几个关键的数（见下式）

从除式的第一层看，商的百位数字a，只能是1，3，7，9．第三层被除数的百位数字c明显是9，因此第二层中的b大于3．这样可断定口≠l，a≠3．如果a=9，那么一层中d也是9．但933不是9的倍数．所以.≠9．

我们现在来看a=7的情形．由于

被7整除，

可以断定除数是119，d=8．

第三层,因为C=9，只有119×8=952满足要求，即f=8．从而b=13-5=8，c=2．所以这个算式的商数是728．被除数是119×728=86632．完整的除式是：

【附5】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.

【分析】标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：

（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：

（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），填图如右下图.

1.在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把下面汉字算式翻译成数字算式．

【分析】算式为：

9567+1085=10652.

2.右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：

“

”表示的四位数是多少?

【分析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9．竖式化简为下式．

容易求得：

“真”=2，“好”=8，“啊”=6．所以，“数学好玩”=1089．

3.在下图两个图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.

【分析】首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，

填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.

4.9将1～8填入右图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.

【分析】因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见下图.

5.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.

【分析】答案如右上图.