初中数学专题旋转问题.docx

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初中数学专题旋转问题

专题二旋转

学习要点与方法点拨：

出题位置：

选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道

“旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。

同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。

1、基本图形一：

将∠AOB旋转至∠A’OB’，图①、②分别可以得到结论？

①②

旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等）

2、基本图形二：

将△AOB旋转至△A’OB’，连接AA’与BB’，分别在图①、②中证明△OAA’与△OBB’相似。

旋转后连接得到的两个三角形相似。

因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。

3、解题步骤

（1）第一步：

找旋转点，角相等；

（2）第二步：

证全等、相似；

（3）第三步：

利用全等、相似得到边、角条件。

模块精讲

例1.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）当点C1在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

例2.已知△ABC是等边三角形.

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角（0°＜

＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.

①如图a，当=20°时，△ABD与△ACE是否全等？

       （填“是”或“否”），

∠BOE=        度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜ ＜180°），得到△ADE.

BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.

例3.

（一）如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时,如图

（1）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?

直接写出你猜想的结论；

②将图

（1）中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）,如图

（2）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?

请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在

（1）中的位置关系仍然成立?

不必说明理由．

甲：

AB：

AC=AD：

AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：

AB：

AC=AD：

AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°；

丙：

AB：

AC=AD：

AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°．

例4.【2016·扬州】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与

边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。

设CE=a，CF=b。

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； 

（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值； 

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由。

例5.【2016·淮安】问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、

CD之间的数量关系. 

小吴同学探究此问题的思路是：

将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝ CD，

从而得出结论：

AC+BC＝ CD.

图①图②图③图④图⑤

简单应用：

（1）在图①中，若AC＝

 ，BC＝2

 ，则CD＝　　　　. 

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长。

拓展延伸：

 （3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m

例6.【2016·宿迁】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD

绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：

GF∥AC；

（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．

课堂练习

1.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：

CP1=CQ；

（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

课后巩固习题　

1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为．

（第2题图）（第3题图）

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连结AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为．

4．把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的表达式为．

5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（－2，2），B（0，5），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．

（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（－2，－6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．

（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

（第5题图）

6．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）

A.（－a，－b）　B.（－a，－b－1）C.（－a，－b＋1）　D.（－a，－b＋2）

（第6题图）　　　（第7题图）（第8题图）

7．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（）

A.50°　　B.60°C.70°　　　D.75°

8．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）

9．如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角尺扫过的图形的面积是（D）

A.π　　B.

C.

＋

　　D.

＋

（第9题图）（第10题图）

10．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转

m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝.

11．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝

；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1＋

；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2＋

；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2016为止．则AP2016＝．

（第11题图）

12．在数学兴趣小组的活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2

的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请帮他求出此时BE的长．

（3）如图③，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

（第12题图）

13．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1s，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20

－20）cm.

（1）求AB的长．

（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？

若旋转2014s，交点又在什么位置？

请说明理由．

（第13题图）

14.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是______；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．