坐标系与参数方程(知识点+选题).doc

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第一节　坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

2．极坐标系与点的极坐标

（1）极坐标系：

如图1所示，在平面内取一个定点O（极点），自极点O引一条射线Ox（极轴）；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．

图1

（2）极坐标：

平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

3．极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标（x，y）

极坐标（ρ，θ）

互化公式

ρ2＝x2＋y2

tanθ＝（x≠0）

4.圆的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ＜2π）

圆心为（r,0），半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ

（0≤0＜π）

5.直线的极坐标方程

（1）直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α（ρ∈R）．

（2）直线l过点M（a,0）且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.

（3）直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b（0＜θ＜π）．

第二节　参数方程

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

3．常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝tanα（x－x0）

（t为参数）

圆

x2＋y2＝r2

（θ为参数）

椭圆

＋＝1（a>b>0）

（φ为参数）

温馨提示：

在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：

|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0）的距离．

重点1坐标系与参数方程

1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：

（1）极点与直角坐标系的原点重合；[来源:

Z+xx+k.Com]

（2）极轴与直角坐标系的轴正半轴重合；

（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点的直角坐标为，它的极坐标为，则互化公式是或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．

2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性.

3．参数方程的用途主要有以下几个方面：

（1）求动点的轨迹，如果的关系不好找，我们引入参变量后，很容易找到与和与的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．

（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．

（3）有些曲线参数方程的参变量有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.

[高考常考角度]

角度1若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.

解析：

关键是记住两点：

1、，2、即可.

由已知为所求.

角度2在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）

A.2B.C.D.

解析：

极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.

角度3已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.

解：

表示椭圆，表示抛物线

联立得或（舍去），

又因为，所以它们的交点坐标为[来源:

学#科#网]

角度4直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线：

（为参数）和曲线：

上，则的最小值为．

点评：

利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

解析：

曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．

角度5在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：

与，各有一个交点．当时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．

（Ⅰ）分别说明是什么曲线，并求出a与b的值；

（Ⅱ）设当=时，l与的交点分别为，当=时，l与的交点为，求四边形的面积．

解析：

（Ⅰ）的普通方程分别为和，故是圆，是椭圆.

当时，射线l与交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，所以.

当时，射线l与交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以.

（Ⅱ）的普通方程分别为和

当时，射线l与交点A1的横坐标为，与交点B1的横坐标为[来源:

Zxxk.Com]

当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，四边形为梯形.

故四边形的面积为

[来源:

学科网ZXXK]

易失分点1参数的几何意义不明

典例已知直线的参数方程为（为参数），若以平面直角坐标系中的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为

（1）求直线的倾斜角；

（2）若直线与曲线交于两点，求．

易失分提示：

对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．

解析：

（1）直线的参数方程可以化为，根据直线参数方程的意义，直线经过点，倾斜角为.

（2）的直角坐标方程为，即

曲线的直角坐标方程为，

所以圆心到直线的距离

所以

易失分点2极坐标表达不准[来源:

Z.xx.k.Com]

典例已知曲线的极坐标方程分别为则曲线与交点的极坐标为_________________[来源:

学,科,网Z,X,X,K]

易失分提示:

本题考查曲线交点的求法，易错解为：

由方程组

即两曲线的交点为或

正解解析：

由方程组或

即两曲线的交点为或

在极坐标系中，有序实数对的集合与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点不是极点，是它的一个掇坐标，那么有无穷多个极坐标与

各类题型展现：

1.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，椭圆方程为为参数）

（1）求过椭圆的右焦点，且与直线为参数）平行的直线的普通方程.

（2）求椭圆的内接矩形面积的最大值。

解析：

（1）由已知得椭圆的普通方程为，右焦点为，

直线的普通方程为，所以,于是所求直线方程为即.

（2）， 当时，面积最大为30.

2.（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆的圆心，半径.

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.

解析：

（Ⅰ）方法一：

∵圆心的直角坐标为，∴圆的直角坐标方程为.

化为极坐标方程是.

方法二：

如图，设圆上任意一点，则

化简得.．．．．．．．．4分

（Ⅱ）将代入圆的直角坐标方程，

得即

所以.

故，

∵，∴，

即弦长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

3.（本小题满分10分）

已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求圆心的直角坐标；

（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值。

解析：

（Ⅰ）由

得圆的直角坐标方程为即，

所以圆心的直角坐标为

（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，切线长为

所以，当时，切线长的最小值为[来源:

Zxxk.Com]

4.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）

（Ⅰ）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；[来源:

学科网]

（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。

解析：

（Ⅰ）由题意知，的直角坐标为，，因为是线段中点，则

因此直角坐标方程为

（Ⅱ）因为直线上两点，[来源:

学科网]

∴的方程为：

即，又圆心，半径.

所以,故直线和圆相交.

5.（本小题满分10分）

在直角坐标系中，圆，圆

（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）

（2）求圆与圆的公共弦的参数方程

解析：

圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，解得，

故圆与圆交点的坐标为……5分注：

极坐标系下点的表示不唯一

（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为

故圆与圆的公共弦的参数方程为（为参数）

（或参数方程写成）…10分

（解法二）将代入，得，从而

于是圆与圆的公共弦的参数方程为…10分

补充练习：

1．在极坐标系中，求点到直线ρsin＝1的距离．

[解]　点化为直角坐标为（，1），3分

直线ρsin＝1化为ρ＝1，

得y－x＝1，

即直线的方程为x－y＋2＝0，6分

故点（，1）到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1.10分

2．在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

[解]　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，2分

圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，4分

直线l：

ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分

（2）由得8分

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.10分

3．（2017·邯郸调研）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

[解]　

（1）设O为极点，OD为圆C的直径，A（ρ，θ）为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，2分

OA＝ODcos或OA＝ODcos，

∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.4分

（2）由ρsin＝1，得ρ（sinθ＋cosθ）＝1，6分

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，

又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，

∴直线l过圆C的圆心，8分

故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分

4．（2017·南京调研）在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．

[解]　

（1）设M（ρ，θ）是圆C上任意一点．

在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得

|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，

化简得ρ＝6cos.4分

（2）设点Q（ρ1，θ1），P（ρ，θ），

由＝2，得＝，

∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，8分

代入圆C的方程，得ρ＝6cos，

即ρ＝9cos.10分

5．（2015·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

[解]　

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，2分

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和.4分

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α<π.

因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）.8分

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分

6．从极点O作直线与另一直线l：

ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．

[解]　

（1）设动点P的极坐标为（ρ，θ），M的极坐标为（ρ0，θ），则ρρ0＝12.

2分

∵ρ0cosθ＝4，

∴ρ＝3cosθ，即为所求的轨迹方程.4分

（2）将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，

得x2＋y2＝3x，

即2＋y2＝2.8分

知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．

直线l的直角坐标方程是x＝4.

结合图形易得|RP|的最小值为1.10分

7．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin＝m（m∈R）.

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

[解]　

（1）消去参数t，得到圆C的普通方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.2分

由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分

（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分

即＝2，

解得m＝－3±2.10分

8．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.

[解]　

（1）由ρsin2θ＝8cosθ，得ρ2sin2θ＝8ρcosθ，

故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分

（2）将直线l的方程化为标准形式6分

代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝，t1t2＝－.8分

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.10分

9．（2016·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

[解]　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.4分

（2）在

（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.8分

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.

所以l的斜率为或－.10分

10．（2014·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：

y＝x＋2垂直，根据

（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

[解]　

（1）C的普通方程为（x－1）2＋y2＝1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）.4分

（2）设D（1＋cost，sint），由

（1）知C是以C（1,0）为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，

所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.8分

故D的直角坐标为，

即.10分

11．（2017·湖北七市三联）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos（a＞0）．

（1）求直线l与曲线C1的交点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ＜2π）；

（2）若直线l与C2相切，求a的值．

[解]　

（1）曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，

联立解得或（舍去）．

故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为（1,1），其极坐标为.4分

（2）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即

（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a＞0）.8分

由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.10分

12．（2017·福州质检）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点P（0,2），l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.

[解]　

（1）由消去参数α，得＋y2＝1，

即C的普通方程为＋y2＝1.2分

由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，（*）

将代入（*），化简得y＝x＋2，

所以直线l的倾斜角为.4分

（2）由

（1）知，点P（0,2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数），

代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，

Δ＝（18）2－4×5×27＝108＞0，8分

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－（t1＋t2）＝.10分

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