长方体和正方体知识点+例题+习题.docx
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长方体和正方体知识点+例题+习题
第1节长方体和正方体的认识
典型例题
例1．一个长方体长8厘米，宽6厘米，高4厘米，它的棱长总和是多少厘米？
分析：
根据长方体的特征，它相对的棱（3组，每组4条）的长度相等，那么长方体的棱长和等于长、宽、高的4倍．
解：
（8＋6＋4）×4
＝18×4
＝72（厘米）
答：
它的棱长总和是72厘米．
例2．用一根48厘米的铁丝焊接成一个最大的正方体框架，这个框架的每条边应该是多少厘米？
分析：
根据正方体的特征，它的12条棱长都相等，把48厘米平均分成12份，每份就是一条棱的长度．
解：
48÷12＝4（厘米）
答：
这个框架的每条边应该是4厘米．
例3．用棱长1厘米的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？
分析：
题目要求至少要多少个棱长为1厘米的小正方体，那么拼成的棱长应尽量小，所以应该考虑棱长为2的立方体，体积是8立方厘米，所以要8个．
解：
2×2×2＝8（个）
答：
至少需要8个小正方体．
例4．将下面的硬纸板按照虚线折成一个立方体，哪个面与哪个面相对？
分析：
通过实验可以看到带有标号的面7与10，面8与11，面9与12是相对的面．
例5．一个正方体的六个面上，分别写着“1”“2”“3”“4”“5”“6”．根据下面摆放的三种情况，判断出每个对面上的数字是几？
分析：
正方体有6个面，每一个面有一个相对的面，而与其余四个面相邻．解题时我们如果抓住这一特征，确定某一个面与哪四个面相邻，于是就不难判断出这一面相对的面上的数字是几了．即排除包括自己在内的五个数字，剩下的就是与某一面相对的面上数字了．
先以“3”为例：
从上面左图可以看出，“3”面与“2”面、“1”面相邻；从中图可以看出．“3”面又与“4”面、“5”面相邻．这就是说，“3”面与“1”面、“2”面、“4”面和“5”面这四个面相邻．那么，就可以很快知道，“3”面与“6”面相对．
再来看“1”面：
从上面左图可看出，“1”面与“2”面“3”面相邻；从右图可看出，“1”面又与“6”面“4”面相邻，这就是说，与“1”相邻的四个面，是“2”面、“3”面、“4”面和“6”面，那么，与“1”面相对的面就只能是“5”面了．
最后看“4”面：
从上面中图可以看出，“4”面与“3”面、“5”面相邻；从右图可以看出，“4”面又与“1”面“6”面相邻．这就是说，与“4”面相邻的四个面，是“1”面、“3”面、“5”面和“6”面，于是可知，与“4”面相对是面是“2”面．
所以题目的结论是：
这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面．
解：
这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面．
习题精选
一、填空．
1．长方体有（ ）个面，它们一般都是（ ）形，也可能有（ ）个面是正方形．
2．长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都叫做（ ），它们的面积（ ）．
3．长方体的12条棱，每相对的（ ）条棱算作一组，12条棱可以分成（ ）组．
4．正方体有（ ）个面，每个面都是（ ）形，面积都（ ）．
5．一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长总和是（ ）．
6．一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（ ）分米．
7．一个长方体的棱长总和是80厘米，其中长是10厘米，宽是7厘米，高是（）厘米．
8．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米．
二、判断题．
1．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．（ ）
2．长方体的6个面不可能有正方形．（ ）
3．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条．（ ）
4．正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等．（ ）
5．长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等．（ ）
6．一个长方体长12厘米，宽8厘米，高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米．（ ）
三、选择题．
1．下列物体中，形状不是长方体的是（ ）
①火柴盒②红砖 ③茶杯 ④木箱
2．长方体的12条棱中，高有（ ）条．
①4 ②6 ③8 ④12
3．下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）
4．把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（）平方分米．
①18 ②9 ③36 ④以上答案都不对
参考答案
一、填空．
1．6长方形 2
2．相对面 相等
3．4 3
4．6正方形 相等
5．72厘米
6．14.8
7．3
8．16
二、判断题．
1．√ 2．× 3．√ 4．√ 5．√ 6．×
三、选择题．
1．③
2．①
3．①和③
4．①
第2节长方体和正方体的表面积
例1．一种有盖的长方体铁皮盒，长8厘米，宽5厘米，高3厘米．做25个这样的盒子至少需要多少平方米铁皮？
（不计接口面积）
分析：
根据长方体表面积的计算方法，先求出一个盒子需要的铁皮数量，然后就可以求出25个这样的盒子需要的铁皮数量．
解：
（8×5＋8×3＋5×3）×2×25＝158×25
＝3950（平方厘米）
＝0.395（平方米）
答：
至少需要0.395平方米的铁皮．
例2．一个长方体，表面积是456平方厘米，它的底面是一个边长为4厘米的正方形，它的高是多少厘米？
分析：
题目中给出这个长方体底面是一个边长为4厘米的正方形，说明这个长方体是有两个相对的面是正方形的，其余4个面是面积相等的长方形，只要我们求出一个长方形面的面积，再用面积除以底面的边长，就算出了长方体的高了．这也是利用长方体的特征，逆解题目．
解：
456－4×4×2＝424（平方厘米）
424÷4＝106（平方厘米）
106÷4＝26.5（厘米）
答：
它的高是26.5厘米．
例3．一个教室长8米，宽6米，高3.5米，要粉刷教室的墙壁和天花板．门窗和黑板的面积是22平方米，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克？
分析：
求需要涂料多少千克，必须先求出实际粉刷的面积．长方体的表面积去掉门窗、黑板和地面的面积就是实际粉刷的面积．
解：
（1）粉刷的面积为：
（8×6＋8×3.5＋6×3.5）×2－8×6－22
＝（48＋28＋21）×2－48－22
＝97×2－48－22
＝194－48－22
＝124（平方米）
（2）需要涂料的重量为：
0.25×124＝31（千克）
答：
粉刷这个教室共需要涂料31千克．
例4．将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体，两个长方体表面积的总和最多是多少平方厘米？
最少是多少平方厘米？
分析：
切割长方体一次，原来的表面积增加两个面的面积，要使切开后的两个长方体表面积的总和最多（少），必须使横截面的面积最大（小）．
解：
（12×9＋12×5＋9×5）×2＋12×9×2
＝（108＋60＋45）×2＋216
＝213×2＋216
＝642（平方厘米）
（12×9＋12×5＋9×5）×2＋9×5×2
＝（108＋60＋45）×2＋90
＝213×2＋90
＝516（平方厘米）
答：
两个长方体表面积的总和最多是642平方厘米，最少是516平方厘米．
例5．一个正方体，棱长的总和是96厘米．这个正方体的表面积是多少？
分析：
因为正方体的12根棱长都相等，所以可知，这个正方体的棱长是96÷12＝8（厘米）．
又由于正方体有相等的6个面，每个都是正方形．
解：
8×8×6＝384（平方厘米）
答：
这个正方体的表面积是384平方厘米．
例6．做两个同样的正方体纸盒，一个有盖一个无盖，有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的多少倍？
分析：
有盖纸盒的表面积是它的一个面面积的6倍，无盖纸盒的表面积是它的一个面面积的5倍，而两个同样的正方体纸盒的面的面积是相等的，所以有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的6÷5＝1.2倍．
解：
6÷5＝1.2
答：
有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的1.2倍．
习题精选
一、填空题
1．
（1）下图上、下每个面的长（）厘米，宽（）厘米，面积是（）；
（2）前、后每个面的长是（）厘米，宽是（）厘米，面积是（）；
（3）左、右每个面的长是（）厘米，宽是（）厘米，面积是（）．
（4）它的表面积是（）．
2．
（1）下图中上面的面积是（），前面的面积是（），右面的面积是（）；
（2）计算它的表面积的算式是（）．
二、计算题
求下面各长方体的表面积：
1．长6米，宽3米，高2米．
2．长8分米，宽4.5分米，高2分米．
3．长和宽都是6厘米，高3.4厘米．
三、应用题
1．做一个长方体的纸箱，长0.8米，宽0.6米，高0.4米．做这个纸箱至少需要纸板多少平方米？
2．一个正方体的木箱，棱长5分米，在它的表面涂漆，涂漆的面积是多少？
如果每平方分米用漆8克，涂这个木箱要用漆多少克？
合多少千克？
3．一个长方体的铁皮盒，长25厘米，宽20厘米，高8厘米．做这个铁皮盒至少要用多少平方厘米铁皮？
参考答案
一、1．
（1）下图上、下每个面的长（9）厘米，宽（3）厘米，面积是（27平方厘米）；
（2）前、后每个面的长是（9）厘米，宽是（4）厘米，面积是（36平方厘米）；
（3）左、右每个面的长是（4）厘米，宽是（3）厘米，面积是（12平方厘米）．
（4）它的表面积是：
9×3＋9×4＋4×3）×2＝150（平方厘米）．
2．
（1）下图中上面的面积是（36平方分米），前面的面积是（48平方分米），右面的面积是（48平方分米）；
（2）计算它的表面积的算式是：
6×6×2＋6×8×4＝264（平方分米）．
二、1．（6×3＋6×2＋3×2）×2＝72（平方米）
2．（8×4.5＋8×2＋4.5×2）×2＝122（平方分米）
3．6×6×2＋6×3.4×4＝153.6（平方厘米）
三、1．（0.8×0.6＋0.8×0.4＋0.6×0.4）×2＝2.08（平方米）
答：
至少需要纸板2.08平方米．
2．5×5×6＝150（平方分米）
答：
涂漆的面积是150平方分米．
8×150＝1200（克）＝1.2（千克）
答：
要用漆1200克，合1.2千克．
3．（25×20＋25×8＋20×8）×2＝1720（平方厘米）
答：
至少要用1720平方厘米铁皮．
第3节长方体和正方体的体积
（一）
典型例题
例1．把一个棱长6分米的正方体钢坯，锻造成一个宽3分米，高2分米的长方体钢件，这个钢件长多少分米？
分析：
把正方体钢坯锻造成长方体钢件，形状改变了，但是体积没有改变，即正方体的体积和长方体的体积相等．已知长方体的宽和高，用体积除以宽，要再除以高，就可以求出长．
解：
6×6×6÷3÷2
＝216÷3÷2
＝36（分米）
答：
这个钢件的长是36分米．
例2．一个正方体的铁皮油箱，从里面量得棱长为6分米，里面装满汽油．如果把这箱汽油全部倒入一个长10分米、宽8分米、高5分米的长方体铁皮油箱中，那么，油面离箱口还有多少分米？
分析：
根据题意，可先求得正方体铁皮油箱的汽油体积为：
6×6×6＝216（立方分米）
而长方体油箱底面积是10×8＝80（平方分米），
所以，汽油在长方体铁皮油箱里的高度是216÷80＝2.7（分米）．
因此，油面离油箱口的高度就是：
5－2.7＝2.3（分米）
答：
油面离油箱口还有2.3分米．
例3．一段方钢长3米，横截面是一个边长为0.4分米的正方形．如果1立方分米的钢重7.8千克，那么这段方钢有多重？
分析：
题目中的长度单位不统一，为计算的方便，可都化成以分米为单位来进行计算．
解：
3米＝30分米
0.4×0.4×30＝4.8（立方分米）
7.8×4.8＝37.44（千克）
答：
这段方钢的重量是37.44千克．
例4．有沙土12立方米，要铺在长5米，宽4米的房间里，可以铺多厚？
分析：
此题要把12立方米的沙土铺在房间里，也就是铺成一个长5米、宽4米、厚
米的长方体，我们就可以用方程法求出所求问题了．这题是一道利用体积计算公式逆解的题．遇到此类题用方程法解即可．
解：
设可铺
米厚．
4×5×
＝12
＝0.6
答：
可以铺0.6米厚．
例5．一个长方体的底面长6厘米，长是宽的1.2倍，宽比高少0.5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
分析：
这道题要求的是长方体的体积，求体积就必须知道长方形的长、宽、高．此题只直接给出了长，宽和高是间接给出的，因此应先用求一倍量的方法求出宽，再根据“求比一个数多几的数是多少”的题型算出高，最后用公式V＝abh算出体积就可以了．
解：
6÷1.2＝5（厘米）
5＋0.5＝5.5（厘米）
6×5×5.5＝165（平方厘米）
答：
这个长方体的体积是165平方厘米．
例6．在长为12厘米、宽为10厘米、8厘米深的玻璃缸中放入一石块并没入水中，这时水面上升2厘米．石块的体积是多少？
分析：
把石块浸没在装水的长方体玻璃缸中，石块占有一定的空间，从而使水的体积增大，它的具体表现就是水面上升，不管石块的形状如何，只要求出增加的体积就可以了（即石块的体积）．
解：
12×10×2＝240（立方厘米）
答：
石块的体积是240立方厘米．
例7．把棱长6厘米的正方体铁块锻造成宽和高都是4厘米的长方体铁条，能锻造出多长？
分析：
我们不难看出，棱长6厘米的正方体和要锻造的长方体的体积相等，只不过形状不一样，这类题叫等积变形题．只要求出正方体的体积就是长方体的体积了．
解：
6×6×6÷4÷4＝13.5（厘米）
答：
能锻造13.5厘米长．
习题精选
一、填空题
1．物体所占空间的大小叫做物体的（）．
2．计量体积要用（）单位，常用的体积单位有（）（）和（）．
3．棱长1厘米的正方体体积是（），棱长1分米的正方体体积是（），棱长1米的正方体体积是（）．
4．长方体的体积＝（），正方体的体积＝（）．
5．在括号里填上合适的计量单位．
（1）一本数学解题题典封面的周长是80（），面积是375（），体积是1125（）．
（2）一块橡皮的体积是6（），一只卫生保健箱的体积是30（），一堆钢材的体积是4（）．
二、判断题
1．一块长方体木料，长6分米，宽4分米，厚3分米．容积是72升．（）
2．一个游泳池的容积是1000毫升．（）
3．一个正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大8倍．（）
4．一个长方体的木箱，它的体积和容积一样大．（）
5．一只杯子能装水1升，杯子的容积就是1立方分米．（）
三、计算题
看图计算下面长方体和正方体的体积．
1．
2．
3．
四、应用题
1．一个长方体木箱，长7分米，宽4分米，高3.5分米．这个木箱的体积是多少？
2．一块方砖的厚是5厘米，长和宽都是30厘米．求这块方砖的体积．
3．一块正方体石料，棱长是0.8米．这块石料的体积是多少立方分米？
五、提高题
1．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的．这个拼摆而成的形体的表面积是多少平方厘米？
体积是多少立方厘米？
至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个正方体？
2．一个长方体玻璃容器，长5分米，宽4分米，高6分米，向容器中倒入30升水，再把一块石头放入水中，这时量得容器内的水深20厘米，石头的体积是多少立方分米？
参考答案
一、1．物体所占空间的大小叫做物体的（体积）．
2．计量体积要用（体积）单位，常用的体积单位有（立方厘米）（立方分米）和（立方米）．
3．棱长1厘米的正方体体积是（1立方厘米），棱长1分米的正方体体积是（1立方分米），棱长1米的正方体体积是（1立方米）．
4．长方体的体积＝（长×宽×高），正方体的体积＝（棱长×棱长×棱长）．
5．在括号里填上合适的计量单位．
（1）一本数学解题题典封面的周长是80（厘米），面积是375（平方厘米），体积是1125（立方厘米）．
（2）一块橡皮的体积是6（立方厘米），一只卫生保健箱的体积是30（立方分米），一堆钢材的体积是4（立方米）．
二、1．一块长方体木料，长6分米，宽4分米，厚3分米．容积是72升．（×）
2．一个游泳池的容积是1000毫升．（×）
3．一个正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大8倍．（√）
4．一个长方体的木箱，它的体积和容积一样大．（×）
5．一只杯子能装水1升，杯子的容积就是1立方分米．（√）
三、1．48×5＝240（立方厘米）
2．0.36×0.6＝0.216（立方米）
3．9×8＝72（立方分米）
四、1．7×4×3.8＝98（立方分米）
答：
这个木箱的体积是98立方分米．
2．30×30×5＝4500（立方厘米）
答：
这块方砖的体积是4500立方厘米．
3．0.8×0.8×0.8＝0.512（立方米）
答：
这块石料的体积是512立方分米．
五、1．（1×1）×48＝48（平方厘米）
（1×1×1）×18＝18（立方厘米）
3×3＝9（个）
答：
表面积是48平方厘米，体积是18立方厘米，至少再摆上9个小正方体就可以拼成一个正方体．
2．5×4×[2－30÷（5×4）]＝10（立方分米）或5×4×2－30＝10（立方分米）
答：
石头的体积是10立方分米．
2-3长方体和正方体的体积
（二）
典型例题
例1．一个长方体沙坑的长是8米，宽是4.2米，深是0.6米，每立方米沙土重1.75吨，填平这个沙坑共要用沙土多少吨？
分析：
已知每立方米沙土重1.75吨，求共要用沙土多少吨，必须先求出共要沙土多少立方米，即先求出沙坑的容积．
解：
1.75×（8×4.2×0.6）
＝1.75×20.16
＝35.28（吨）
答：
共要沙土35.28吨．
例2．长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个货仓可以容纳8立方米的正方体货箱多少个？
分析：
已知正方体货箱的体积是8立方米，可以知道正方体货箱的棱长为2米．货仓的长是50米，所以一排可以摆放50÷2＝25个，宽是30米，可以摆放30÷2＝15排，高是5米，可以摆放5÷2＝2层……1米，所以一共可以摆放25×15×2＝750个．（如图）
解：
50÷2＝25（个）
30÷2＝15（排）
5÷2＝2层……1米
25×15×2＝750（个）
答：
可以容纳8立方米的正方体货箱750个．
说明：
如果此题先计算长方体货仓的体积（50×30×5＝7500立方米），然后再除以立方体的体积8立方米（7500÷8＝937.5个）是不对的．因为货仓的高是5米，立方体的棱长2米，只能摆放2层，上面的1米实际上是空的，没有摆放货箱．
例3．一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形．
（1）这只铁箱的容积是多少升？
（2）如果铁箱内装半箱水，求与水接触的面的面积．
分析：
（1）根据侧面展开后是一个边长为60厘米的正方形，可以得出长方形的底面（正方形）的周长是60厘米，高也是60厘米．由底面（正方形）的周长可以求出底面的面积．从而求出容积．
（2）与水接触的面的面积是原长方体的侧面积的一半加上一个底面积．而侧面积是边长60厘米的正方形的面积，底面积上面已经求出．
解：
（1）
×60
＝225×60
＝13500（立方厘米）
＝13.5（升）
（2）60×60÷2＋
＝1800＋225
＝2025（平方厘米）
答：
这只铁箱的容积是13.5升，如果装半箱水，与水接触的面积是2.25平方厘米．
例4．有一个空的长方体容器
和一个水深24厘米的长方体容器
，将容器
的水倒一部分到
，使两容器水的高度相同，这时两容器相同的水深为几厘米？
分析1：
容器
的底面积是40×30，容器
的底面积是30×20，40×30÷（30×20）＝2，即
的底面积是
的底面积的2倍，
中的水倒一部分到
使
、
两容器水的高度相同，所以这个水深为24÷（2＋1）＝8厘米．
解法1：
24÷[40×30÷（30×20）＋1]
＝24÷3
＝8（厘米）
分析2：
设这个相同的水深为
厘米，则
中倒出的水深为（24－
）厘米，倒出的水为30×20×（24－
）立方厘米，这些水就全部在
中，
中的水有40×30×
立方厘米，故可得方程．
解法2：
设这个相同的水深为
厘米．
40×30×
＝30×20×（24－
）
24－
＝40×30×
÷（30×20）
24－
＝2
3
＝24
＝8
答：
这个相同的水深是8厘米．
例5．一个正方体木头，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖一个长、宽、高都是2厘米的洞孔，这时它的表面积、体积各是多少？
分析：
表面积等于正方体表面积加上6个洞孔的4个面的面积；体积等于正方体的体积减去6个洞孔的体积．
解：
表面积为：
6×6×6＋2×2×4×6
＝216＋96
＝312（平方厘米）
体积为：
6×6×6－2×2×2×6
＝216－48
＝168（立方厘米）
答：
表面积为312平方厘米，体积为168立方厘米．
例6．有一块宽为22厘米的长方形铁皮，在四角上剪去边长为5厘米的正方形后（如图一），将它焊成一个无盖的长方体盒子（如图二），已知这个盒子的体积是2160立方厘米，求原来这块铁皮的面积是多少平方厘米？
分析：
已知盒子的体积是2160立方厘米，高为5厘米，这个盒子的底面积就可以求出，而这个盒子的底面长方形的宽为22－5×2＝12（厘米），所以这底面长方形的长也可以求出．
解：
长方体盒子的长为：
2160÷5÷（22－5×2）
＝432÷12
＝36（厘米）
铁皮的面积为：
（36＋5×2）×22
＝46×22
＝1012（平方厘米）
答：
原来这块铁皮的面积是1012平方厘米．
习题精选
一
一、填空．
1、40立方米＝（）立方分米
4立方分米5立方厘米＝（）立方分米
30立方分米＝（）立方米
0.85升＝（）毫升
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