贵阳专用中考数学总复习 第二部分 热点专题解读 专题五 几何图形探究问题针对训练doc.docx
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第二部分 专题五
1.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
图1 图2 图3
(1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE∶CD的值;
(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.
解:
(1)AE=DF,AE⊥DF.
理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°.
∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,
∴DE=CF.
在△ADE和△DCF中,
∴△ADE≌△DCF(SAS),
∴AE=DF,∠DAE=∠FDC.
∵∠ADE=90°,∴∠ADP+∠CDF=90°,
∴∠ADP+∠DAE=90°,
∴∠APD=180°-90°=90°,∴AE⊥DF.
(2)是,CE∶CD=
或2.
【解法提示】有两种情况:
①如答图1,当AC=CE时,设正方形ABCD的边长为a.由勾股定理得,AC=CE=
=
a,
则CE∶CD=
a∶a=
;
②如答图2,当AE=AC时,设正方形ABCD的边长为a,
由勾股定理得,AC=AE=
=
a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,
∴DE=CD=a,∴CE∶CD=2a∶a=2.
即CE∶CD=
或2.
图1 图2 图3
(3)∵点P在运动中保持∠APD=90°,
∴点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧.
如答图3,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆弧于点P,此时CP的长度最大.
∵在Rt△QDC中,QC=
=
=
,
∴CP=QC+QP=
+1,
即线段CP的最大值是
+1.
2.问题探究
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,点M和N分别是边BC,CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为4,点M和N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;
问题解决
(3)如图3,AC是边长为2
的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿BC,CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.
图1 图2 图3
解:
(1)AM⊥BN.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°.
∵BM=CN,∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠CBN+∠ABN=90°,
∴∠ABN+∠BAM=90°,
∴∠APB=90°,∴AM⊥BN.
(2)如答图1,以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于F,作EG⊥PB交PB延长线于G,连接EP.
答图1
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,
∴四边形EFPG是矩形,
∴∠FEG=∠AEB=90°,
∴∠AEF=∠BEG.
∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,
∴△AEF≌△BEG,
∴EF=EG,AF=BG,
∴四边形EFPG是正方形,
∴PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF.
∵EF≤AE,∴EF的最大值为AE=2
,
∴△APB周长的最大值为4+4
.
(3)如答图2,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB,连接BH.
答图2
∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,
∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,
∴∠APB=120°.
∵∠AKB=60°,
∴∠AKB+∠APB=180°,
∴A,K,B,P四点共圆,
∴∠BPH=∠KAB=60°.
∵PH=PB,∴△PBH是等边三角形,
∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,
∴∠KBH=∠ABP.
∵BK=BA,∴△KBH≌△ABP,
∴HK=AP,
∴PA+PB=KH+PH=PK,
∴当PK的值最大时,△APB的周长最大,
∴当PK是△ABK外接圆的直径时,PK的值最大,最大值为4,
∴△PAB的周长最大值为2
+4.
3.(2016·贵阳)
(1)阅读理解:
如图1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是__2(2)问题解决:
如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:
BE+CF>EF.
(3)问题拓展:
如图3,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
图1 图2 图3
(1)解:
2【解法提示】∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.
在△BDE和△CDA中,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴BE=AC=6.
在△ABE中,由三角形的三边关系得AB-BE∴10-6∴2(2)证明:
如答图1,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,
答图1
同
(1)得,△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF.
∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF.
在△BME中,由三角形的三边关系得BE+BM>EM,
∴BE+CF>EF.
(3)解:
BE+DF=EF.理由如下:
如答图2,延长AB至点N,
答图2
使BN=DF,连接CN.
∵∠ABC+∠D=180°,
∠NBC+∠ABC=180°,
∴∠NBC=∠D.
在△NBC和△FDC中,
∴△NBC≌△FDC(SAS),
∴CN=CF,∠NCB=∠FCD.
∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,
∴∠BCE+∠FCD=70°,
∴∠ECN=70°=∠ECF.
在△NCE和△FCE中,
∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF.
∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.
4.(2018·湖北)问题:
如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为__BC=DC+EC__;
探索:
如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:
如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
图1 图2 图3
解:
(1)BC=DC+EC.
【解法提示】∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即BC=DC+EC.
(2)BD2+CD2=2AD2.
证明:
如答图1,连接CE.
由
(1)得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90°,
∴CE2+CD2=ED2.
在Rt△ADE中,∵AD=AE,∠DAE=90°,
∴DE2=2AD2.
∴BD2+CD2=2AD2.
答图1 答图2
(3)如答图2,作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE.
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴CE=BD=9.
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE=
=6
.
∵∠DAE=90°,
∴AD=AE=
DE=6.
5.
(1)问题发现:
如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由;
(2)类比引申:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系__∠B+∠D=180°__时,仍有EF=BE+DF;
(3)联想拓展:
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD,DE,EC满足的等量关系,并写出推理过程.
图1 图2 图3
解:
(1)如答图1.∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,即点F,D,G共线,
则∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG.
在△EAF和△GAF中,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG=BE+DF.
图1 图2
(2)∠B+∠D=180°.
【解法提示】∵AB=AD,
∴如答图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,
∴∠BAE=∠DAG.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG.
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,即点F,D,G共线.
在△AFE和△AFG中,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即EF=BE+DF.
故∠B+∠ADC=180°.
答图3
(3)BD2+CE2=DE2.
推理过程:
如答图,把△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接DF,
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°.
∵∠FAB=∠CAE,∴∠FAD=∠DAE=45°.
在△ADF和△ADE中,
∴△ADF≌△ADE(SAS),
∴DF=DE.∵∠C=∠ABF=45°,
∴∠DBF=90°,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
6.(2018·衡阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动,同时动点Q从点A出发以
cm/s的速度沿AB匀速运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动,设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,点B在线段PQ的垂直平分线上?
(2)是否存在某一时刻t,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)以PC为边,往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t的函数关系式.
解:
(1)如答图1,连接BP.
答图1
在Rt△ACB中,∵AC=BC=4,∠C=90°,
∴AB=4
.
∵点B在线段PQ的垂直平分线上,∴BP=BQ.
∵AQ=
t,CP=t,
∴BQ=4
-
t,PB2=42+t2,
∴(4
-
t)2=16+t2,
解得t=8-4
或8+4
(舍去),
∴当t=(8-4
)s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.
(2)存在.①如答图2,当PQ=QA时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠AQP=90°,
则有PA=
AQ,
∴4-t=
·
t,解得t=
;
②存在.如答图3,当AP=PQ时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠APQ=90°,则有AQ=
AP,
∴
t=
(4-t),解得t=2.
综上所述,当t=
s或2s时,△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.
图2 图3
(3)如答图4,连接QC,作QE⊥AC于E,作QF⊥BC于F.则QE=AE,QF=EC,可得QE+QF=AE+EC=AC=4,
答图4
∴S=S△QNC+S△PCQ=
CN·QF+
PC·QE=
t(QE+QF)=2t(07.(2018·娄底)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:
△AOE≌△COF;
(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
(1)证明:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA).
(2)解:
四边形BEDF是菱形.理由如下:
∵△AOE≌△COF,∴AE=CF.
∵AD=BC,∴DE=BF.
∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.
∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED,
∴四边形BEDF是菱形.