中考数学平移与旋转练习.docx
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中考数学平移与旋转练习
中考数学平移与旋转练习
课标要求
1、通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本特征，理解对应点连线平行且相等的性质。
2、能按要求作出简单的平面图形平移后的图形。
3、通过具体实例认识旋转变换，探索它的基本特征，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
4、认识旋转对称图形，并能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形。
5、通过具体实例认识中心对称，探索并理解它的基本性质，理解中心对称图形和旋转对称图形的关系，会判断中心对称图形。
6、掌握“关于某点成中心对称”的图形的画法。
7、灵活运用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏这些图形的变换在现实生活中的应用。
中招考点
1、在现实情境中体验图形的平移、旋转现象，通过生活中平移、旋转现象，理解平移、旋转的意义。
2、图形在平移、旋转变换过程中有关点、线段、角的位置变化及线段的长度、角的大小以及图形的形状和大小的不变性（两种变换的特征）
3、能识别现实生活中的旋转对称图形和中心对称图形。
4、会画平面图形经过平移和旋转后的图形，会画平面图形关于某点中心对称的图形。
5、能利用图形的平移和旋转的特征来识别有关线段、角的相等关系和图形的形状，能利用图形的平移、旋转变换思想解决有关几何问题。
6、根据对旋转对称图形和中心对称图形的理解，联系生活实际，设计一些令人赏心悦目的旋转对称图案或中心对称图案，不断提高设计能力和创新能力。
典型例题
P
M
F
QR
N
GE
图11-1
［例1］如图11-1，△PQR平移后得到△EFG
1请你在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应线段和对应点；
2若点M、N分别是边PQ、FG的中心，则点M与点N间的距离为多少？
线段RM与EN是否相等？
∠MRP与∠NEF呢？
分析：
通过观察可知：
点P与点F、点R与E、点Q与点G是三对对应点。
因此点P到点F的方向即为平移的方向，连结PF，线段PF的长就是平移的距离。
点M与点N是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，∠MRP与∠NEF是一对对应角。
解:
①点P到点F的方向即为平移的方向，平移的距离是线段PF的长度，量得约为2.5cm，对应线段是PQ与FG，PR与EF、QR与GE，对应点是点P与点F，点Q与点G，点R与点E。
②因为线段PQ与FG是一对对应线段，所以它们（对应的线段）的中点M与N也是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，点M与点N间的距离为平移的距离，均为2.5cm，线段RM与EN相等，∠MRP与∠NEF相等。
评注:
①图形的移动方向和距离问题归结为图形上某一个点的移动方向和距离；
②找出移动前后的对应点，才能判断线段或角相等与否。
［例2］如图11-2△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
B
D
M
AC
E
图11-2
①旋转中心是哪一点？
②旋转了多少度？
3若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
分析：
把握图形旋转的定义，图形的旋转由旋转中心和旋转角度两个因素决定，其中旋转中心在旋转过程中保持不动。
解：
①旋转中心为：
点A；
1旋转的角度为：
∠BAC=600；
2点M在线段AC的中点上。
评注:
①找出图形旋转前后对应点，旋转角为任何一对对应点与旋转中心的夹角。
②会在特殊图形中找出特殊角为旋转角。
［例3］如图11-3所示，在△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
①若平移的距离为3，则△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为多少？
②若平移的距离为x（0≤x≤4），△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？
AA1
D
CC1BB1
图11-3
分析:
由于△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，当它沿CB方向平移到△A1B1C1的位置时，图中重叠部分也是等腰直角三角形。
①当平移的距离为3时，则CC1=3，BC1=BC-CC1=4-3=1
S重叠部分=
×1×1=
；
②当平移的距离为x（0≤x≤4），BC1=BC-CC1=4-x。
解:
由分析可知：
在平移过程中，重叠部分△BC1D始终是等腰直角三角形。
所以
1当平移的距离为3时，即CC1=3，C1B=CB-CC1=1
∴S△BC1D=
×1×1=
；
②当平移的距离为x时，即CC1=x，则C1B=CB-CC1=4-x，
∴S△BC1D=y=
×（4-x）
=
（4-x）
评注:
根据图形的平移，挖掘图中对应线段，对应角间的关系，如此题中的重叠部分是等腰直角三角形，其面积的大小随平移的距离x（0≤x≤4）的变化而变化。
且y=
（4-x）2
［例4］如图11-4在Rt△ACB中，四边形DECF为正方形，请回答下列问题：
1请简述图⑴经过怎样的变换形成图⑵的。
2若AD=3，BD=4，求△ADE与△BDF的面积。
AA
EDD
CFBCA1F B
⑴⑵
图11-4
分析:
⑴由于四边形DECF为正方形，DE=DF，∠EDF=900，因此只要把△ADE绕点D逆时针旋转900，将得到△A1DF；
⑵根据图形的旋转特征可知：
AD=A1D，∠ADE=∠A1DF，而∠ADE+∠FDB=900，因此，∠A1DF+∠FDB=900，即∠A1DB=900，所以在Rt△A1DB中，A1D=3，BD=4，
=
×A1D×BD=6
解:
①由题意可得，把△ADE绕D点逆时针900旋转得△A1DF。
②由图及①知：
S△ADE+S△BDE=S△DA1F+S△BDF=S△A1DB
根据图形的旋转特殊可知：
AD=A1D，∠ADE=∠A1DF，而∠ADE+∠FDB=900，
∴∠A1DF+∠FDB=900。
即∠A1DB=900。
∴在Rt△A1DB中，A1D=AD=3，BD=4
S△A1DB=
AD×BD=6
即△ADE与△BDF面积的和为6。
评注:
①图形的旋转可以使分散的线段或角相对集中。
②利用图形的旋转特征，可以说明图中有关线段或角相等。
进行图形面积的求算，当图形中有相等的线段或相等的角，可利用这些已知条件进行图形的旋转，使分散的线段或角相对集中。
特别是图中有等腰三角形、正方形等较规则的图形时，通常将图中的某三角形旋转600、900或1800。
［例5］请欣赏图11-5中的六个图形，回答下列问题：
①这六幅图形都是____________（填轴对称图形、中心对称图形）；
②旋转对称图形可以看做是其中的一个“基本图形”绕着旋转中心旋转而成；图案⑶的旋转角______个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有_____个可能的取值。
分析:
观察上述六个图形，发现它们都是旋转对称图形。
旋转中心是图形的正中心；图形⑶有十个“基本图形”，则它的旋转角为
的整数倍，即360、720、1080、1440、2160、2520、2880、3240，因此，共有九个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有（n-1）个可能的取值。
［解］①中心对称图形
②9、n-1
评注:
运用由特殊到一般的方法，发现旋转对称图形旋转角的个数，如果旋转对称图形中有n个最基本图形，则它的旋转角有（n-1）种不同的值，并且都是
的整数倍。
［例6］如图11-6所示，已知△ABC，请你试着将△ABC沿着北偏东450方向平移3cm，画出平移后的△A/B/C/。
A
BC
图11-6
分析:
以△ABC一个顶点A作方位图，过程如下：
过A点作两条垂直的线，画射线AP，使AP在北偏东450的方向上，再在射线AP上截取AA/=3cm，点B、点C可以通过平移得到。
QP
A/
A
B/C/
BC
图11-7
解:
如图11-7所示
⑴过A点作方位图（上北、下南、左西、右东）
⑵过点A画∠QAP=450
⑶在射线AP上截取AA/=3cm
⑷依次作平移：
BB/∥AA/，CC/∥AA/得点B/、C/
⑸顺次连接A/B/、B/C/、C/A/，得到△A/B/C/就为所求的三角形。
评注:
本题的关键是先定△ABC的一个顶点建立方位图，确定平移方向，然后再根据平移的特征来进行作图。
C
BA
C/
B/
图11-8
［例7］李明同学正在黑板上画△ABC绕△ABC外一点P旋转450角的旋转图；当他完成C、B两点旋转后的对应点C/、B/时，不小心将旋转中心P擦掉了（如图11-8），没有旋转中心P，李明不知道如何继续画下去，你愿意动脑筋帮李明找到旋转中心P，让他能完成剩下的图形吗？
分析:
这道题目是考查学生逆向思维的能力，学生看起来似乎无从下笔，但实际上还是考查学生对旋转特征的理解。
根据旋转特征，对应点到旋转中心的距离相等，则点C与点C/到旋转中心P的距离相等。
依据线段垂直平分线的性质，P点应在连结CC/的线段垂直平分线上；同理，点P也应在连结BB/的线段的垂直平分线上。
因此，只需作线段CC/、BB/的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心P。
解:
⑴连结CC、BB；
⑵分别画线段CC/、BB/的垂直平分线，则它们的交点就是旋转中心点P。
评注:
理解图形旋转的特征，并用逆向思维的方法来解决问题。
旋转中心实际上就是图形旋转后的各对应点连成的线段的垂直平分线的交点。
［例8］如图11-9，正方形ABCD内一点P，∠PAD=∠PDA=150，连结PB、PC，请问△PBC是等边三角形吗？
为什么？
分析:
本题的关键是要证∠PCD=∠PBA=300，如何用已知条件∠PAD=∠PDA=150，来证∠PBA=300呢？
我们可以设想将△APD绕点D逆时针方向旋转900。
从而使A与C重合，若CQ恰好平分∠PCD，问题就可以迎刃而解了。
AD
PP/
Q
BC
图11-9
解:
将△APD绕点D逆时针旋转900得△DP/C的轴对称图形△DQC，△CQD与△ADP经过对折旋转能重合。
因为PD=QD，所以∠PDQ=900-150-150=600
得△PDQ为等边三角形，故∠PQD=600
又∠DQC=∠APD=1800-150-150=1500
∴∠PQC=3600-600-1500=1500=∠DQC
又PQ=DQ=CQ。
所以∠PCQ=∠DCQ=150
从而∠PCD=300。
同理可证∠PBA=300
∴∠PCB=∠PBC=600∴△PBC是等边三角形。
评注:
在正方形中，利用各边都相等可绕顶点900旋转后与两邻边重合，构造新的图形，这是解决正方形问题的常用方法。
［例9］如图11-10，点A、B为河塘两岸边的两座村庄，为了测量两村之间的距离（要求不经过河塘），请你想一想，能否用平移、旋转的知识来解决这个问题？
［分析］这是道探究性问题，较灵活，有多种解法，这里仅介绍两种解法。
AB
图11-10
解:
方法一：
如图11-11①，先将点A沿着适当的方向平移适当的距离到点A/处，然后又将点B沿着同样的方向（保证AA/∥BB/）平移相同的距离（保证BB1=AA1到点B/处）这即是将线段AB平移到线段A/B/的位置（把不能测量的位置转化到能测量的位置）。
根据平移的特征A/B/=AB，所以量出A/、B/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，也就是两个村庄间的距离。
AB
A/B/
图11-11①
方法二：
如图11-11②，在河塘岸边适当的位置取一点C，连接AC、BC（保持AC、BC不经过河塘），分别将AC、BC延长到点A/、B/，使A/C=AC，B/C=BC；这样就是把△ABC绕点C旋转1800到△A/B/C的位置，也就是将线段AB旋转到线段A/B/的位置。
根据旋转的特征有A/B/=AB，所以测出A/、B/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，即可知道两村庄间的距离。
AB
C
A/B/
图11-11②
评注:
本题的关键就是根据平移、旋转的数学思想把图形从一个位置平移或旋转到另一个位置（实际问题中就是把不能测量的点的位置通过平移或旋转的方法转化到能够测量的点的位置）。
由图形在平移、旋转过程中保持对应线段相等的特征来达到解决问题的目的。
通过对本题解答过程的理解，同学们的思维有两处需要延伸：
①在解决有关实际问题时，首先要建立几何模型，即如何把实际生活中的问题转化到几何问题上来，这种数学解题思想要认真体会。
②在建立有关几何模型之前，要创造必要的条件，如本题先要创造符合平移、旋转的条件，在解决实际问题时要有理论依据，不能想当然，但解题时也不能墨守成规，要敢于创新。
［例10］把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起，如图11-12①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。
现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转 （旋转角α满足条件0＜α＜900），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图11-12②）
⑴ 在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？
四边形 CHGK的面积有何变化？
证明你发现的结论；
⑵ 连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y。
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶ 在⑵的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的
，若存在，求出此时x的值；若不在在，说明理由。
A
G（O）
C B
E F
图11-12①
分析:
由题意及旋转的特征可知：
旋转角α不变，所以∠BGH＝∠CGK是解题的关键，然后利用直角三角形斜边上中线的性质，易得BG＝CG，从而可证：
△GBH≌△GCK。
从而可知BH＝CK，而且S△GBH＝S△GCK，所以在旋转过程中，四边形GHCK的面积没有变化，第一问得到解答。
第⑵、⑶问也就易解决，注意利用面积关系建立函数关系式。
在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变。
解:
⑴证明：
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为斜边的中点
∴ CG＝BG，CG⊥AB
∴ ∠ACG＝∠B＝450
又∵∠BGH与∠CGK均为旋转角。
A
E K G（O）
α
B
C H
F
图11-12②
∴ ∠BGH＝∠CGK
∴ △BGH≌△CGK（ASA）
∴ BH＝CK，S△BGH＝S△CGK
∴S四边形CHGK＝S△CHG+S△CGK＝S△CHG+S△BGH＝
S△ABC
＝
×
×4×4＝4
即四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化。
⑵∵AC＝BC＝4，BH＝x
∴ CH＝4-x，CK＝x.
∴S△GKH＝S四边形CHGK-S△CHK
即y=4-
x·（4-x）
∴y=
x2-2x+4
∵00＜α＜900
∴0＜x＜4
⑶存在
根据题意得：
x2-2x+4＝
×8
即x2-2x+
＝0
∴有x2-4x+3＝0
解之得x1=1，x2=3
故当x＝1或x＝3时△GHK的面积均等于△ABC面积的
。
评注:
此题是一道几何和代数的综合题，题目背景比较复杂，需要认真读题。
理清题中的数量关系，然后抓着在旋转过程中旋转角∠BGH＝∠CGK是关键，然后可证两个阴影的三角形全等。
第一问是整个题目的核心，第一问会做了，第二问第三问无非是把函数知识，一元二次方程的解法在题目中的体现。
强化训练
D A
N M
E F B C
图11-13
一、填空题：
⒈平移是由＿＿＿＿＿＿＿＿所决定的。
⒉ 如图11-13所示，△ABC是由△DEF经过平移得到的，若AD＝6cm,则BE=______,CF＝＿＿＿＿，若M、N分别为AB、DE的中点，则MN＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
A D
B M C N
图11-14
⒊ 如图11-14所示，四边形ABCD中，AD∥BC，DM∥AB交BC于M，DN∥AC交BC延长线于N，线段AD沿着＿＿＿的方向平移到BM，平移的距离是＿＿＿＿＿＿；线段AB沿着＿＿＿的方向平移到DM，平移的距离为＿＿＿＿；△ABC沿着＿＿＿方向平移到△DMN，平移距离为＿＿＿＿＿。
A D
B CEF
图11-15
⒋ 如图11-15，将△ABC沿BC方向平移3cm得△DEF，若∠B＝450，∠A＝500，则∠F＝＿＿＿，BE＝______=_______cm
⒌正方形至少旋转＿＿度能与自身重合，正六边形至少旋转＿＿度能与自身重合。
正八边形至少旋转＿＿度能与自身重合，
⒍ 成中心对称的两个图形，连结对称点的线段都经过＿＿，并被______平分。
DC
AEB
图11-17
D
E
AB
C
图11-16
⒎ 如图11-16，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是＿＿＿＿＿，旋转了＿＿＿度？
⒏钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是＿＿＿，经过20分钟，分针旋转＿＿度。
⒐ 如图11-17，在梯形ABCD中，AB∥CD，将BC沿CD方向平移6cm至ED，
△AED的周长为28cm，则梯形ABCD的周长为＿＿＿＿cm.
AED
BFGC
图11-18
⒑已知梯形的两底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰长a的取值范围是＿＿＿＿＿；若a为奇数，则此时梯形为＿＿＿＿梯形。
⒒如图11-18，四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为＿＿＿＿＿三角形。
若AD＝2cm，BC＝8cm，则FG＝＿＿＿cm。
若AB＝8cm，DC＝6cm，则FG＝＿＿＿cm.
图11-19
⒓如图11-19，一个矩形中有两个面积分别为9cm2和4cm2的正方形，则阴影部分面积为＿＿＿。
C
AB
O
OD
图11-21
⒔、如图11-20：
△OAC经旋转后与△OBD重合，则旋转中心是____________，旋转角是___________，若OC=3cm，则旋转过程中，点C所经过的路线长为_____________。
A
D
CO
图11-20B
AD
E
BC
F
图11-22
⒕、将两直角三角尺的直角顶点重合为如图11-21所示的形状，若∠AOD=127°，
则∠BOC=__________。
⒖、如图11-22，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°BE=3cm，
△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，△BEF是__________三角形，∠BFC=________度，BF=_________cm。
C E
A B D
图11-23
二、选择题：
⒈如图11-23所示，要由等边△ABC得到等边△BDE，下列说法中正确的是（）
A.仅能由平移得到B.仅能由旋转得到
C.既能由平移得到，又能由旋转得到D.平移，旋转都不能得到
A. B. C.D.
⒉如图所示，其中某图形中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后所形成的，这个图形是（）。
⒊在26个大写英文字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A.3个B.4个C.5个D.6个
⒋下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A.等边三角形B.平行四边形C.等腰梯形D.圆
⒌要使正十边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转（）
A.9°B.18°C.36°D.72°
⒍你玩过扑克牌吗？
你仔细观察过每张扑克牌中的图案吗？
请你指出图案是中心对称图形的一组为（）。
A.黑桃6与黑桃9B.红桃6与红桃9C.梅花6与梅花9D.方块6与方块9
ED
A
BC
图11-24
三、解答下列各题：
1、如图11-24，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，
∠CAD=∠EAB=90°，
∠BAC=30°，若△EAC旋转后能与△BAD重合，问：
①旋转中心是哪一点？
②旋转了多少度？
3若EC=10cm，求BD的长。
2、画图题：
（写画法，保留画图的痕迹）
① 如图11-25，画出△ABC绕AB中点O逆时针旋转90°后的三角形。
② 如图11-26，已知四边形ABCD和图形外一点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形。
CA
O
O
B
图11-25
AD
O
B
C
图11-26
E
B
A C F
图11-27
3、已知：
EC⊥AF，EC=3cm.
① 试说出△EFC怎样由△ABC变换得到，并计算此变换过程中点A运动的最短长度。
② 请你发挥想象：
AB、EF有什么样的数量和位置关系？
4、如图，已知等边△ABC和等边△DBC有公共的底边BC，
①以图11-28-①中的某个点为旋转中心旋转△DBC，就能使△DBC与△ABC重合，则满足题意的点为__________________________；（写出所有的这种点）。
②如图11-28-②，已知B1是BC的中点，现沿着由点B到B1的方向，将△DBC平移到△D1B1C1的位置，请你判断：
得到的四边形ABD1C1是平行四边形吗？
说明你的理由。
A
B CC1
D1
图11-28-③
A
B C
D
图11-28-①
A
BB1 CC1
DD1
图11-28-②
5、如图11-29，已知线段AD与AB交于点A
APQD
B
图11-29
①画出线段AB沿PQ方向平移AD长度，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C。
2平移后得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
__________请说明理由。
③连结AC、BD两条对角线交于点O，且AC⊥BD，AB=5，求四边形ABCD的周长。
④在四边形ABCD中，有没有成中心对称关系的三角形？
有的话，请直接写出来。
________________________________________________。
MDMM
CC C
EENDE
AB
A BBA B
ED
①②NN③
图11-30
6、如图11-30，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
⑴ 当直线MN绕点C旋转到图11-30-①的位置时，
求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
⑵ 当直线MN绕点C旋转到图11-30-②的位置时，求证：
DE=AD-BE；
⑶ 当直线MN绕点C旋转到图11-30-③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明。
第22部分《平移与旋转》综合测试题A
CF
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