高中数学人教b版必修5学案231等比数列课堂探究学案含答案.docx
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高中数学人教b版必修5学案231等比数列课堂探究学案含答案
2.3.1等比数列
课堂探究
一、解读等比数列的主要性质
剖析:
在等比数列问题的解答中,运用基本量转化是最基本的方法,但如果灵活运用性质,可使求解的过程更简捷,所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质.等比数列有以下性质:
(1)两个等比数列的积仍为等比数列.
(2)在等比数列{an}中,若m+n=p+q,则aman=apaq.
(3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.
(4)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.
(5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.
(6)当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.
(7)等比数列{an}中,若公比为q,则数列{λan}仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列;数列
是公比为
的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列.
二、求数列通项公式的方法
剖析:
1.如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公式,求得a1,d(或q),直接套用公式即可.
2.若已知数列的前n项和求通项时,通常用公式an=
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式.
3.对于形如an+1=an+f(n)型或形如an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.
4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式,这叫做构造法.例如:
在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=
an+1+
an,我们在上式的两边减去an+1,得an+2-an+1=-
(an+1-an),即可构造一个等比数列来解决问题.
当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项.
三、教材中的“?
”
1.为什么q≠0?
等比数列中的项有可能等于0吗?
剖析:
因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0.
2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?
怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式?
剖析:
等比数列的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.
3.你能通过公比q的不同取值的讨论,对等比数列进行分类吗?
剖析:
当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,数列{an}为递增数列;
当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列;
当q=1时,数列{an}为常数列;
当q<0时,数列{an}为摆动数列.
四、教材中的“思考与讨论”
对于例3中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20恰好成等比数列?
你能说出其中的道理吗?
你能由此推导出一个一般性的结论吗?
剖析:
在已知数列中,每隔k项取一项,保持原来顺序依次排列,所得数列还是一个等比数列.题型一 等比数列定义的应用
【例1】已知数列的通项公式为an=3×2n,试问:
这个数列是否为等比数列?
分析:
可用定义法、等比中项法证明.
解:
解法一:
∵
=
=2(常数),
∴{an}是等比数列.
解法二:
∵an+1=3×2n+1,an+2=3×2n+2,
an·an+2=3×2n×3×2n+2=9×22n+2=a
,
∴{an}是等比数列.
反思:
已知某数列的通项公式,判定其是否为等比数列,可依据等比数列的定义证明.常用的判定等比数列的方法有:
(1)定义法:
=q(常数);
(2)等比中项法:
a
=anan+2(an≠0).
题型二 等比数列的通项公式的应用
【例2】在等比数列{an}中,