有理数及其运算知识点及练习.docx
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有理数及其运算知识点及练习
一对一授课讲义
授课科目
学生姓名
授课教师
授课时间
授课内容
有理数及其运算
知识点1:
有理数的概念及其分类
（1）整数可以分为正整数，零，负整数
（2）分数可以分为正分数和负分数
（3）整数和分数统称为有理数
例1.把下列各数填入相应的大括号内
0.05,1,-5,-126,72.1,0,-12%,5,+729,-628,-33,3.
14,-1000.01
3
324
8
（1）正整数集合：
（
）
（2）负分数集合：
（
）
（3）整数集合：
（
）
（4）非负数集合：
（
）
知识点2:
数轴
（1）数轴的二要素:
原点、正方向、单位长度（二者缺不可）。
（2）任何一个有理数，
都可以用数轴上的
一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所
有的点都表示有理数）
（3）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这
两个数互为相反数。
（0的相反数是0）
⑷在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧
，且到原点的距离相等。
（5）数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的
左边。
例1.如果数a和b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）
（A）ab（B）ab（Cab0（D）-0bOa
b
例2.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3,计算
（2a+3c）b的值
知识点3:
绝对值
1.
2.
绝对值的定义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a
的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
a（a0）
a（a0）
|a|0（a0）或|a|\:
a（a0）a（a0）
越来越大.
・■・■亠・■・■A
1IHIIII
-3-2-10123
3.绝对值的性质：
除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反
数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|>0
4.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下:
①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小;
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
5.绝对值的性质:
①对任何有理数a,都有|a|>0;②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然；③若|a|=b，则
a=±b;④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
例1.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|ab|a的结果为
T_I•~A
（）b0a
例2.绝对值最小的数是（）例3J3|=（）
例4.若a|3||,则a=（）
例5.已知a3|b3|0,求j的值。
11ab
例6.已知x=8,y=-4，求卜|2y|的值
知识点4:
有理数的加法
㈠有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数
相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
㈡加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
㈢灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：
①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。
例1.下列结论不正确的是（）
A.若a>0,b>0,则a+b>0B.若av0,bv0,则a+bv0
C.若a>0,bv0,则|a|>|b|,贝Sa+bv0D.若av0,b>0,且|a|>|b|，贝Sa+bv0例2.已知a的相反数是3,b的绝对值为4,c是最大的非正数，求a+b+c的值。
5
例3.已知|a|=5,|b|=6,且a>b,求a+b的值
知识点5:
有理数的减法
㈠有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
㈡有理数减法运算时注意两“变”：
①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：
被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
例1.若|x||y|=0，则（）
A.x=yB.x=-yC.x=y=0D.x=y或x=-y
例2.|a|=5,|b|=8且|ab|=-（a+b）求a-b的值
例3.思考题已知a,b,c都是有理数，且满足同⑷回1,求代数式半的值。
abc|abc|
知识点6:
有理数的混合运算
有理数的加减法混合运算的步骤：
①写成省略加号的代数和。
在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注
意：
减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相数。
）
例1.已知a|=3,b|=1,c|5，且|ab\ab,ac|（ac），求a-b+c的值
例2.若数轴上的三个点A,B,C表示的数分别为a,b,c且点c在点A,B,之间，试说明ac|cb||ab|
知识点7:
有理数的乘法
㈠有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与
0相乘，积仍为0。
㈡如果两个数互为倒数，贝卩它们的乘积为1。
㈡乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
㈣有理数乘法运算步骤：
①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
㈤乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意：
①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
例1.已知a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2,求abxy1c的
23
值
例2.已知：
a与b互为相反数，x与y互为倒数，m=5,求：
m（a+b）+xy-2m
知识点&有理数的除法㈠有理数除法法则：
①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。
0不可作为除数，否则无意义。
例1.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数,
4
3求--abm-cd，9
y>0,则x（）0
zz
例2.用字母x,y,z表示任一数，若xv0,
y
例3.已知非零的有理数a,b,c,满足「
|aIb
1,则
abc
（
abc
㈠有理数的乘方
㈡注意：
①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51;
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
㈢乘方的运算性质：
①正数的任何次幕都是正数；②负数的奇次幕是负数，负数的偶
次幕是正数；③任何数的偶数次幕都是非负数；④i的任何次幕都得1，0的任何次
幂都得0;⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1:
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幕的绝对值。
例1.
（1）已知：
x5\（y6）20,z216,求（x-y）2008z的值
（2）已知|x|3，y的平方等于16,求x2y2的值
例2.若x2（4）2,y3
（2）3,|a||2|，求代数式5x+4y-2a的值
5
知识点10：
有理数的混合运算及科学记数法
㈠有理数混合运算法则：
①先算乘方，再算乘除,最后算加减。
②如果有括号，先算括号里面的。
㈡科学记数法：
一般地，一个大于10的数可以表示成ax10n的形式，其中1例1.
（1）
（-
102
）5
31
5
（
4）5
3
9
3
9
9
（2）
21
1
2
2
1
12
3
2
3
5
（3）
27
9
9
1
2
3
11
24
11
2
3
4
12
例2.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m24,求abm-ab2008cd2009的值
cd
例3.已知a1|（b2）20,|cI3,求（ab）5-4c的值
例4.若（a+1）2（2b3）2|c1|0,求辿乞上的值
113cb
例5.用科学记数法表示下列各数
（1）579900000
（2）5900000000
（3）350000000（4）0.00000513
1•把下列各数填入分别填在相应的大括号内
1,
56
正整数集合：
（）
负整数集合：
（）
正分数集合：
（）
负分数集合：
（）
-4,8.9,5,-3.2,+1008,n,-0.05,0,-9,28
32.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为（），它们互为（）
3.已知m与n互为倒数，a与b互为相反数，c的绝对值为3,求amn-5c+b的值
随
4.
（1）-7x
22
7
22
7
⑵-1410.5
12
7
32
2
（3）-
321
!
|2
1
3
3
3
7
19
5.用科学记数法表示下列各数
（1）3690000
（2）0.097
（3）300000000
26
164
4
课后作业
1.把下列各数填到相应的大括号里
1
-1,4.3,+72,0,3,-6.4,-12,
整数集合：
……
正数集合：
……
负数集合：
……
非负整数集合：
…
自然数集合：
……
正分数集合：
……
负整数集合：
……
2.的相反数大于本身，的相反数等于本身，的相反数小于本身.
3.如图，是数轴的是（）
•«—•••A―•««_»••_►
02-101-10123
（A）（B）（C）（D）
4.如果数a和b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）“3
b0a
（A）ab（B）ab（C）ab0（D）a0
b
5.女口果|a，那么a是，如果|a|a，那么a是.
6.若aWO,贝卩冋；若a》O,贝则a1|.
7.设a|1，b|1|,c是1的相反数，贝则a,b,c的大小关系是（）
（A）abc（B）abc（C）abc（D）abc
8.若一个数a的绝对值是3,且a在数轴上的位置如图所示，试求的相反数.
9.若a2，给出下面4个结论：
①aa:
②aa:
③1a:
④1a.其中不正确的有
aa
10.若|m1|m1,则m1;若|m1m1，则m1；
若ix14|，贝yx；若|x1，贝yx.boac*__
11.已知|a|2,b2,c3，且有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，计算bc的值.
12.已知|X5，|y3，且|xyxy，求xy的值.
13.若|a|3,忖2,贝H|ab\.
14.
（1）若m0,n0，则mn0;
（2）若m0,n0，则mn0;
（3）若a0,b0，且ab，则ab0;
（4）若a0,b0，且a|b，贝Sab0.
15.已知ab0，且a0b，贝Sab.
16.已知|a2b30，则ab的相反数
17.
11
20072008
若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则ab2abcdcd
18.
（1）111111
22334
⑵.
350.125
（3）.0121116
3277
18.（用
“〉”“V”或“=”号填空）如果0,b0，那么卫
b
0;如果a0,b0,
那么a
0;如果a0,b0，那么-
0.
b一
b
19.当a
时,
a
a1；当a时，
H1.
a
a
20.若ab
0，则回
b
1・
a
lbl
21.
（1）
23
2
3
21；
（2）
11213
99/100
11
08
O
09
O
7
00
2
6
2
5-6
1-2
2
3
^1
4
2
5
2
4
^1
3
5
2
0
24
34
2
13
38
4
12
2
4
1
23
2
32
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