届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第7讲 函数的图象.docx

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届高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7讲函数的图象

第7讲　函数的图象

最新考纲　1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．

知识梳理

1．函数图象的作法

（1）描点法作图：

通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性）画出图象．

（2）图象变换法作图：

一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换（平移变换、伸缩变换、对称变换）．

2．函数图象间的变换

（1）平移变换

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：

左加右减，上加下减．

（2）对称变换

（3）伸缩变换

y＝f（x）

y＝f（ax）．

y＝f（x）

y＝Af（x）．

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的

图象相同．（×）

（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称．（×）

（3）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（√）

（4）若函数y＝f（x）满足f（x－1）＝f（x＋1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（×）

（5）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（×）

2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（　　）

解析　∵a＞0，且a≠1，∴f（x）＝xa在（0，＋∞）上单调递增，∴排除A；当0＜a＜1或a＞1时，B，C中f（x）与g（x）的图象矛盾，故选D.

答案　D

3．（2014·山东卷）已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（　　）

A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1

解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.

答案　D

4．已知函数f（x）＝

的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．[－1,2）

C．[－1,2]D．[2，＋∞）

解析　法一　特值法，令m＝2，排除C、D，令m＝0，排除A，故选B.

法二　令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，

所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m<2.

故选B.

答案　B

5．（人教A必修1P112A2）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）

答案　C

考点一　简单函数图象的作法

【例1】作出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝

.

解　

（1）y＝|lgx|＝

作出图象如图1.

（2）因y＝1＋

，先作出y＝

的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝

的图象，如图2.

规律方法　

（1）常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

（m＞0）的函数是图象变换的基础．

（2）常握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．

【训练1】作出下列函数的图象：

（1）y＝2x＋2；

（2）y＝x2－2|x|－1.

解　

（1）将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图1.

（2）y＝

图象如图2.

考点二　函数图象的辨识

【例2】

（1）（2014·成都三诊）函数y＝

的部分图象大致为（　　）

（2）函数f（x）＝

则y＝f（1－x）的图象是（　　）

解析　

（1）依题意，注意到当x＞0时，22x－1＞0，2x|cos2x|≥0，此时y≥0；当x＜0时，22x－1＜0，2x|cos2x|≥0，此时y≤0，结合各选项知，故选A.

（2）画出y＝f（x）的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到y＝f（－x）的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y＝f[－（x－1）]＝f（－x＋1）的图象．

答案　

（1）A　

（2）C

规律方法　函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

【训练2】函数f（x）＝（1－cosx）sinx在[－π，π]的图象大致为（　　）

解析　因为f（－x）＝[1－cos（－x）]sin（－x）＝－（1－cosx）·sinx＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当x∈（0，π）时，1－cosx＞0，sinx＞0，所以f（x）＞0，排除A；又函数f（x）的导函数f′（x）＝sin2x－cos2x＋cosx，所以f′（0）＝0，排除D，故选C.

答案　C

考点三　函数图象的应用

【例3】

（1）函数f（x）＝2lnx的图象与函数g（x）＝x2－4x＋5的图象的交点个数为（　　）

A．3B．2

C．1D．0

（2）已知函数y＝

的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．

解析　

（1）在同一直角坐标系下画出函数f（x）＝2lnx与函数g（x）＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1的图象，如图所示．

∵f

（2）＝2ln2＞g

（2）＝1，∴f（x）与g（x）的图象的交点个数为2，故选B.

（2）根据绝对值的意义，y＝

＝

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k＜1或1＜k＜4时有两个交点．

答案　

（1）B　

（2）（0,1）∪（1,4）

规律方法　利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．

【训练3】

（1）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1,1]时，f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个B．9个

C．8个D．7个

（2）（2014·黄冈调研）设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）根据f（x）的性质及f（x）在[－1,1]上的解析式可作图如下

可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当x＞10时，|lgx|＞1.

因此结合图象及数据特点知y＝f（x）与y＝|lgx|的图象交点共有10个．

（2）如图，要使f（x）≥g（x）恒成立，则－a≤1，

∴a≥－1.

答案　

（1）A　

（2）[－1，＋∞）

微型专题　函数图象的对称性问题

函数图象的对称性反映了函数的特性，是研究函数性质的一个重要方面，它包含一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性，其中两个函数图象之间对称性的实质是两个函数图象上的对应点之间的对称性，所以问题的关键在于找到对应点的坐标之间的对称性，可取同一个y值，寻找它们横坐标之间的对称性或者取同一个x值，寻找它们纵坐标之间的对称性．

例4

下列说法中，正确命题的个数为（　　）

①函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于直线y＝0对称；

②函数y＝f（x）与函数y＝－f（－x）的图象关于坐标原点对称；

③如果函数y＝f（x）对于一切x∈R，都有f（a＋x）＝f（a－x），那么y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

④函数y＝f（x－1）与y＝f（1－x）的图象关于直线x＝1对称．

A．1B．2

C．3D．4

点拨　先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称，再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于x轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断．

解析　对于①，把函数y＝f（x）中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f（x）中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f（a＋x）＝f（a－x），则f（x）的图象关于直线x＝

＝a对称；对于④，因为函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）与y＝f（1－x）的图象；即y＝f（x－1）与y＝f（1－x）的图象关于直线x＝1对称．

答案　D

点评　本题的难点在于对函数图象的各种对称的正确理解，熟练掌握这些基础知识是化解难点的关键．在复习备考中要对函数图象的各种对称进行总结.

[思想方法]

1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：

（1）可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；

（2）可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；（3）可通过方程的同解变形，如作函数y＝

的图象．

2．合理处理识图题与用图题

（1）识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（2）用图

要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解（方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标），不等式的问题函数解（不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围）．

[易错防范]

1．用描点法作函数图象时，要注意取点合理，并用“平滑”的曲线连接，作完后要向两端伸展一下，以表示在整个定义域上的图象．

2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．（2015·保定模拟）函数y＝21－x的大致图象为（　　）

解析　y＝21－x＝

x－1，因为0＜

＜1，所以y＝

x－1为减函数，取x＝0时，则y＝2，故选A.

答案　A

2．函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象大致是（　　）

解析　函数f（x）＝ln（x2＋1）的定义域为（－∞，＋∞），又因为f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数且f（0）＝ln1＝0，综上选A.

答案　A

3．为了得到函数y＝lg

的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析　y＝lg

＝lg（x＋3）－1，将y＝lgx的图象向左平移3个单位长度得到y＝lg（x＋3）的图象，再向下平移1个单位长度，得到y＝lg（x＋3）－1的图象．

答案　C

4．使log2（－x）＜x＋1成立的x的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．[－1,0）

C．（－2,0）D．[－2,0）

解析　在同一坐标系内作出y＝log2（－x），y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈（－1,0），故选A.

答案　A

5．函数y＝

的图象可能是（　　）

解析　法一　函数y＝

的图象过点（e,1），排除C，D；函数y＝

的图象过点（－e，－1），排除A.

法二　由已知，设f（x）＝

，则f（－x）＝－f（x），故函数f（x）为奇函数，排除A，C，当x＞0时，f（x）＝lnx在（0，＋∞）上为增函数，排除D.

答案　B

二、填空题

6．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）＝________.

解析　与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x，依题意，f（x）图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f（x）的图象可由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.

答案　e－x－1

7．若方程|ax|＝x＋a（a>0）有两个解，则a的取值范围是________．

解析　画出y＝|ax|与y＝x＋a的图象，如图．只需a>1.

答案　（1，＋∞）

8．（2015·长沙模拟）已知函数f（x）＝

且关于x的方程f（x）－a＝0有两个实根，则实数a的范围是________．

解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f（x）－a＝0有两个实根，即函数y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.

答案　（0,1]

三、解答题

9．已知函数f（x）＝

.

（1）画出f（x）的草图；

（2）指出f（x）的单调区间．

解　

（1）f（x）＝

＝1－

，函数f（x）的图象是由反比例函数y＝－

的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．

（2）由图象可以看出，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（－1，＋∞）．

10．已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．

解　f（x）＝

作出函数图象如图．

（1）函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞）；函数的减区间为（－∞，1]，[2,3]．

（2）在同一坐标系中作出y＝f（x）和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点（如图）．由图知0＜m＜1，

∴M＝{m|0＜m＜1}．

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

11．已知函数f（x）＝

则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是（　　）

A．f（x1）＋f（x2）<0B．f（x1）＋f（x2）>0

C．f（x1）－f（x2）>0D．f（x1）－f（x2）<0

解析　

函数f（x）的图象如图所示：

且f（－x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上是增函数．

又0<|x1|<|x2|，

∴f（x2）>f（x1），

即f（x1）－f（x2）<0.

答案　D

12．函数y＝

的图象与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）

A．2B．4

C．6D．8

解析　令1－x＝t，则x＝1－t.

由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，

所以－3≤t≤3.

又y＝2sinπx＝2sinπ（1－t）＝2sinπt.

在同一坐标系下作出y＝

和y＝2sinπt的图象．

由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．

因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.

也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，

因此x1＋x2＋…＋x8＝8.

答案　D

13．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个根，则k的取值范围是________．

解析　由题意作出f（x）在[－1,3]上的示意图如图，

记y＝k（x＋1）＋1，

∴函数y＝k（x＋1）＋1的图象过定点A（－1,1）．

记B（2,0），由图象知，方程有四个根，

即函数y＝f（x）与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，

故kAB＜k＜0，kAB＝

＝－

，∴－

＜k＜0.

答案　

14．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋

＋2的图象关于点A（0,1）对称．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）＋

，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解　

（1）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,1）点的对称点P′（－x,2－y）在h（x）的图象上，

即2－y＝－x－

＋2，∴y＝f（x）＝x＋

（x≠0）．

（2）g（x）＝f（x）＋

＝x＋

，g′（x）＝1－

.

∵g（x）在（0,2]上为减函数，

∴1－

≤0在（0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在（0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞）.