三角函数和平面向量综合测试题doc.docx
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三角函数和平面向量综合测试题doc
三角函数与平面向量综合测试题
10.使y=sin亦（3>0）在区间|0,1］至少出现2次最大值，则3的最小值为（
一、选择题:
1•下列函数中，周期为彳的是（）
A.”si吟
B.y=sin2x
C.y=cos-
一4
D.y=cos4x
2.设P是ZkABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则
a.pa+pb=o
bPC+PA=0
C.PB+PC"
°pa+pb+pc=o
）
3.己知向量"HZ若a+”与4b-2a平行，则实数兀的值是（）
A.
-2
B.0
C.1
D.2
4.
已知O是△4BC所在平面内一点，D为BC边中点，
且2Q4+OB+OC=0,
那么
）A.AO=ODB.
AO=2ODC.AO=3OD
D.2AO=OD
5.
若函数fix）=V3sin
1,
函数/U）的最大值是
553
A.—71B.—71C.兀D・—71
242
11、在直角坐标系x0>冲，i,丿•分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC
屮，AB=2i+j,AC=3i+kj,则k的可能值有
A、1个
12.如图，h、仏、
B、2个C、3个D、4个
厶是同一平面内的三条平行直线，厶与b间的距离是1，b与厶间）
的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在厶、H、厶上，贝'JAABC的边长是（
（A）2^3（B）—（C）（D）
343
二、填空题:
13.设两个向量"5
，满足I5l=2,|e2\=l,elfe2的夹角为60°，若向
量2tei+7e2与向量ex+1e2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为.
7
14.若sin〃一cos0=—,0（0,兀），则tan。
二
15.如右图，在\ABC中，ABAC=120°,AB=2,AC=1,Z）MiiBC±—,DC=2BD、则
（）A.*Bt
6.（l+tan25o）（l+tan2Oo）的值是（
7.a>0为锐角a二sin（a+"）,b=sintz+cosor,则a、bZ间关系为
A.a>hB.h>aC.a-bD.不确定
8.同时具有性质“①最小正周期是龙，②图象关于直线x=-对称；③在
363
是减函数”的一个函数是（）
XTTTTTTTT
A.y-sin（—+—）B.y-cos（2x）C.y=sin（2x）D.y=cos（2x+—）
26663
9./（x）=Asin（（wc^（p）（A>0,3>0）在x=l处取最大值，则
AD・BC=
16.下面有五个命题：
1函数3?
=sin4x-cos4x的最小正周期是兀.
2终边在y轴上的角的集合是｛a\a=^,keZ|.
J
3在同一坐标系中，函数>,=sirL¥的图象和函数）=兀的图象有三个公共点.
4把函数y=3sin（2x+-）的图象向右平移匹得到y=3sin2x的图象.
36
⑤函数y=sin（x-^）在（0,兀）上是减函数.
其中真命题的序号是（（写出所有真命题的编号））
三•解答题=
17.在ZXABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA=3csinB,
A./（兀-1）一定是奇函数
a=3,cosB=|;⑴求b的值;
（2）求sin（2B_期的值.
C./（x+1）—定是奇函数
D./（兀+1）—定是偶函数
18.已知函数/（x）=2cosx（sinx-cosx）+1,xgR・
（I）求函数.f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间「善,上的最小值和最大值.
84
19・设向量a=（4cosa.sina）,b=（sin0,4cos0）,c=（cos0,7sin0）
（1）若a与b-2c垂直，求tan（a+0）的值；
（2）求|/?
+c|的最大值;
（3）若tan«tan/?
=16,求证：
a//b
20.若函数f（x）=sinx+a/3cosx+tz在（0,2巧内有两个不同零点a、0・
（I）求实数Q的取值范围；（II）求tan（a+/?
）的值.
21.一海监船发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一敌船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.海监船的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该敌船,海监船应沿北偏东45°+6Z的方向去追，.求追及所需的时间和&角的正弦值.
22.（本小题满分14分）已知函数f（x）=cos2x-F—,g（x）=1+—sin2x.\12丿2
（I）设兀=勺是函数y=/（x）图象的一条对称轴，求g（k）的值.
（II）求函数/?
（%）=/（兀）+g（x）的单调递增区间•
三角函数与平面向量综合测试题参考答案
又由Z?
sinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.
2
由b2=a2+c2—2accosB,cosB=寸，可得h=y[6.
2\[s
⑵由cosB=§,得sinB=3,进而得
cos2B=2cos2B-1=-|,
sin2B=2sinBcosB=
所以sin（2B—扌=sin2Bcoscos2Bsin£
4^5+73
、
71
4J
=18
18.【分析】/（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=sin2x-cos2x=a/2sin2x
（II）解法一：
因为/（X）=V2sin
2
在区间
■■兀3兀
上为增函数，在区间
3龙
3/r
\4丿
88
L8
4」
上为减
因此，函数/（兀）的最小正周期为兀.
3/r
逅sin
函数,
cos-=-l
4
故函数于（兀）在区间壬，学上的最大值为©，最小值为-1.
88
75sin
在长度为一个周期的区间
719兀
亠，亠
<4丿
Ls8J
上的图象如下:
解法二：
作函数/（%）=
【考点】本小题考查三角函数屮的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y=As'm（cox+0）的性质等基础知识，考查基本运算能力.
19.⑴由a与b-2c垂直，a（b-2c）=ab-2ac=Q,
即4sin（a+0）-8cos（a+0）=O,tan（a+0）=2；4分
⑵b+c=（sin0+cos0,4cos0—4sin0）
I方+cF=sin20+2sin0cos卩+cos20+16cos2一32cos0sin0+16sin2=17-3Osin0cos0=17-15sin20,最大值为32,
所以\b+cI的最大值为4丁㊁。
8分
⑶由tanatan0=16得sinasin0=16cosacos0,
即4cosa・4cos0-sinasin0=0,
所以a//b.12分
j屈兀
20.解：
（I）*.*sinx+V3cosx=2（—siwc+cosx）=2sin（x+一）,
223
而函数/O）=sinx+巧cosx+a在（0,2兀）内有两个不同零点等价于关于兀的方程
siiu+V3cosx+d二0在（0,2兀）内有相异二解
・••方程化为sin（兀+£）二-
32
T方程siri¥4-V3cosx+67=0在（0,2h）内有相异二解，
7171
・*.sin（x+—）Hsin—=.
332
又sin（x+£）H±1（・・・当等于亠和±1吋仅有一解），
32
・・・|■纠vl.且.即\a\<2且样_羽.
222
・・・a的取值范围是（-2,-V3）U（-73,2）.
（II）・・・q、B是方程的相异解，
sina+V3cosa+a=0①.
sinB+V3cosP+a=0②.
①■②得（sina・sinB）+^3（cosa・cosP）=0.
.a-pa+0/^.a+0.a-（3八口.a+卩
..2sincos-2sinsin=0,XsinHO,
2222_2
・Q+0a/3
…tan=•
23
ca+0
2tan—
/.tan（a+S）=———=V3・
c2^+0
2—tarr———
2
21.解：
设A,C分别表示海监船，敌船的位置，设经过X小时后在B处追上，则有
20sinl2（J
28
AB=14x,BC=10x,ZACB=12Q./.（14x）2=1224-（10x）2-24（kcosl20°,
/.兀=2,AB=2&BC=20,sina
所以所需时间2小时，sin—器.
22.解：
（I）由题设知/⑴二丄[1+cos（2x+3]・
26
7T
因为x=x（）是函数y=/（X）图象的一条对称轴，所以2x0+—=kn,
6
7T
即=kit（A:
eZ）.
6
—117T
所以g（x0）=1+—sin2x0=1+—sin伙兀——）.
226
当k为偶数时，g（x（））=l+*sin
当k为奇数时，g（x0）=1+-sin—=1+-=-
26441（1
2
2
（II）/?
（兀）=/（兀）+g（兀）=—1+cos2兀+—+1+—sin2x
7T7T7TStt7T
当2刼-訐2兀+評2刼+丁即刼一占詁+正（心）时,
2I6丿2
函数/z（x）=|sin[2%+^1+4是增函数,
故函数心的单调递增区间是刼-詈，刼+卡
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