.
故所求实数a的取值范围是(1,
).
1.(教材改编)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=____________.
答案 x2-2
解析 f(-x)+g(-x)=x2-x-2,
由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
得f(x)-g(x)=x2-x-2,
又f(x)+g(x)=x2+x-2,
两式联立得f(x)=x2-2.
2.(2016·苏州模拟)设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的有________.(填序号)
①f(x)f(-x)是奇函数;
②f(x)|f(-x)|是奇函数;
③f(x)-f(-x)是奇函数;
④f(x)+f(-x)是偶函数.
答案 ③④
解析 对于①,设g(x)=f(x)f(-x),
g(-x)=f(-x)f(x)=g(x),∴f(-x)f(x)是偶函数;
对于②,设g(x)=f(x)|f(-x)|,
g(-x)=f(-x)|f(x)|≠g(x),g(-x)≠-g(x),
∴f(x)|f(-x)|是非奇非偶函数;
对于③,设g(x)=f(x)-f(-x),
g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),
∴f(x)-f(-x)是奇函数;
对于④,设g(x)=f(x)+f(-x),
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
∴f(x)+f(-x)是偶函数.
3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2019)=________.
答案 2
解析 由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,f(2019)=f(504×4+3)=f(3),
又f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1),
由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,
∴f(2019)=2.
4.(2016·南京模拟)若函数f(x)=
(k为常数)在定义域内为奇函数,则k的值为________.
答案 ±1
解析 依题意,得f(-x)=
=-
,整理得k2=1,k=±1.
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=
则f(f(-16))=________.
答案
解析 由题意f(-16)=-f(16)=-log216=-4,
故f(f(-16))=f(-4)=-f(4)=-cos
=
.
6.(2016·盐城模拟)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.
答案
解析 依题意得f(-x)=f(x),
∴b=0,又a-1=-2a,
∴a=
,∴a+b=
.
7.(2017·苏北四市联考)已知函数f(x)=
若f(x)为奇函数,则g(-
)=________.
答案 2
解析 g(-
)=f(-
)=-f(
)
=-log2
=-log22-2=2.
8.(2016·常州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)是偶函数,则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=________.
答案 0
解析 由f(x+1)是偶函数得f(-x+1)=f(x+1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x+1)=-f(x-1),即-f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),即f(x)+f(x+2)=0,所以f
(1)+f(3)=0,f
(2)+f(4)=0,因此f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=0.
9.函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时,f(x)=
+1,则当x<0时,f(x)=________.
答案 -
-1
解析 ∵f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=
+1,
∴当x<0时,-x>0,
f(-x)=
+1=-f(x),
即x<0时,f(x)=-(
+1)=-
-1.
10.(2016·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f(ln
)≤2f
(1),那么t的取值范围是________.
答案 [
,e]
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(lnt)=f(ln
),
由f(lnt)+f(ln
)≤2f
(1),
得f(lnt)≤f
(1).
又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,
所以|lnt|≤1,即-1≤lnt≤1,故
≤t≤e.
11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f
(2)=-1,则f(-6)的值为________.
答案 4
解析 由已知得f(0)=0=1+b,∴b=-1,又f
(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0),∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.
12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,函数g(x)=x2-2x+m,如果∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是____________.
答案 [-5,-2]
解析 ∵f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
∴f(0)=0,
当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1的值域为(0,3],
∴当x∈[-2,2]时,f(x)的值域为[-3,3],
若∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),
则g(x)max≥3且g(x)min≤-3,
∵g(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,
∴当x∈[-2,2]时,
g(x)max=g(-2)=8+m,g(x)min=g
(1)=m-1,
故8+m≥3且m-1≤-3,
解得m≥-5且m≤-2,
故-5≤m≤-2.
13.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解
(1)由f(x+2)=-f(x),得
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)的图象如图所示.
设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×(
×2×1)=4