数学分析解答.docx

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数学分析解答

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ﻩ

大连理工大学200５攻读硕士研究生考试试题

数学分析试题解答

一、计算题

1、求极限:

解:

ﻩ2、求极限:

解:

3、证明区间（0，１）和（0,+

）具有相同的势。

ﻩ证明:

构造一一对应y=ａｒcｔanx。

4、计算积分

其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域

ﻩ解：

５、计算第二类曲线积分:

，

方向为逆时针。

解：

6、设a>0，b>０,证明：

。

证明:

二、设f（x）为[a,b]上的有界可测函数,且

证明:

f（x）在[a,b]上几乎处处为０。

证明:

反证法,假设A={ｘ｜f（x）≠０}，那么ｍA＞0。

三、设函数f（x）在开区间（0,+

）内连续且有界,是讨论f（x）在（0，+

）内的一致连续性。

讨论:

非一致连续，构造函数:

四、设

讨论函数的连续性和可微性。

解：

1）连续性：

连续

ﻩ

ﻩ2）可微性:

可微

五、设f（ｘ）在（a,b）内二次可微，求证:

证明:

六、f（x）在R上二次可导，

，证明:

f（x）在R上恰有两个零点。

证明:

七、设函数f（x）和g（x）在[a，ｂ]内可积，证明:

对[a,b］内任意分割

证明:

八、求级数：

解:

九、讨论函数项级数

在（0,１）和（1,+∞）的一致收敛性

讨论:

1）0

2）x>1

一十、计算

为圆锥曲面

被平面ｚ=0,z=2所截部分的外侧。

解：

十一、设f（x）在［0,1]上单调增加,f（0）>=0,ｆ

（1）＜＝1,证明：

ﻩ证明：

十二、设f（x）在［０,＋∞]上连续，

绝对收敛,证明：

ﻩ

证明:

十三、设

，证明:

ﻩﻩ当下极限

时,级数

收敛

ﻩ当上极限

时,级数

发散

ﻩ证明:

（1）

（２）