三角形 典型题.docx
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三角形典型题
一.中线中点倍长(“8”字全等)
1.如图,在△ABC中,D是BC中点,E是CA延长线
上一点,DE交AB于F,且AE=AF.
求证:
EC=BF.
2.如图所示,已知D是△ABC的边BC上的一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线。
求证:
AC=2AE。
3.如图所示,在△ABC中,BD=DC,ED⊥DF,求证:
BE+CF>EF.
4.已知在△ABC中,AB=3,AC=7,求BC的中线AD的取值范围。
7.
在△ABC中,D是AB的中点,DE⊥DF.试判断
AF+BE与EF的大小关系,并证明你的结论。
二.角平分线(做垂直、截长补短)
1.如图,△ABC中,∠A=2∠B,AB=2AC,求证:
∠C=90°.
A
A
2.如图4,在△ABC中,∠A=60°,△ABC的角平分线BD、CE相交于点O,问OD、OE之间有什么数量关系,并证明你的结论。
(角平分线作垂直或截长补短)
3.如图所示,△ABC中,BD⊥AC于D,AE平分∠BAC,AE交BD与F,∠ABC=90°.
⑴求证:
∠BEF=∠BFE。
⑵若BC=80cm,BE:
EC=3:
5,求E点到AC的距离。
4.如图所示,BD=DC,ED⊥BC交∠BAC的平分线于E,
作EM⊥AB,EN⊥AC,求证:
BM=CN.
5.如图所示,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B:
∠C的值。
6.在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线AF交CD于E,交BC于F,CM⊥AF于M,求证:
EM=FM.
7.如图1,BD、CE分别是△ABC的外角的平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交,
⑴求证:
FG=
(AB+BC+AC).
⑵若BD,CE分别是△ABC内角平分线,如图2,
求证:
FG与△ABC三边的关系。
⑶若BD为内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,如图3,求FG于△ABC三边的关系。
三.等腰直角三角形全等
1.如图,在
中,
,
于E,AD⊥CE于D,
,
(1)求
的长。
(2)如果过点C在
外作一条直线l,分别作AD⊥l于D,BE⊥l于E,那么AD、BE、DE之间存在怎样的数量关系?
证明你的结论。
2.已知:
如图,四边形ABCD中,BD⊥CD,
∠DAB=∠DBC=45°,△ABC的面积=4.5,
求AB的长。
3.如图,已知∠BAC=90°,AB=AC,M为AC边上的中点,AD⊥BM于E,交BC于D,
求证:
∠AMB=∠CMD.
4.如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过AC作BD的垂线,垂足分别为E、F,求证:
EF=CF-AE.
5.已知:
如图,△ABC中AC=BC,∠ACB=90°,∠A的平分线AD交BC于点D,过点B作BE⊥AD于点E.
求证:
BE=
AD.
6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
⑴.当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,①求证:
△ADC≌△CEB;②若AD=3,BE=2,求DE长。
⑵.当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,AD=3,BE=1.5,求DE长;
⑶.当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,AD=1.5,BE=3,求DE长。
四.等边(等腰)三角形全等问题
1、如图,D为等边△ABC的内部一点,DB=DA,BE=AB,∠DBE=∠DBC,求∠BED的度数。
2、点C在线段AB上,在AB的同侧作等边△ADC和等边△BCE,连接AE、BD分别交DC、CE于点M、N.求证:
△CMN为等边三角形。
3、如图,在△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB和AC为边且在△ABC外的等边三角形,CE、BF相交于O,求∠EOB的度数。
4、如图所示,在△ABC外作△ABD和△ACE,且AB=AD,AE=AC,∠BAD=EAC.连结BE、CD交与P点,AP的延长线交BC于F点,是判断∠BPF与∠CPF的关系,并加以证明。
5.如图,等边△ABC中,D为AC上一点,E为BC延长线上一点且AD=CE,连接DB、DE;
⑴.求证:
DB=DE;
⑵.若D在AC的延长线上,⑴中的结论是否成立,若成立请证明,若不成立请说明理由。
A
6.如图,已知△ABC中,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB,AB=AC。
求证:
AE=BE+BC.
E
D
C
B
7.如图,点A在y轴的正半轴上,以OA为边作等边三角形AOC。
⑴.点B在X轴的正半轴上的一个动点,如图当点B移动到点D的位置时,连接AD,请你在第一象限内确定点E,使△ADE是等边三角形(保留作图痕迹,不必证明)
⑵.在⑴的条件下,在点B的运动过程中,∠ACE的大小是否发生变化?
若不变,求出其度数;若变化,请说明理由。
⑶.如图,把你在⑴中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转,使点E落在y轴的正半轴上E’的位置,得到正△AE’D’,连接CE’、OD’交于点F,现在给出两个结论:
①AF平分∠CAD’;
②FA平分∠OFE,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论是正确的,并进行证明。
五.截长补短构造全等三角形
1.如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于M。
求证:
DE>BC。
2.如图,在三角形ABC中,AD垂直于BC于D,
若AB+CD=AC+BD,求证:
AB=AC.