高中数学新人教A版必修5第一章 12第一课时 解三角形的实际应用举例.docx

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高中数学新人教A版必修5第一章12第一课时解三角形的实际应用举例

第一课时　解三角形的实际应用举例

预习课本P11～16，思考并完成以下问题

（1）方向角和方位角各是什么样的角？

（2）怎样测量物体的高度？

（3）怎样测量物体所在的角度？

实际测量中的有关名称、术语

名称

定义

图示

仰角

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角

俯角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角

方向角

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）

方位角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）已知三角形的三个角，能够求其三条边（　　）

（2）两个不可到达的点之间的距离无法求得（　　）

（3）方位角和方向角是一样的（　　）

解析：

（1）错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．

（2）错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．

（3）错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）．

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（　　）

A．东偏北45°10′方向上　　B．东偏北45°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上

解析：

选C　如图所示．

3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（　　）

A．α＞βB．α＝β

C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°

解析：

选B　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.

4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　）

A.akmB.akm

C．akmD．2akm

解析：

选A　△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，

所以AB＝a.

测量高度问题

[典例]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

[解]　在△BCD中，

∠CBD＝π－（α＋β）．

由正弦定理得＝.

∴BC＝＝.

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.

测量高度问题的解题策略

（1）“空间”向“平面”的转化：

测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．

（2）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　　　　

[活学活用]

1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（　　）

A．50m　　　B．100m　　　C．120m　　　D．150m

解析：

选A　如图，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2×h×100×cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100（舍去），故水柱的高度是50m.

2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.

解析：

因为∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－（90°－75°）＝30°，

所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.

在△ABS中，AB＝＝＝1000，

所以BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000（m）．

答案：

1000

测量角度问题

[典例]　如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？

[解]　由题意，知AB＝5（3＋）nmile，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得＝，

即BD＝＝

＝

＝10nmile.

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20nmile，

∴在△DBC中，由余弦定理，得

CD＝

＝

＝30nmile，

则救援船到达D点需要的时间为＝1h.

测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．

解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．　　　　　　

[活学活用]

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解：

设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，

则有CD＝10t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，

∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos120°＝6，

∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，

∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．

∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

测量距离问题

题点一：

两点不相通的距离

1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．

即AB＝.

若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

解：

在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.

∴AB＝200（m）．

即A，B两点间的距离为200m.

题点二：

两点间可视但有一点不可到达

2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.

若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

解析：

∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，

所以由正弦定理得，＝，

∴AB＝＝＝20（m）．

即A，B两点间的距离为20m.

答案：

20

题点三：

两点都不可到达

3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.

若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

解：

∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，

∴AC＝DC＝.

在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°

＝＋－2×××＝.

∴AB＝（km）．

∴A，B两点间的距离为km.

当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：

（1）两点间不可通又不可视（如图①）：

可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：

AB＝.

（2）两点间可视但不可到达（如图②）：

可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.

（3）两点都不可到达（如图③）：

在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.

层级一　学业水平达标

1.

学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为（　　）

A．12m　　　　　　　　　B．8m

C．3mD．4m

解析：

选D　由题意知，∠A＝∠B＝30°，

所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，

由正弦定理得，＝，

即AB＝＝＝4.

2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（　　）

A.nmile/hB．34nmile/h

C.nmile/hD．34nmile/h

解析：

选A　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝nmile/h.

3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（　　）

A．110米B．112米

C．220米D．224米

解析：

选A　如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得（80＋h）×＝h，h＝40（＋1）≈109（米）．从选项来看110最接近，故选A.

4．设甲、乙两幢楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是（　　）

A．20m，mB．10m,20m

C．10（－）m,20mD.m，m

解析：

选A　由题意，知h甲＝20tan60°＝20（m），

h乙＝20tan60°－20tan30°＝（m）．

5．海上的A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是（　　）

A．10nmileB.nmile

C．5nmileD．5nmile

解析：

选D　由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝5（nmile）．

6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.

解析：

如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.

由余弦定理，得

AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.

则A，C两地的距离为7km.

答案：

7

7．坡度为45°的斜坡长为100m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m.

解析：

如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，

设CD＝x，所以（x＋DA）·tan30°＝DA·tan45°，

又DA＝BD·cos45°＝100×＝50，

所以x＝－DA＝－50

＝50（－）m.

答案：

50（－）

8．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.

解析：

如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，

则∠AOB＝60°，由正弦定理知：

x＝＝＝（cm）．

答案：

9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．

解：

如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2，

∴△A1A2B2为正三角形，

∴A1B2＝10.

在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，

∴（B1B2）2＝400＋200－2×20×10×＝200，

∴B1B2＝10，

∴乙船每小时航行30海里．

10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．

解：

设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA＝，①

cos∠PBC＝.②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③

由①②③，解得h＝30或h＝－30（舍去），即建筑物的高度为30m.

层级二　应试能力达标

1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是（　　）

A．240（－1）m　　　　　B．180（－1）m

C．120（－1）mD．30（＋1）m

解析：

选C　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120（－1）（m）．

2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为（　　）

A．30mB.m

C．15mD．45m

解析：

选B　在△ABC中，AC＝15m，AB＝5m，BC＝10m，

由余弦定理得cos∠ACB＝

＝＝－，∴sin∠ACB＝.

又∠ACB＋∠ACD＝180°，

∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.

在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝m.

3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是（　　）

A．100mB．400m

C．200mD．500m

解析：

选D　设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得（x）2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m.

4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°<θ<45°）的C处，且cosθ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为（　　）

A．4海里/小时B．3海里/小时

C．2海里/小时D．4海里/小时

解析：

选A　因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos（45°－θ）＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝（20）2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/小时．

5.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50nmile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________nmile（结果精确到小数点后一位）．

解析：

由题易知两船相遇之处M位于BC上，如图，设|MC|＝d，

则＝（M位于BC延长线上取“＋”，M位于BC上取“－”），

所以（100±d）2＝4[d2＋（25）2±50d]，即3d2＝1002－5000，所以d2＝，即d≈40.8（nmile）．

答案：

40.8

6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________nmile.

解析：

如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，

∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝

＝＝a（nmile）

答案：

北偏东30°　a

7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.

（1）求BC的长；

（2）若小明身高为1.70m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01m，其中≈1.732）．

解：

（1）在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，

则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，

由正弦定理得＝，

解得BC＝4（m）．即BC的长为4m.

（2）在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，

所以DC＝4sin75°.

因为sin75°＝sin（45°＋30°）

＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝，

则DC＝2＋2.

所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464

≈7.16（m）．

即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16m.

8.在某次地震时，震中A（产生震动的中心位置）的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示．某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距离．

解：

在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12（km）．在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30（km）．

设AC＝xkm，则AB＝（12＋x）km，AD＝（30＋x）km.在

△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.