高中数学第1章解三角形12第2课时角度问题学案新人教B版必修50711367.docx
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高中数学第1章解三角形12第2课时角度问题学案新人教B版必修50711367
第2课时 角度问题
1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.（重点）
2.会将实际问题转化为解三角形问题.（难点）
3.能根据题意画出几何图形.（易错点）
[基础·初探]
教材整理 方位角与方向角
阅读教材P14问题4，完成下列问题.
1.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α（如图1217所示）.
图1217
方位角的取值范围：
0°～360°.
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
1.下列说法中正确的个数为（ ）
（1）若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向；
（2）如图1218所示，该角可以说成北偏东110°；
图1218
（3）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；
（4）若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】
（1）错误.因若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.
（2）错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.
（3）错误.因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.
（4）正确.
【答案】 A
2.某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的（ ）
A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′
C.北偏西55°33′D.南偏西55°33′
【解析】 如图所示.
【答案】 A
3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A.akmB.akm
C.akmD.2akm
【解析】 如图，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB＝2AD＝2asin60°＝a.
【答案】 B
4.某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.
【解析】 如图所示，由题意可知
AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.所以A，C两地的距离为7km.
【答案】 7
[小组合作型]
角度问题
（1）如图1219，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
图1219
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
（2）有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是（ ）
A.，60°B.，60°
C.，30°D.，30°
【精彩点拨】
（1）两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？
灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？
（2）本小题关键是理解坡比与坡角的意义.
【自主解答】
（1）由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
（2）如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2m，则AE＝＝2m，
∴tan∠DAE＝＝＝，
∴∠DAE＝60°.
【答案】
（1）D
（2）B
测量角度问题画示意图的基本步骤：
[再练一题]
1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
【导学号：
18082009】
【解析】 ∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，
故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
【答案】 60° 20
求航向的角度
某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
【精彩点拨】 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.
【自主解答】 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－（舍去）.所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°（舍去）.
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮.
1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，而正弦函数在（0，π）上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.
[再练一题]
2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以每小时10nmile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.
【解】 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20（＋1），DC＝20，
BC＝（＋1）·10.
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝＝.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.
答：
台风向北偏西45°方向移动.
[探究共研型]
求解速度问题
探究1 某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4km，从B到C，方位角是80°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是6km，试画出示意图.
【提示】 如图所示：
探究2 在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？
【提示】 如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋（180°－80°）＝150°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8（km/h）.
探究3 在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
【提示】 投递员到达C点的时间为t1＝＝（小时）＝30（分钟），追投递员的人所用时间由探究2可知
t2＝＝（小时）＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇.
如图1220所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
图1220
【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.
【自主解答】 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，
由余弦定理得（vt）2＝52＋（50t）2－2×5×50t×，
即v2＝－＋2500＝252＋900≥900，
∴当t＝时，v取得最小值为30，
∴其行驶距离为vt＝＝公里.
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.
解决实际问题应注意的问题：
1首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.
2将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题
[再练一题]
3.如图1221，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
【导学号：
18082010】
图1221
【解】 设缉私船用th在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos120°＝6，
∴BC＝，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝.
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直.
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿东偏北60°方向能最快追上走私船.
1.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
【解析】 如图，因△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝（180°－80°）＝50°，
60°－50°＝10°，故答案为B.
【答案】 B
2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A.50mB.100m
C.120mD.150m
【解析】 设水柱高度是hm，水柱底端为C（图略），则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即（h－50）（h＋100）＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.
【答案】 A
3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.
【导学号：
18082011】
【解析】 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，
得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos120°＝3a2，AB＝a.
【答案】 a
4.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
【解析】 在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.
又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，
AC＝＝10.
故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10海里到达海岛C.
【答案】 北偏东40° 10
5.如图1222，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.
图1222
【解】 因为AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝（40）2＋802＝11200，
所以PC＝40海里.
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