知识点三 三角形面积公式
(1)S=aha=bhb=chc;
(2)S=absinC=bcsinA=casinB.
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°,求AD的长度.
反思与感悟 解三角形的一般方法:
(1)已知两角和一边,如已知A、B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a、b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.
跟踪训练1
如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
类型二 三角变换与解三角形的综合问题
命题角度1 三角形形状的判断
例2 在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·
sin(A+B),试判断△ABC的形状.
命题角度2 三角形边、角、面积的求解
例3 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.
反思与感悟 该类问题以三角形为载体,在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
跟踪训练2 在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=,cos=,求△ABC的面积S.
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:
A、B、C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A、B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
反思与感悟 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:
(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解;
(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.
跟踪训练3 甲船在A处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?
1.在△ABC中,关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0有两个不等的实根,则A为( )
A.锐角B.直角
C.钝角D.不存在
2.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )
A.B.C.D.3
3.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米后到达点B,又从点B测得斜度为45°,建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值.
1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B等价于a>b等价于sinA>sinB.
2.对所给条件进行变形,主要有两种途径:
(1)化边为角;
(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
答案精析
知识梳理
知识点一
(1) 2R
(2)2RsinA 2RsinB 2RsinC
(3)
(4)a>b sinA>sinB
知识点二
1.b2+c2-2bccosA c2+a2-2cacosB
a2+b2-2abcosC
2.
3.直角 钝角 锐角
题型探究
类型一
例1 解 在△ABC中,
∵AB=AC=2,BC=2,
由余弦定理,
得cosC==,
∴sinC=.
在△ADC中,由正弦定理,
得=,
∴AD=×=.
跟踪训练1 解
(1)在△ADC中,
因为cos∠ADC=,
所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理,得
BD===3.
在△ABC中,由余弦定理,
得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=82+52-2×8×5×=49,
所以AC=7.
类型二
命题角度1
例2 解 ∵(a2+b2)sin(A-B)
=(a2-b2)sin(A+B),
∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]
=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2b2sinAcosB=2a2cosAsinB,
即a2cosAsinB=b2sinAcosB.
方法一 由正弦定理知a=2RsinA,
b=2RsinB,
∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,
又sinAsinB≠0,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.
在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,
∴2A=2B或2A=π-2B,
∴A=B或A+B=.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由正弦定理、余弦定理,得
a2b×=b2a×,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0.
即a=b或a2+b2=c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
命题角度2
例3 解
(1)由正弦定理a=2RsinA,
b=2RsinB,
c=2RsinC.
得2RsinA=2RsinBcosC+2RsinCsinB
即sinA=sinBcosC+sinCsinB.
又A=π-(B+C),
∴sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sinBcosC+sinCsinB,
即sinBcosC+cosBsinC
=sinBcosC+sinCsinB,
∴cosBsinC=sinCsinB.
∵sinC≠0,
∴cosB=sinB且B为三角形内角,
∴B=.
(2)S△ABC=acsinB=ac,
由正弦定理知
a==×sinA=2sinA,
同理,c=2sinC,
∴S△ABC=×2sinA×2sinC
=2sinAsinC
=2sinAsin(-A)
=2sinA(sincosA-cossinA)
=2(sinAcosA+sin2A)
=sin2A+1-cos2A
=sin(2A-)+1
∴当2A-=,
即A=时,
S△ABC有最大值+1.
跟踪训练2 解 因为cosB=2cos2-1=,
故B为锐角,所以sinB=,
所以sinA=sin(π-B-C)
=sin
=sincosB-cossinB
=.
由正弦定理,
得c==,
所以S△ABC=acsinB
=×2××=.
类型三
例4 解 由题意,设AC=x,
则BC=x-×340=x-40.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=BA2+AC2-2×BA×AC×cos∠BAC,
即(x-40)2=10000+x2-100x,
解得x=420.
在Rt△ACH中,
AC=420,∠CAH=30°,
所以CH=AC×tan∠CAH=140.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140米.
跟踪训练3 解 设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处,因乙船到达A处需2小时.
①当0≤t<2时,如图
(1),
在△APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,
所以PQ=
=
=
=2;
②当t=2时,PQ=8×2=16;
③当t>2时,如图
(2),
在△APQ中,AP=8t,AQ=10t-20,
∴PQ=
=2.
综合①②③知,
PQ=2(t≥0).
当且仅当t==时,PQ最小.
所以甲、乙两船行驶小时后,相距最近.
当堂训练
1.A 2.B 3.-1
本文档仅供文库使用。
XX文库是XX发布的供网友在线分享文档的平台。
XX文库的文档由XX用户上传 ,需要经过XX的审核才能发布,XX自身不编辑或修改用户上传的文档内容。
网友可以在线阅读和下载这些文档。
XX文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。
XX用户上传文档可以得到一定的积分,下载有标价的文档则需要消耗积分。
当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt文件格式。
本文档仅供文库使用。
XX文库是XX发布的供网友在线分享文档的平台。
XX文库的文档由XX用户上传 ,需要经过XX的审核才能发布,XX自身不编辑或修改用户上传的文档内容。
网友可以在线阅读和下载这些文档。
XX文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。
XX用户上传文档可以得到一定的积分,下载有标价的文档则需要消耗积分。
当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt文件格式。