指数与指数幂的运算.docx
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指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
（1）理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
（2）能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
（3）能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
n*
aaaanZ
n个a
0
a01a0
n1
an1n（a0,nZ*）
a
2．运算法则
mnmn
（1）aaa；
mnmn
（2）aa；
m
amn
（3）namn，a0；
an
（4）abmambm.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y（n∈N*，n>1，y∈R），则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为
ny；零的奇次方根为零，记为n00；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n00.
2．两个等式
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
*m
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且m为既约分数，分数指数幂可如下定义：
n
1an
m
na
an
（na）mnam
ma-mn
1
man
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
a0，b0，,Q
（1）aaa;
（2）（a）a;
（3）（ab）ab;
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
4（4）2（44）2；
21
（3）幂指数不能随便约分.如（4）4（4）2.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：
a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）
3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）5（3）5;
（2）4（10）2;（3）4（3）4;（4）（ab）2.
ab （a>b）答案】-3；10；3；0 （a=b）
ba （a解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号
1）
5（3）5
3；
2）
4（10）2
10；
3）
4（3）4
|3|
3；
ab
（a>b）
4）
（ab）2
|ab|
0
（a=b）
ba
（a（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
1）3
（2）3；
（2）4（9）2；（3）6（4）6；（4）8（a2）8.
例2.计算：
（1）526743642；
【答案】22;22．
【解析】对于
（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于
（2），
则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）526743642
=（3）2232
（2）2+22223（3）2-22222
（2）2
=（32）2（23）2（22）2
=|32|+|23|-|22|
=32+23-（22）
=22
=22
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思
1想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例
（2）中，1
21
的分子、分母中同乘以（21）.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）3223（12）34（12）4；
2）x22x1x26x9（|x|3）
1）
a2a
1
22aa2
21a22
5
a2;
2
2
11
2）
332aa
33
aa3
3
a33
a3；
aa
11
31
3
3）
（aa2）2
（a2）2
a4；
4）解法一：
从里向外化为分数指数幂
2
y2
（x2
x
1
xy2
2
=y
x
5
=y4
解法二：
从外向里化为分数指数幂．
=[
y
x
3
x3
y3
61
yx36）12
x
x
5
=y4
236111{yx[xy（yx3）3]2}2xyx
1
12
此类问题应熟练应用
时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，举一反三：
anam（a0,m,nN*,且n1）．
用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
■高清课程：
指数与指数运算例1
1
10
（2）73333246314333
9
（3）31254（36）26（4）63（3）3．
【答案】3；0；2
1
112101
【解析】
（1）原式=（0.3）1（）23；
33333
（2）原式=733633233330；
（3）原式=-5+6+4--（3-）=2；
注意：
（1）运算顺序（能否应用公式）；
（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂举一反三：
【变式1】计算下列各式：
答案】21+156
4
解析】原式=16+6+5+26+36=21+156
4
例5.化简下列各式.
21
5x3y2
（1）
1
1y2
1
答案】24y6
5x3yx3y
6
1
m12
（2）
1
mm2
11
m2m2
2
（3）（0.027）3
27
125
0.5
27
9
1
m2；0.09
【解析】
（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；215x3y2
同一字母的化为该字母的指数运算；
（2）对字
（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.
（1）
1
12
11
5x3y6
5（4）
1
24x0y6
5
1
24y6
23）
1）
111
3y22
16）
1
m2
11
22
2m2
2
1m2m2
（2）m1m
2
1
m2
2
（3）（0.027）3
27
=（30.027）
0.5
7
2
9
=0.09
1
m2
1
3
5=0.09
3
举一反三：
【变式1】化简：
3xy2（xy）3.
57答案】x6y6
1
解析】原式=[xy2（x2
11
y2）3]3
331x2y2）3xy.
注意：
当n为偶数时，
|a|
2
变式2】化简x2
x3
2
y2
2
3
2
x
2
x3
（xy2
a（a0）
a（a0）
2
y2
2
y3
57
66
答案】2xy
解析】应注意到
xy
3
）
23
3
）
23
y
（
23
y
23
x
x
（
[
y
（
23
y
23
x
2
）
23
x
2（xy）3
xy
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.
（1）被开方数的指数与根指数互质；
（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
x22x13x33x2
3x1
2x（x
1）
2（x
1）
■高清课程：
指数与指数运算
例4
11
例6．已知x2x23，求
33
22
x2x2
22
3
3的值．
xx
2
【答案】
∴由平方根的定义得：
4226
41842
（3）Q3x33x23x
13（x1）3
x1
x22x1|x1|
x1（x
1）
x1（x
1）
1824182
2322462242
13
【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果11
与条件x2x23的联系，进而整体代入求值．
11
Qx2x23，x2x19，xx17
2222
x2x49，xx45
3311x2x23=（x2x2）（x1x1）3x2x22=4723（71）3151
=
45453
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简
33后代换”方法求值．本题的关键是先求x2x2及x2x2的值，然后整体代入．
举一反三：
【变式1】求值：
11x21
x2x25，求x1的值；xbaa>0，b>0，且a=b，b=9a23；43
（1）已知
（2）已知
【答案】
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题1
（1）由x2
1
x25，两边同时平方得
，求a的值.
-1
x+2+x=25，
整理得：
-1
x+x-1=23，则有
x21
（2）a>0，
8∴a9巩固练习一、选择题
1
3
1.若x
A.3x
2.若a
A.1
3.计算
A.32
4.化简
A.11
2
b>0
1
99
ba
，又∵ab=ba，
a832a
6x
B.1
3x
3（3）3，
B.5
42123
C.-1
1
∴（ab）b
1
（ba）b
aabb
1
（9a）9
43.
2
9x2等于（
C.（13x）2
4（2
D.
22的结果是（
B.16C.64
D.128
D.非以上答案
1
32
1
16
1
32
B.
1
32
5.
4
等于（
A.a16
B.a8
6.若a1,b
0，且abab
A.6
B.
二、填空题
7.计算4
）4
，则
C.
22
C.
C.a
则ab
，结果是
1
32
D.
1
232
D.a2
b的值等于（
D.2
8.化简b
（2b
1）（1b2）=
1
9.
（2）1
2
33
（23）3=
10.若a
3
2b,化简4（4a2
12ab
2
9b2）=
三、解答题
11.计算：
2
1）1253
16
1
3433
1
2）0.0273
4
50
3
0.00164
12.计算下列各式：
1）（0.064）
（2）3
1
160.75|0.01|2；
2）a1
a2
b
1
b2
b
1
a2
1
2a2
1b2
1
b2
113
x
23
13
13
巩固练习一、选择题
1.化简
1
1232
11
1216128
A.11
11
11
232
B.1232
2
2.计算4212322的结果是（
A.32
B.16
C.64D.128
3.若a
1,b
0，且abab22，
A.6
B.2C.
4.下列各式中错误的是（）
1
1
1
24
122
，结果是（）
1
1
C.
1
232
1
D.11232
2
）
则abab的值等于（）
2D.2
211
A.a5a3a151（a1）
2
B.a6b93a4b6（a,b0）
111212
C.
2x4y33x2y34x4y324y（x,y0）
6.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）g（x）axax2
二、填空题
7.[
（2）2]
8.31223
31223
1313
9.若x0，则2x4322x432
1
4x2（x
1
x2）=.
10.已知aa
11
4，则a2a2=.
三、解答题
11.计算：
2
1）1253
1
12
16
1
3433
2）
140.0273
3
500.00164
12.计算下列各式：
1
（1）（0.064）3
（2）3
16
0.75
1
|0.01|2；
11
ab
11
a2b2
b2a2b2
11
22ab
13.计算：
2
x3
x1
1
x31
x1
1
x3
2
3
xx3
1
x31
14.
14.已知
2
a3
2
b3
4,x
12
3a3b3,y
21
3a3b3.
求证：
2
3为定值.
15.
（1）化简：
1
2
x2y
14
x1y4
1acaxab
b
xbc
1
ab
c
xca
1
bc
2）已知
x12（ab
b）（a
a
0,b
0），求
2bx21
xx21
的值.
32
【答案】
（1）210a10；
（2）x3．
变式2】把下列根式化成分数指数幂：
x2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
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