八下2勾股定理典型例题归类总结.docx
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八下2勾股定理典型例题归类总结
勾股定理典型例题归类总结
题型一：
直接考查勾股定理
例１.在
中，
．
⑴已知
，
．求
的长⑵已知
，
，求
的长
跟踪练习：
1.在
中，
.
（1）若a=5,b=12,则c=;
（2）若a:
b=3:
4,c=15,则a=,b=.
（3）若∠A=30°，BC=2,则AB=，AC=.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C分别对的边为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为（ ）
A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、5
4.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ）
A、
B、
C、1D、2
5.已知等边三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（ ）
A、
B、
C、1D、
6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.
7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，
，则BD=___________.
8.已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，CD=2，那么BD等于（ ）
A、4B、6C、8D、
9.已知Rt△ABC的周长为
，其中斜边
，求这个三角形的面积。
10.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.
（1）如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积
、
、
之间有何关系？
并说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积
、
、
之间有何关系？
（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
题型二：
利用勾股定理测量长度
例1.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
跟踪练习：
1.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A、12米B、13米C、14米D、15米
3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A、8米B、10米C、12米D、14米
题型三：
勾股定理和逆定理并用——
例3.如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且
那么△DEF是直角三角形吗？
为什么？
注：
本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
跟踪练习：
1.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：
∠AEF=90°
题型四：
利用勾股定理求线段长度——
例1.如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
跟踪练习：
1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.
2.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，
（1）求证：
BE=CF;
（2）若AE=3，CF=1，求EF的长.
3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.
题型五：
利用勾股定理逆定理判断垂直——
例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
跟踪练习：
1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.
（1）求证：
∠ABD=90°;
（2）求
的值
2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A、9，12，15B、7,24,25C、
D、
，
，
3.在△ABC中，下列说法①∠B=∠C-∠A；②
；③∠A:
∠B:
∠C=3：
4：
5；④a:
b:
c=5:
4:
3；⑤
：
：
=1:
2:
3，其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A、2个B、3个C、4个D、5个
4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？
并判断哪一个是直角？
（1）a=26，b=10，c=24;
（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，
，
A、2个B、3个C、4个D、5个
5.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足
，则此时三角形一定是（ ）
A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形
6.在△ABC中，若a=
，b=2n，c=
，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形
7.如图，正方形网格中的△ABC是（ ）
A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形
8.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么
C、如果（a+b）（a-b）=
，那么∠A=90°D、如果∠A=30°，那么AC=2BC
9.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a+b=3，ab=1，
，求
的值，试判断△ABC的形状，并说明理由
10.观察下列各式：
，
，
，
……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________
11.已知，m＞n，m、n为正整数，以
，2mn，
为边的三角形是___三角形.
12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？
题型六：
旋转问题：
例题6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=
PC=4,求△ABC的边长.
跟踪练习
1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究
间的关系，并说明理由.
题型七：
关于翻折问题
例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
跟踪练习
1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
（一）折叠直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的
处，AB=4，AC=3，求BD的长。
2.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．
（二）折叠长方形
1.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。
2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合.
（1）求DE的长;
（2）求折痕EF的长.
3.（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ）
4.如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点.
（1）求证：
FB=FE
（2）求证：
CA′∥BD
（3）求△DBF的面积
7.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AG、CF.
（1）求证：
AG∥CF;
（2）求
的值.
题型八：
关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？
跟踪练习：
1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。
试问A城是否受这次风暴的影响？
如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？
（结果保留整数）
4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
题型九：
关于最短性问题
例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
例2.
跟踪练习：
1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？
蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？
题型十：
勾股定理与特殊角
（一）直接运用30°或45°的直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=
，求AD的长。
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，CD⊥AB于D，∠A=30°，CD=2，求AB的长。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠,C=45°，AC=2，求BD的长。
（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形
（1）将105°转化为45°和60°
1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的长。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°,
若AD=2,求AB的长；
若AB+CD=
+2，求AB的长。
（2）将75°转化为30°和45°
3.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB=
，求BC的长。
题型十一：
运用勾股定理列方程
（一）直接用勾股定理列方程
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的长。
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD,若BD=3，CD=8，求AB的长。
（二）巧用“连环勾”列方程
1.如图，在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=
求
.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的长。
3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的长
4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的长
题型十二：
勾股定理与分类讨论
（一）锐角与钝角不明时需分类讨论
1.在△ABC中，AB=AC=5，
，求BC的长
2.在△ABC中，AB=15，AC=13，AD为△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面积。
（二）腰和底不明时需分类讨论
3.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长.
（三）直角边和斜边不明时需分类讨论
1.已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为_____________
2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长
3.如图，D（2,1）,以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?
写
出落在x轴上的顶点坐标.
题型十三：
或
问题的证明
1.如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM⊥DN.
（1）求证：
CM+CN=
BD
（2）如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。
2.已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD.
（1）如图1，若α=β=90°，求证：
AB+AD=
AC；
（2）如图2，若α=β=90°，求证：
AB-AD=
AC；（3）如图3，若α=120°，β=60°，求证：
AB=AD=
AC；（4）如图3，若α=β=120°，求证：
AB-AD=
AC；
题型十四：
问题的证明
1.如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分别为AC、BD的中点，连MN、ON.求证：
MN=
ON.
2.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF.
（1）如图1，若E、F分别在AB、AC上，求证：
EF=
DE；
（2）如图2，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则
（1）中的结论是否仍成立？
请说明理由．
3.如图，△ABD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ACO=135°，∠ODB=45°探究OD、OC、AC之间相等的数量关系．
4.如图，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD于H．求证：
（1）DC=
DA；
（2）BE=
DH
题型十五：
勾股定理（逆定理）与网格画图
1.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．
2.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2
，
，且三角形的三个顶点都在格点上．
3.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5.如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是__________中的三角形，图4中最长边上的高为_____________
6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）画一条线段MN，使MN=
；
（2）画△ABC，三边长分别为3，
，2
。
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上．
（1）图1中以AB为腰的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边长．
（2）图2中，以AB为底边的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高．
题型十六：
利用勾股定理逆定理证垂直
1.如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的长.
2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，
，CD=5，AD=4，求
.
3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.
4.已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连AD．
（1）如图1，当α=60°，PA=10，PB=6，PC=8时，求∠BPC的度数
（2）如图2，当α=90°，PA=3，PB=1，PC=2时，求∠BPC的度数
题型十七：
勾股定理综合纯几何问题
1.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，DE交射线AC于E，DF交射线CB于F．
（1）如图1，当AC=BC时，
、
、
之间的数量关系为__________（直接写出结果）；
（2）如图2，当AC≠BC时，试确定
、
、
之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当AC≠BC时，
（2）中结论是否仍成立？
2.已知△OMN为等腰直角△，∠MON=90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB.
（1）如图1，连CN，求证：
CN=BM;
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于A，求证：
（3）如图3，在
（2）的条件下，过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，EA、BF的延长线交于P，请探究
、
、
之间的数量关系式．
题型十八：
勾股定理综合
（二）与代数结合
1.已知点A的坐标为（1，-3），∠OAB=90°，OA=OB.
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于D，M为OB的中点，求DM的长；
2.已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12
.
（1）如图1，求点C的坐标
（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：
（3）在图2中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长
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