排列组合常见题型及解题策略难.docx
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排列组合常见题型及解题策略难
小学排列组合常见题型及解题策略
一．可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：
一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
433
【解析】：
（1）34
（2）43（3）43
【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：
完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.
【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）
3833
A、8B、3C、A8D、C8
【解析】：
冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店，”3项冠
军看作3个“客，”他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有83种不同的结果。
所以选A
二.相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排
歹y.---
【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果代B必须相邻且B在A的右边，那么不同的
排法种数有
【解析】：
把代B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A^=24种
【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有
两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A.360B.188C.216D.96
【解析】：
间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
2222
C3A2A4A2=432种--☆
12222
其中男生甲站两端的有A2C3A2A3A2=144，符合条件的排法故共有288
三.相离问题插空法：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排
列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：
除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有a2种，不同的排法
52
种数是AsAb=3600种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不
同的插法（具体数字作答）
111
【解析】：
A7AsA9=504
【例3】高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：
不同排法的种数为A55A2=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6
项工程的不同排法种数是
【解析】：
依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可
2
得有A5=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,
则该晚会的节目单的编排总数为种•
111
【解析】：
A9AwAh=990
【例6】•马路上有编号为1,2,3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：
把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】：
解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3,C*C*C*O，在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都空位的排法有
13
A4A3=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*C*OC*C*再让3个人每人
3
带一把椅子去插空，于是有A4=24种.
【例8】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
【解析】：
先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C19种方法，所以共有C；A；种方法.
注：
题中*表示元素，O表示空•
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）一…
A.36种B.12种C.18种D.48种
23
【解析】：
方法一：
从后两项工作出发，采取位置分析法。
A3人-36
方法二：
分两类：
若小张或小赵入选，则有选法C；C3a3=34；若小张、小赵都入选，则有
33
选法A3A313，共有选法36种，选A.
【例3】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多
少种？
【解析】：
老师在中间三个位置上选一个有a3种，4名同学在其余4个位置上有a4种方法;
14
所以共有A3A4=73种。
.
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】法一：
a5a6^-3600法二：
恋人5=3600法三：
A；-A?
-A；=3600
五.多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
一
【例1】
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、130种C、730种D、1440种
（3）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某3个元素要排在前排，某1个元
素排在后排，有多少种不同排法?
【解析】：
（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
A-720种，选C.—
（2）答案：
C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种，某1个元素排在后半
段的四个位置中选一个有A：
种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有
125
A4A4A=5760种排法.
五.定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法•
【例11•A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（代B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）-…
【解析】：
B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列
15
数的一半，即一A=60种
2
【例21书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同
的插法？
-
【解析】：
法一：
Ag法二：
丄人；
A6
【例31将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中,
C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】：
法一:
六•标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成
【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1,2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种B、9种C、11种D、23种-…
【解析】：
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9
种填法，选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种
答案：
B
【例3】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
【解析】：
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类:
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3（12^9种分配方式。
故选（B）
【例4】五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共^有（）-"网-
（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种
答案：
B
六•不同元素的分配问题（先分堆再分配）：
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本;
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本;
（5）分给5人每人至少1本。
【解析】
（1）c；c；C33
（2）
（3）
c（c：
c
（5）
211111
C5C5C4C3C2C1
A：
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种（用数字作答）.-“☆
【解析】：
第一步将4名大学生按，2,1,1分成三组，其分法有C：
C；G；
A
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有
Cic2C1a3
2A3=36
说明：
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
#曰若是
【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为
（）
A.70B.140C.280D.840
答案：
（A）
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同
的分配方案有（）
（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种
【解析】：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
C1C2
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有—J土=15种方法，再将3组分到3个班，
A
3
共有15A3=90种不同的分配方案，选B.
【例6】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超
过2个,则该外商不同的投资方案有（）种-…
A.16种B.36种C.42种D.60种
【解析】：
按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，•••c4c；A2•c3a3=36•24=60故
选D;
【例7】
（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
A、480种B、240种C、120种D、96种答案：
B.
若每个路口4人，则不同的分配方
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,
案有多少种？
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