D・若C>—>则sinC>sin2A+sin2B
2
11・在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标
志为"连续10天，每天新增疑似病例不超过7人二过去100,A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）
A.A地：
中位数为2,极差为5B.B地：
总体平均数为2,众数为2
C.C地：
总体平均数为1,总体方差大于0D・D地：
总体平均数为2,总体方差为3
，若KV花且/（丙）=/（勺）=/（*3）=/（"），
则下列结论正确的是（）
第II卷
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.已知双曲线C:
—-22=1的左、右焦点分别为片，耳，点M（4,3）,则Z斥的角平分线
3
所在直线的斜率为.
14.对于三次函数/（x）=or'+Z?
F+cx+d（dH0）,给出定义:
设广（x）是函数y=f（x）的导数,
厂（x）是广（x）的导数，若方程厂（x）=0有实数解兀，则称点（x°J（Xo））为函数y=门列的“拐点“.某同学经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点"；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点“就是对称中心.若/（尤）=丄+一丄疋+3尤一斗，贝ij函数/（刃的对称中心为,
3212
2018
15.函数/（X）=cos2x-V?
sin2x,xwR,有下列命题:
1y=fM的表达式可改写为y=2cos2x+£
$
2直线X=是函数/（X）图象的一条对称轴：
3函数/（X）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移2个单位长度得到：
6
4满足f（x）<>/3的X的取值范囤是<兀一咅+后5尤5手+匕,£丘乙］.
其中正确的命题序号是•（注：
把你认为正确的命题序号都填上）
16.在棱长为4迈的正四而体A-BCD中，点EF分别为直线AB.CD上的动点，点P为EF中
点，0为正四而体中心（满足S=QB=QC=QD）,若PQ=^2，则EF长度为•
四、解答题：
本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）/XABC的内角的对边分别为a,btc.sin2B-sin2A-sin2C=sinAsinC.
（1）求3：
（2）若b=3,当MBC的周长最大时，求它的而积.
18.（12分）如图，三棱柱ABC—A&C中，A3丄侧面BBQC,已知BC=1,
AB=C}C=29点E是棱CC的中点.
（1）求证：
BC丄平而ABC,.
（2）求二而角4一色£一人的余弦值.
19.（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3x3x3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.
（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度）'（秒）与训练天数尤（天）有关，经统计得到如下数据：
X（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
99
99
45
32
30
24
21
现用y=a+-作为回归方程类型，请利用表中数据，求岀该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长x
期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1）?
1
参考数摇（其中乙=一）
7
Z
7
184.5
0.37
0.55
参考公式:
对于一组数据（WpV,）,（m2,v2）,（叫巴），其回归直线V=a+pu的斜率和截距的最小二乘估
n
计公式分别为：
B=，a=v-pu・
i-i
（2）现有一个复原好的三阶魔方，白而朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规立将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90。
，记顶面白色色块的个数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.
22
20.（12分）已知椭圆C:
二+二=1（“＞方＞0）的上、下顶点分别为AB,P为直线y=2±的动
a~b~
点，当点P位于点（1,2）时，△4BP的而积S^BpT，椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点片的最
短距离为72-1-
（1）求椭圆C的方程；
（2）连接PA,PB,直线分别交椭圆于（异于点A,B）两点，证明：
直线过泄点.
21.（12分）已知正三角形ABC,某同学从A点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规怎：
①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点：
②棋子移动的方向由掷骰子决泄，若掷岀骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动：
若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移动.设掷骰子〃次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为：
Pn（A）,E（B）,此（C）,例如：
掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为人（A）=0,£（B）=丄，A（C）=*.
22
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A,B,C处的概率呂（A）,呂（B）,A（C）：
（2）记P“（A）=a“,E（B）=b”,出（C）=c”，其中®+4+c“=l,b”=c”，求绻.
22.（12分）已知函数/（■¥）=*"-（a+l）x+dinx.
（1）当d＞0时，求函数f（x）的单调区间：
（2）设函数g（x）=ex-（a+2）x+2a\nx-\-2f（x）t若g（x）在［1,2］内有且仅有一个零点，求实数。
的取值范围.
数学参考答案
第I卷
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】依题意A={（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（7,1）},
其中满足y>x+l的有（1,7）,（2,6）,（3,5）,
所以4门8={（1,7）,（2,6）,（3,5）},有3个元素，故选B.
2.【答案】B
【解析】（l+i）°=（l+i）'（l+i）=2i（l+i）=_2+2i,故选B.
3.【答案】C
【解析】若血丄0,过直线川作平面交平面a于直线〃
设目标函数Z=—=1±1,则二表示平而区域内一动点到定点M（O,-1）连线的斜率,
xx-0x-0
结合图象可得，取点A时，能使得Z取得最大值，又由］1
y=——x+2U2
「？
+1
所以一的最大值为一=4,故选D.
x2一0
3
5.【答案】B
【解析】分两步：
首先从4人中选1人去巴黎游览，共有C；=4种,其次从剩余5人中选3人到英它三个城市游览，共有A；=60种，
共有C：
A；=240种，故选B.
6.【答案】B
【解析】令x<0,则一x>0,/（—x）=—F+2X+3,
因为/（x）+/（—x）=6'所以/（X）—+2x+3=6,/（x）=x~—2x+3,即当xvO时，f（x）=x2-2x+3,
取x=0,则/（O）+/（O）=6,/（0）=3,
当；rvO时，/（x）=x2-2a+3=（x-1）2+2,此时f（x）<0无解：
当x=0时，/（0）=3,此时/（x）<0无解：
当x>0时，/（x）=-?
-2x+3=-（j+1）2+4,若/（^）<0,则一（x+1）2+4<0,解得J>1,故/（3w-5）<0,即3m-5>l,解得m>2,实数加的取值范围为［2,申），故选B.
7.【答案】D
【解析】如图所示，连接3P并延长交4C于点G,
设NG=mAN>~PG=nBG^则°<加<£,0
<1,
AG=（m+\）AN9
AP=AG+GP=（777+1）AN+nGB=（〃?
+1）AN+n（AB-AG）=（加+1）AJV+nAB-fiAG=（in+\）AN+nAB—n（/.2+//=a?
7+1-/hh=/w（1-/i）+1,
•/0<1,贝ij0
n（l-77）<—,
22
z33
即1<加（1一〃）+1V牙，即1V/l+“V牙，
3）因此，几+“的取值范用是v-y故选d.
8.【答案】c
【解析】根据题意数列｛%｝是首项为2,公差为3的等差数列,%=2+3（〃_1）=3”_1；
数列｛$｝是首项为2,公差为5的等差数列，4=2+5（"-1）=5”一3；
数列｛d讣与｛$｝的公共项从小到大得到数列｛c”｝,故数列｛c”｝是首项为2,公差为15的等差数列,
5=2+15（/?
—1）=15〃一13.
对于A,q+〃2=2+2x5-3=9,c2=15x2-13=17,ax+b2^c2,错误;
对于BtQ—a=5x8—3—3x2+1=32,q=15x4—13=47,bs-a1c4,错误:
对于C,br=5x22-3=107,c8=15x8-13=107,,正确；
对于D,a6b2=（3x6-l）x（5x2-3）=119,q=15x9-13=122,a6b2c9,错误,
故选C・二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分・在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】BCD
【解析】对于选项A：
由（3+〃7）x+4y-3+3〃7=O（〃7wR）
可得加（/+3）+3兀+4，一3=0,
x+3=0x=-3/、
由[3v+4y_3=o,可得]v=3'所以直线恒过定点（一3,3）‘故选项A不正确：
对于选项B：
圆心（0,0）到直线l+迈=0的距离等于1,圆的半径厂=2,
平行于/:
x-y+V2=0且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,故选项B正确；
对于选项C：
由G••疋+），2+2尤=0,可得（x+l）2+/=l.圆心G（—l,0）,厶=1,
由C2:
x2+.y2-4.r-8.y+w=0,可得（x—2『+（y—4『=20—加>0,
圆心Cj（2,4）,r2=J20-,
由题意可得两圆相外切，所以|C|C2|=t]+5，
即J（_i_2『+42=]+V^77,解得加=4,故选项C正确；
对于选项D：
设点P坐标为（加,〃），所以斗+£=1,即加+2“=4,
因为PA、分别为过点P所作的圆的两条切线，所以C4丄PA,CB丄PB,
所以点A,B（£以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为
整理可得X2+y2-曲•一与=0,与已知圆C：
F+y2=4相减可得HTX+HV=4,
消去加，可得（4一2n）x+ny=4,即n（y-2x）+4x-4=0f
所以直线A3经过左点（1,2）,故选项D正确，
故选BCD・
10.【答案】ACD
【解析】对于A选项，若a>B.则a>b9则2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB,
故A选项正确：
对于B选项，由A+B于是cosA>-cos即cosA+cosB>0,故B选项错误：
对于C选项，由sinA此时：
若°C勞则尹＞3,则+弓于是C＞》若A>-9则cosA-—B,
22）2
于是A>-+B.故C选项正确：
2
对于D选项，由C>-,则A+B<-9则0vAvZ—BvZ,y=sinx在|0,,递增,
2222I2丿
即0此时,sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB>sinA•sinA+sinB•sinB
=sin2A+sin2B,
所以D选项正确，
故选ACD.
H.【答案】AD
【解析】对A,因为A地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于2+5=7.故A正确；
对B,若B地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误：
对C,若C地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,
但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误：
对D,利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，贝I］方差大于—x（8-2）~=3.6＞3,
与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确，
故选AD.
12.【答案】BCD
【解析】由/（Q函数解析式可得图象如下：
•••由图知：
為+兀=一2,-2而f（X3）=f（X4），知Hog2兀1=1log?
X4\:
log.X3+log.X4=0,
:
.x3x4=1,x}x2x3x4=xrv2=-（X,+1）2+1e（0,1）,
故选BCD.
第II卷
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.【答案】1
【解析】由题意知，C的半焦距c=眉,许（—厲,0）,&（“,0）,
+32=2打一2.
4+77）「+32=2+2“，=』4_用
设竹的角平分线与x轴交于N（x,0）,
【解析】因为/（0=丄疋一丄F+3x—斗，所以ff（x）=x2-x+3,厂（x）=2x—l,3212
由厂（x）=0,即2x—1=0,解得x=-,
2
故答案为2018.
15.【答案】®@
【解析】•••/（X）=cos2x->/3sin2x=2cos（2x+—）,故①.正确:
当x=^时，），=/（春）=2cos|=0,故②错误：
因为函数y=2sin2x的图象向右平移兰个单位长度得到y=2sin2（x-—=2sin（2x-©,
663
而2sin（2x-—）2cos（2x+—）,故③错误：
由/（%）<>/3可得2cos（2x+£）<>/3,解得cos（2x+-）<
TTJT117TTT3tT
所以—+2kii<2x+—<—+2kji、keZ,WW-—+lai故④正确，
故答案为①④.
16.【答案】2>/6
【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则AB丄CD,。
为正方体的中心,设M,N分别是AB,CD的中点，则0是MN的中点，MN丄AB，MN丄CD，连接EN,设EN的中点为S,连接QS、SP、PQ,
因为QS是ZW/E的中位线，所以QS//MEtQS=-ME9
2
同理SP//NF,SP=、NF,
2
因为AB丄CD.所以A/E丄NF.所以0S丄SP,即ZQSP=90。
，
则QS2+SP2=t（ME2+NF?
）=PQ》=2,所以ME2+7VF2=8,
因为MN丄ME,所以NE2=MN2+ME2=\6+ME2>
因为NF丄ME,NF,MNp|ME=M,所以NF丄平而MNE,所以NF丄NE,
在RtZXNEF中，EF=JnF'+NE2=JnF+加+16=2“，
故答案为2>/6.
四、解答题：
本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】⑴由正弦定理得…占二丐
vBg（O,71）
<2）由余弦左理得=a2+c2-2ciccosB=（6/+c）'-lac+ac=（a+c）^-ac=9，
18.【答案】
（1）证明见解析；
（2）班.
5
【解析】
（1）证明:
vZBCC=-fBC=1,CC\=2,3
・•・由余弦立理可知BG=qBC，+CCf-2BC・CG=J亍，
・・.EC2+BCf=CCf,/.BC丄BC、,
•/AB丄侧而BB、C\C,且BCu而BB©C,..AB丄BC,又\ABC\BC}=B9AB、BC\u平而ABC\,・・・BC丄平而ABC.
（2）由
（1）知，以B为坐标原点，BC•为x轴，
BC】为），轴，BA为z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
设平而AEB］的法向量为〃=（x,y,z）,由
〃•码=0\）
则4（0,0,2）,C（l,0,0）,C,（0,73,0）,E|,^,0,
同理，设平而人£目的法向量为加=（心儿可），EA}=-
m・EA.=0（l\
亦丽』得心皿6
由题意二面角A-B.E-A,是锐二而角，故二而角A-B.E-A,的余弦值为辻.
19-【答案】⑴i岁每天魔方还原的平均速度『约为13秒;⑵分布列见解析，£
99+99+45+32+30+24+21
7
所以a=亍一施=50—100x0.37=13,
IAn
因此y关于x的回归方程为$=13+——,所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒.
（2）由题意，可得随机变量X的取值为3,4,6,9,
可得P（X=3）=2Ll=1,p（x=4）=乂锂=?
6x696x69
心=6）」：
（1+民）+空=竺丄p（x=9）=曲显,
6x63696x69
所以X的分布列为：
X
3
4
6
9
P
1
9
2
9
5
9
1
9
所以E（X）=3xl+4x-+6x-+9xl=—.
99999
2
20.【答案】
（1）—+/=1：
（2）证明见解析.
2・
【解析】
（1）因为椭圆的上、下顶点分别为人3,点P（l,2）,
的而积S△朋p=1,
所以SgBP=x2Z?
=1,基底b=1,
又因为椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点仟的最短距离为血_1,设M（x,y）是椭圆上任意一点，F（—c,0）,贝'JMF2=（x+c）2+y2=^x2+2cx+a2,对称轴x=-—<-a,所以在区间上递增，
则x=-a时，MFmin=a-c,即a_c=V?
_l，
又a2=b2+c2>解得a=y/2»
2
所以椭圆方程为—+y2=\.
2•
（2）设PC2）,由题意得，宜线用，PB的斜率存在,
•13
设/出：
y=-x+l,lPB:
y=-x-\,
y=^x+\
4fr-2
—+=1
2・
3〔
y=_x_1
八+2/+2丿・
—+y2**=1
12・
'⑵18_厂
J12+18^2+18丿'
18-r2r-2
F-2
所以〔MN:
y_/2+°
Z+18
r+2
12/
4/
r+\s^r+2
4r
x+—
升级会员 