3.1.3空间向量的数量积运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-3.1.5空间向量运算的坐标表示(1)资料.ppt

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3.1.3空间向量的数量积运算,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,3.1.5空间向量运算的坐标表示,平面向量的夹角：

平面向量的数量积的定义：

即,概念,1）两个向量的夹角的定义,2）两个向量的数量积,注意：

两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。

3）空间向量的数量积性质,注意：

性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：

4）空间向量的数量积满足的运算律,注意：

思考,1.下列命题成立吗?

若,则若,则,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,平面向量基本定理：

平面向量的正交分解及坐标表示,复习：

在空间中，能得出类似的结论:

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

一、空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,

（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

注：

对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组x,y,z使得我们称为向量在上的分向量。

这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.,二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标,x,y,z,O,A（x,y,z）,e1,e2,e3,空间向量的直角坐标：

给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,y,z）使p=xe1+ye2+ze3有序数组（x,y,z）叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=（x,y,z）其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.,例1、1、在空间坐标系o-xyz中，（分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量）则的坐标为。

2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，,空间直角坐标的考查,空间向量运算的坐标表示,则,设,一、向量的直角坐标运算,若A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）,则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,

（1）向量的长度（模）公式,注意：

此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

在空间直角坐标系中，已知、，则,

（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意：

（1）当时，同向；

（2）当时，反向；（3）当时，。

解：

设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则,例1如图,在正方体中，求与所成的角的余弦值.,证明:

设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结：

通过学习,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.,小结：

1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：

首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。