（2）函数f（x）＝
在定义域上是__________函数．（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
答案：
奇
解析：
当x>1时，－x<－1，所以f（－x）＝（－x）2－2＝－（－x2＋2）＝－f（x）；
当x<－1时，－x>1，所以f（－x）＝－（－x）2＋2＝－（x2－2）＝－f（x）；
当|x|≤1时，f（－x）＝0＝－f（x）．
综上可知f（x）是奇函数．
[典题1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝xlg（x＋
）；
（2）f（x）＝（1－x）
；
（3）f（x）＝
（4）f（x）＝
.
[解]
（1）∵
＞|x|≥0，
∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又f（－x）＝（－x）lg[－x＋
]
＝－xlg（
－x）＝xlg（
＋x）＝f（x）．
即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）当且仅当
≥0时函数有意义，
∴－1≤x＜1，
由于定义域关于原点不对称，
∴函数f（x）是非奇非偶函数．
（3）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝x2－2x－1＝－f（x），
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x2－2x＋1＝－f（x）．
∴f（－x）＝－f（x），即函数是奇函数．
（4）∵
⇒－2≤x≤2且x≠0，
∴函数的定义域关于原点对称．
∴f（x）＝
＝
，
又f（－x）＝
＝－
，
∴f（－x）＝－f（x），即函数是奇函数．
[点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：
①设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]
（1）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
（2）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
考点2 函数的周期性
函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________就叫做f（x）的最小正周期．
答案：
（1）f（x＋T）＝f（x）
（2）最小 最小正数
（1）[教材习题改编]已知函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈（0,1]时，f（x）＝log4（x2＋3），则f（2017）＝__________.
答案：
1
解析：
因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（2017）＝f（1008×2＋1）＝f
（1）＝log4（12＋3）＝1.
（2）[教材习题改编]设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f
＝________.
答案：
－
周期性三个常用结论．
对f（x）定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝__________；
（2）若f（x＋a）＝
，则T＝__________；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝________.
答案：
（1）2|a|
（2）2|a| （3）|a－b|
解析：
（1）因为f（x＋2a）＝f（x＋a＋a）
＝－f（x＋a）＝f（x），
所以其最小正周期T＝2|a|.
（2）因为f（x＋2a）＝f（x＋a＋a）
＝
＝f（x），
所以其最小正周期T＝2|a|.
（3）f（x＋a－b）＝f[（x－b）＋a]
＝f[（x－b）＋b]＝f（x），
所以其最小正周期T＝|a－b|.
[典题2]
（1）[2017·山西晋中模拟]已知f（x）是R上的奇函数，f
（1）＝2，且对任意x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3）成立，则f（2017）＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，
又对任意x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3），
∴当x＝－3时，有f（3）＝f（－3）＋f（3）＝0，
∴f（－3）＝0，f（3）＝0，
∴f（x＋6）＝f（x），周期为6.
故f（2017）＝f
（1）＝2.
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.
①求函数的最小正周期；
②计算f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）．
[解] ①∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．
∴f（x）的最小正周期为4.
②f（0）＝0，f
（1）＝1，f
（2）＝0，
f（3）＝f（－1）＝－f
（1）＝－1.
又∵f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）＝0，
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）＝0.
[题点发散1] 若本例
（2）中条件变为“f（x＋2）＝－
”，求函数f（x）的最小正周期．
解：
∵对任意x∈R，都有f（x＋2）＝－
，
∴f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝－
＝－
＝f（x），∴f（x）的最小正周期为4.
[题点发散2] 若本例
（2）中条件改为：
定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.求f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2015）的值．
解：
∵f（x＋6）＝f（x），∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；
当－1≤x<3时，f（x）＝x.
∴f
（1）＝1，f
（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，
f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，
f（6）＝f（0）＝0，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝1，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝f（7）＋f（8）＋…＋f（12）＝…＝f（2005）＋f（2006）＋…＋f（2010）＝1，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2010）＝1×
＝335.
而f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）＝f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝1＋2－1＋0－1＝1.
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）＝335＋1＝336.
[题点发散3] 在本例
（2）条件下，求f（x）（x∈[2,4]）的解析式．
解：
当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f（－x）＝2×（－x）－（－x）2＝－2x－x2，
又f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.
∴f（x）＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）．
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.
故x∈[2,4]时，f（x）＝x2－6x＋8.
[点石成金] 1.判断函数周期性的两种方法
（1）定义法．
（2）图象法．
2．判断函数周期性的三个常用结论
若对于函数f（x）定义域内的任意一个x都有：
（1）f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
（2）f（x＋a）＝
（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
（3）f（x＋a）＝－
（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
3．函数周期性的重要应用
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.
1.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
答案：
B
解析：
∵f（x）是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f（x）＝x3－x＝x（x－1）（x＋1），
∴当0≤x<2时，f（x）＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f（x）＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；
当4≤x≤6时，f（x）＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f（x）＝0的根．
故函数f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
2．[2017·广东广州模拟]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋2）＝－f（x），当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.
答案：
2.5
解析：
由f（x＋2）＝－f（x），得f（x＋4）＝f（（x＋2）＋2）＝－f（x＋2）＝－[－f（x）]＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，所以f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）＝2.5.
考点3 函数性质的综合应用
（1）[教材习题改编]若f（x）是偶函数且在（0，＋∞）上为增函数，则函数f（x）在（－∞，0）上为________．
答案：
减函数
（2）[教材习题改编]设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）>0的x的取值范围是________．
答案：
（－1,0）∪（1，＋∞）
[考情聚焦] 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
奇偶性的应用
[典题3]
（1）[2017·河北武邑中学高三上期中]已知f（x）满足对∀x∈R，f（－x）＋f（x）＝0，且x≥0时，f（x）＝ex＋m（m为常数），则f（－ln5）的值为（ ）
A．4B．－4
C．6D．－6
[答案] B
[解析] 由题设函数f（x）是奇函数，故f（0）＝e0＋m＝1＋m＝0，即m＝－1，所以f（－ln5）＝－f（ln5）＝－eln5＋1＝－5＋1＝－4，故选B.
（2）设函数f（x）＝
为奇函数，则a＝________.
[答案] －1
[解析] ∵f（x）＝
为奇函数，
∴f
（1）＋f（－1）＝0，
即
＋
＝0，
∴a＝－1.
角度二
函数的奇偶性与单调性相结合问题
[典题4]
（1）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
[答案] A
[解析] 因为π＞3＞2，且当x∈[0，＋∞）时f（x）是增函数，所以f（π）＞f（3）＞f
（2）．
又函数f（x）为R上的偶函数，
所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f
（2），
故f（π）＞f（－3）＞f（－2）．
（2）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，若f（m）≥f（－2），则实数m的取值范围是________．
[答案] （－∞，－2]∪[2，＋∞）
[解析] 函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，
所以f（x）在（－∞，0]上是减函数．
当m＜0时，由f（m）≥f（－2），知m≤－2；
当m≥0时，由f（m）≥f（－2），f（－2）＝f
（2）可得，f（m）≥f
（2），所以m≥2.
故实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[2，＋∞）．
角度三
函数的周期性与奇偶性相结合问题
[典题5]
（1）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f
（1）＜1，f（5）＝
，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－1,4）B．（－2,0）
C．（－1,0）D．（－1,2）
[答案] A
[解析] ∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f
（1），
∵f
（1）＜1，f（5）＝
，
∴
＜1，即
＜0，
解得－1＜a＜4.
（2）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f（x）＝
则f
＋f
＝________.
[答案]
[解析] 由于函数f（x）是周期为4的奇函数，
所以f
＋f
＝f
＋f
＝f
＋f
＝－f
－f
＝－
＋sin
＝
.
角度四
函数的单调性、奇偶性与周期性相结合问题
[典题6]
（1）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）
A．f（－25）B．f（80）C．f（11）D．f（－25）[答案] D
[解析] 因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），
所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）．
由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f
（1）．
因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[－2,2]上是增函数，
所以f（－1）（1），
即f（－25）（2）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f（x－1）＝f（x＋1）成立，当x∈（0,1）且x1≠x2时，有
＜0.给出下列命题：
①f
（1）＝0；
②f（x）在[－2,2]上有5个零点；
③点（2014,0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心；
④直线x＝2014是函数y＝f（x）图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________．
[答案] ①②③
[解析] 令f（x－1）＝f（x＋1）中x＝0，
得f（－1）＝f
（1），
又f（－1）＝－f
（1），∴2f
（1）＝0，
∴f
（1）＝0，故①正确；
由f（x－1）＝f（x＋1），得f（x）＝f（x＋2），
∴f（x）是周期为2的周期函数，
∴f
（2）＝f（0）＝0，又当x∈（0,1）且x1≠x2时，有
＜0，
∴函数在区间（0,1）上单调递减，可作函数的简图如图．
由图知②③也正确，④不正确，所以正确命题的序号为①②③.
[点石成金] 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
[方法技巧] 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
3．函数奇偶性的四个重要结论
（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.
（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类
型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
（4）偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性和相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，但最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
4．周期性的三个常用结论
对f（x）定义域内任一自变量的值x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a.
（2）若f（x＋a）＝
，则T＝2a.
（3）若f（x＋a）＝－
，则T＝2a.（a>0）
5．对称性的三个常用结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，即f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．
（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．
（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，即f（－x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．
[易错防范] 1.f（0）＝0既不是f（x）是奇函数的充分条件，也不是必要条件．
2．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．
真题演练集训
1．[2015·福建卷]下列函数为奇函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝|sinx|
C．y＝cosxD．y＝ex－e－x
答案：
D
解析：
对于D，f（x）＝ex－e－x的定义域为R，f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），故y＝ex－e－x为奇函数．而y＝
的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝
为非奇非偶函数．y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数．
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）g（x）是偶函数
B．|f（x）|g（x）是奇函数
C．f（x）|g（x）|是奇函数
D．|f（x）g（x）|是奇函数
答案：
C
解析：
A：
令h（x）＝f（x）g（x），
则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），
∴h（x）是奇函数，A错．
B：
令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|·g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），
∴h（x）是偶函数，B错．
C：
令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|，∴h（x）是奇函数，C正确．
D：
令h（x）＝|f（x）g（x）|，则h（－x）＝|f（－x）g（－x）|＝|－f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝h（x），∴h（x）是偶函数，D错．
3．[2016·山东卷]已知函数f（x）的定义域为R.当x＜0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x＞
时，f
＝f
，则f（6）＝（ ）
A．－2B．－1
C．0D．2
答案：
D
解析：
由题意可知，当－1≤x≤1时，f（x）为奇函数，且当x>
时，f（x＋1）＝f（x），所以f（6）＝f（5×1＋1）＝f
（1）．而f
（1）＝－f（－1）＝－[（－1）3－1]＝2，所以f（6）＝2.故选D.
4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]若函数f（x）＝xln（x＋
）为偶函数，则a＝________.
答案：
1
解析：
∵f（x）为偶函数，∴f（－x）－f（x）＝0恒成立，∴－xln（－x＋
）－xln（x＋
）＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，
∴lna＝0，即a＝1.
5．[2016·四川卷]已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＋f
（1）＝________.
答案：
－2
解析：
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0.又f（x）＝－f（－x），f（x＋2）＝f（x），所以f（x＋1）＝－f（1－x），
令x＝0，得f
（1）＝－f
（1），所以f
（1）＝0.
f
＝f
＝f
＝－f
＝－2，
所以f
＋f
（1）＝－2.
课外拓展阅读
四招突破抽象函数问题
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手，下面我们从4个不同的方面来探寻一些做题的规律．
1．抽象函数的定义域
抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式（组）进行求解的，另外，还要满足分式的分母不为0、被开方数非负、对数的真数大于0等一些常规的要求．
[典例1] 已知函数y＝f（x）的定义域是[0,8]，则函数g（x）＝
的定义域为________．
[思路分析]
[解析] 要使函数有意义，须使
即
解得1≤x<3，
所以函数g（x）的定义域为[1,3）．
[答案] [1,3）
方法探究
求解复合函数y＝f（g（x））的定义域，常常通过换元设t＝g（x），根据函数y＝f（t）的定义域，得到g（x）的范围，从而解出x的范围．同时，在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，要使函数各部分都有意义．
2．抽象函数的函数值
赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转化解答．
[典例2] 若定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x）>0，f（x＋2）＝
，对任意x∈R恒成立，则f（2015）＝（ ）
A．4B．3
C．2D．1
[思路分析]
[解析] 因为f（x）>0，f（x＋2）＝
，
所以f（x＋4）＝f（（x＋2）＋2）
＝
＝
＝f（x），
即函数f（x）的周期是4.
所以f（2015）＝f（504×4－1）＝f（－1），
因为函数f（x）为偶函数，
所以f（2015）＝f（－1）＝f
（1）．
当x＝－1时，f（－1＋2）＝
，得
f
（1）＝
.
升级会员 