思维行程.docx
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思维行程
思维行程
【老师寄语】：
解行程问题要会读题，一遍快速归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻找误解。
最终要学会“纸上谈兵”。
思维调查卷
时间：
30分钟总分：
100分（基分20）姓名：
________得分：
________
试卷说明：
本卷共6题，要求简单明了写出解答过程，最后的结果请填在试题的横线上。
1.甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高
，而乙的速度立即减少
，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距离）100米，那么这条环行跑道的周长是______米；
A
C
B
解：
设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2.5个单位，甲后来的速度是1.25个单位，乙后来的速度是2个单位。
设第一次甲跑了x圈时被乙追上，则此时乙跑了（x+1）圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，则乙又跑了（y+1）圈。
利用两次甲乙跑的时间相等列方程：
解得：
如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在B点追上甲，第二次在C点追上甲（A、B、C是圆周的三等分点）。
因为B、C相距100米，所以环形跑道的周长为
米。
2.两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。
现在把快表指示时间调成是8:
15，慢表指示时间调成8:
31，那么两表第一次指示的相同时刻是___:
___；
答案：
5：
22
3.一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小时比第二小时多行4千米，水速为2千米／小时，那么第三小时船行了_____千米；
解：
首先判断出开始是顺流。
在第1小时和第2小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。
由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。
具体行驶情况如图。
再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时的最终时刻到全长的中点。
4
4
最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：
设全长为2a千米，船在静水中的速度为每小时x千米。
，
解得a＝10千米。
4.小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有
的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。
这样，小明就比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要______分钟；
解：
小明走
，与小明的爸爸走
的时间相同，所以他们的速度比是
：
＝7：
2，接下来如果小明步行，爸爸骑车都走
的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一份为x，则
，所以小明的速度是
，从家到学校的路程是1，所用时间是
分钟。
一、环行运动：
1.男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A点出发跑步，每人每跑完一圈后到达A点会立即调头跑下一圈。
跑第一圈时，男运动员平均每秒跑5米，女运动员平均每秒跑3米。
此后男运动员平均每秒跑3米，女运动员平均每秒跑2米。
已知二人前两次相遇点相距88米（按跑道上最短距离），那么这条跑道长______米；
解：
因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的
倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到
全长的位置。
这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点在距A点
全长处。
下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的
，所以女运动员刚好跑到距A点
的位置，此时男女运动员相向运动，男运动员的速度为3m/s，女运动员的速度为2m/s。
这样第二次相遇点距A点
。
两次相遇点间的距离为总全长的
。
所以两点在跑道上的最短距离为全长的
。
而这段距离又为88米。
所以88÷
＝200米。
2.在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是
千米/小时，丙的速度是3.6千米/小时，_____分钟后3人跑到一起，_____小时后三人同时回到出发点；
分析：
我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点，那么每人跑的路程都是300的整数倍。
同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。
解：
（1）先换算单位：
甲的速度是
米/分钟；乙的速度是
米/分钟；丙的速度是
米/分钟。
（2）设t分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是
米、
米、
米。
路程差
都是300的整数倍。
而
，所以第一次3人跑到一起的时间是
分钟。
（3）设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程分别是
米、
米、
米。
每个路程都是300的整数倍。
而
，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。
评注：
求几个分数的最小公倍数的方法是：
所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分数。
3.
A
C
B
B
A
某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。
甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与甲相遇时，所用时间是______秒。
分析：
本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。
现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。
解：
根据分析，甲在A处，乙在B处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑400×4+200＝1800米，需要的时间是1800÷（5－4）＝1800秒。
A
B
C
D
N
P
M
8
6
12
9
评注：
当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。
4.如图，正方形ABCD是一条环行公路。
已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米。
从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇。
如果从PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N相遇。
那么
=______；
分析：
对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什么样的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成时间来解题。
解：
设正方形的边长为720千米，那么AB上行驶的时间是720÷90=8小时，BC上行驶的时间是720÷120=6小时，CD上行驶的时间是720÷60=12小时，DA上行驶的时间是720÷80=9小时。
那么行驶一周的总时间是8+6+12+9=35小时。
从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，相当于从AB中点同时反向各发出一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，每辆车都行驶35÷2＝17.5小时，DP上的时间为17.5-4-9=4.5小时，PM上的时间为（12-4.5）÷2=3.75小时。
同样得到AN上的时间为17.5-3.75-4.5-9=0.25小时，NB上的时间为8－0.25＝7.75小时。
AN、NB上的速度相同，故路程比就等于时间比。
即
。
评注：
本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点的时间相同，很容易求得DP上的时间。
同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。
三、流水行船问题：
5.某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港前行。
发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。
已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍。
那么货船的发出间隔是_____分钟；
分析：
对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。
解：
设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的情况下的间隔为30×[（6+1）-（x+1）]=（6+1）×t，迎面相遇情况下的间隔为20×[（6-1）+（x+1）]=（6-1）×t，解得t＝720/29分钟。
评注：
这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。
6.有一地区，从A到B为河流，从B到C为湖。
正常情况下，A到B有水流，B到C为静水。
有一人游泳，他从A游到B，再从B游到C用3小时；回来时，从C游到B，再从B到A用6小时。
特殊情况下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，在在这种情况下，从C到B再到A用______小时；
解：
设BC为1份，AB为x份，则AB占总体的
，BC占总体的
，根据特殊情况下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式
.
这样得到其它两个条件的等式：
而要求的算式是
这样知道在BC上逆水时的时间为
，静水时所用时间为
，顺水时所用时间为
，所以在BC上逆水、静水、顺水时的速度比为
：
：
，由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：
=
+
，
.
所以
.
答：
在特殊情况下，从C到B再到A用7.5小时。
评注：
本题的关系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在BC上的三种速度是一个等差数列。
7.A地位于河流的上游，
地位于河流的下游，每天早上，甲船从
地、乙船从
地同时出发相向而行。
从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。
由于天气的原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化_______千米；
分析：
对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；
解：
设开始甲船在静水中中速度为V甲，乙船在静水中速度为V乙，水速为V水，相遇时间为t。
（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍时，行驶路程不变，故时间缩小1.5倍时间即为t÷1.5=
，根据两次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千米，列方程，
，tV水=3，从而
（千米）；
评注：
从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；
四、综合行程：
8.司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家接厂长。
一天厂长提前了1小时出门，沿路先步行，而司机晚出发了4分钟，途中接到厂长，结果厂长早到厂8分钟，那么开车速度与厂长步行速度的比是_____；
分析：
本题给的是时间的关系。
要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。
解：
司机晚出发4分钟，又早到8分钟，那么相当于少用4+8=12分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时间是相等的，故司机去的时候少用12÷2＝6分钟。
而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路的时间应该是早出发的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共66分钟。
根据分析，相同的路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是66：
6＝11：
1。
评注：
不要认为司机6分钟的路程是厂长1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，为什么？
9.某路公交线共有30站（含始发站和终点站），车站间隔2.5千米，某人骑摩托车以300米/分的速度从始发站沿公交线出发，差100米到下一站时，公交总站开始发车，每2分钟一辆，公交速度500米/分，每站停靠3分钟，那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并超过_______次；（摩托车从始至终不停，公交车到终点即停）
解：
摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆车开始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过8次，第三辆超过2次，共计19次；
10.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，4小时后在某处相遇；如果甲每小时多走1.5千米，而乙比甲提前24分钟出发，则相遇时仍在此处。
如果甲比乙晚48分钟出发，乙每小时少走2.5千米，也能在此相遇，那么A、B两地之间的相距_______千米；
分析：
本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑各自的时间和速度的变化。
解：
假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多行1.5千米时，要走相同的路程，则时间就少用
小时，实际所用时间是4－0.4＝3.6小时，那么甲原来的速度是
千米/小时；当乙每小时少走2.5千米，则走相同的路程要多用
小时，实际所用的时间是4+0.8＝4.8小时，那么乙原来的速度是
千米/小时。
所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。
解法二：
设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。
那么
所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。
评注：
这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了24分钟，速度增加，时间减少，路程不变的情况。
11.有轿车、货车、公共汽车各一辆在一条公路上行驶，公共汽车在最前面，轿车在最后面，公共汽车与货车的车距是货车与轿车车距的2倍。
轿车追上货车的时间为10分钟，再过20分钟追上公共汽车，又过20分钟，货车也追上公共汽车，其中公共汽车每走5分钟就停靠车站一次，每次停留2分钟，那么轿车、货车、公共汽车行驶速度比为___:
___:
___；
解：
如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为
轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车时，各自行驶了10分钟，轿车追上公共汽车时，轿车行驶了30分钟，而公共汽车只行驶了22分钟（30÷7＝4…2，4×5＋2＝22），当货车追上公共汽车时，货车行驶了50分钟，公共汽车行驶了36分钟（50÷7＝7…1，5×5＋1＝36），可以得到方程组：
轿车
货车
公共汽车
a
2a
（3）－
（1）×2得：
（1）×3－
（2）得：
从而得到
评注：
本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意到公共汽车是有间歇的行驶，虽然时间有那么多，而实际行驶的需要换算。
12.A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发，甲、乙向东，丙向西；乙，丙在距离B地18千米处相遇，甲，丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已经走过B地32千米，那么，AC间的路程是______千米；
思路：
三人有时间相同的路程，使用比例，路程比等于速度比；
A
B
C
18
b
丙
①
丙
C
B
A
②
A
B
C
丙
32
a
甲
乙
③
解：
如图设a、b；
（1）V乙：
V丙=18：
b；
（2）V甲：
V丙=（32+a）：
（18+b）；
（3）V甲：
V乙：
V丙=（50+a+b）：
（18+b）：
（50+b）；
由①、②可知V甲：
V乙：
V丙=（32+a）b:
18（18+b）:
b（18+b）,
从而V甲：
V乙：
V丙=18（50+a+b）：
18（18+b）：
18（50+b）
，所以AC间距离为40+32+18+30=120（千米行程问题上练习题
1.
甲
乙
甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端点同时出发以匀速反向绕此圆形路线运动，当乙走了100米后，二人第一次相遇，在甲差60米走完一周时又第二次相遇，如果两个人同向出发，那么甲第一次追上乙时距离他的出发点有______米；
解：
第一次相遇时两人共走了半个圆周，从开始到第二次相遇两人共走了三倍的半圆周，那么乙走了100×3＝300米，它恰好是半圆周的多60米，这样圆周长是（300－60）×2＝480米。
乙走100米时，甲走了240－100＝140米，这相当于两人的速度，两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆周就追上乙，需要的时间是240÷（140－100）＝6个半圆周，这时甲走了6×140＝840米，480×2－840＝120米，因此甲第一次追上乙时距离他的出发点有120米。
2.某工厂的计时钟走慢了，分针70分钟与时针重合一次，李师傅按照慢钟工作8小时，工厂规定超时工资比原工资多3.5倍，李师傅原工资为每小时3元，这天工厂应付李师傅超时工资______元；
分析：
首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的1小时。
解：
在慢表中，70分钟分针和时针重合一次，而标准时间是
分钟分针和时针重合一次。
那么慢表中的8小时在标准时间中是70×8÷
，超出的时间是70×8÷
－8，由于超出的每小时的工资是3×（1+3.5）＝13.5元，那么超时工资就是（70×8÷
－8）÷13.5＝7.5元。
3.评注：
设分针的速度是1，那么时针的速度是
，再设x分时针和分针重合，分针比时针多走60个格，故有
（分钟）。
江上有甲、乙两个码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游。
一艘货船和一艘游船同时分别从甲码头和乙码头出发向下游行驶。
5小时后货船追上游船。
又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中，6分钟后货船上的人发现并掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。
则游船在静水中的速度为每小时______千米；
解：
（1）货船比游船每小时快15÷5＝3千米，当相遇后1小时，游船与货船的距离是1×3＝3千米，当货船返回到物品时的时间还是6分钟，那么游船船走6×2＝12分钟时，那么游船12分钟的顺水路程加上货船逆水6分钟的路程恰好是货船6分钟顺水路程加上3千米的路程，即
⨯（V乙+V水）+
⨯（V甲-V水）=
⨯（V甲+V水）+3，解得V乙=15千米/小时。
评注：
注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那么船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静水中的速度；而返回寻找物体时，船是逆水速度，物体还是水速，两者速度和还是船在静水中速度。
即船来回的时间是相同的。
4.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。
这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。
那么汽车速度是劳模步行速度的_____倍；
解：
汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：
20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8
答：
汽车速度是劳模步行速度的8倍。
5.
A
B
E
C
D
甲、乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中C点相遇。
如果甲晚出发7分钟，两人在途中D处相遇，且A、B中点E到C、D两点的距离相等，那么A、B两地间距离为_______米；
解：
甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这7分钟，乙走了60×7＝420米，如果是甲乙和走这段路程，那么需要420÷（80＋60）＝3分钟，那么第二次比第一次相遇的时间差是7－3＝4分钟，4分钟乙走了CD，那么CD＝4×60＝240米，第一次两人的路程差是240米，速度差是80－60＝20米/分钟，那么第一次相遇的时间是240÷20＝12分钟，所以A、B两地的距离是12×（80＋60）＝1680米。
6.某人骑摩托车以300米/分的速度从始发站沿公交线出发，在行驶2400米时，恰好有一辆公共汽车总始发站出发，公交速度500米/分，每站停靠3分钟，两站之间要行驶5分钟，那么一路上摩托车会与公共汽车遇见_______次；
解：
摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。
7.一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。
客车每小时行驶32千米，面包车每小时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，客车每小时增加8千米，面包车每小时减少5千米。
已知两次相遇处相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地______小时；
解：
客车与面包车速度比为32：
40=4：
5，设AB为1，则AC=
，CB=
，当面包车到达A，客车距B点
，当客车到达B点时，面包车已经返回
，
，DB=
，CD=
，面包车从D点返回需要的时间是
小时，客车从D点返回需要（504－210）÷40＝7.35。
8.那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35小时。
小明和小亮分别从相距3千米的甲、乙两地同时出发，保持均匀的速度相向而行。
当二人相遇后，小明又用了16分钟到达了乙地，此后又经过9分钟小亮到达了甲地，那么当小明到达乙地时小亮距甲地______米；
解：
设小亮的速度是x米/分钟，小亮的速度是y米/分钟，那么
，
.
9.小明和小亮分别从相距3千米的甲、乙两地同时出发，保持均匀的速度相向而行。
当二人相遇后，小明又用了16分钟到达了乙地，此后又经过9分钟小亮到达了甲地，那么当小明到达乙地时小亮距甲地______米；
解：
设小亮的速度是x米/分钟，小亮的速度是y米/分钟，那么
，
.
10.解：
乙原来车速是每小时（105÷
）-40=20千米，乙加速后与甲在C相遇，CA距离是20×
=50千米，乙原来速度到C点时间是
小时。
甲、乙原来相遇地点与C点的距离是
千米，丙走这22千米用的时间是
小时。
丙车速是每小时
千米一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，每小时1500公里，逆风回，每小时1200公里，飞机最多飞出______小时返回；
解：
我们知道去时顺风，每小时1500公里，也就是去时每走1公里用
小时，回来时逆风，每小时1200公里，也就是回来时每走1公里用
小时。
这样，每公里的路程来回共需要
小时。
燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行
=4000（公里）
顺风时飞行4000公里需要4000÷1500=
小时。
所以最多飞出
小时。
11.已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同。
猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。
而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同。
猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。
猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同时同向同地出发。
当它们出发后第1次相遇时各跑了______、______、_____米；
分析：
从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一步的时间为
，跑5步的时间是
，同样得到狗跑3步的时间是
，这时路程相同，速度比是时间的反比，为
＝9：
25，同样求猫与兔子的速度比。
解：
由题意,猫与狗的速度之比为9∶25,猫与兔的速度之比为25∶49。
设单位时间内猫跑1米,则狗跑
米,兔跑
米。
狗追上猫一圈需300÷
＝
；兔追上猫一圈需300÷
＝
。
猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是
的整数倍,又是
整数倍。
与
的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即
＝
＝
＝8437.5。
上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第1次相遇。
此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.5×
＝23437.5（米）,兔跑了8437.5×
＝16537.5（米）。
评注：
注意三者的速度比，然后求出第一次相遇的时间是解题的关键，同时要会求两个分数的最大公约数。
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