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数学建模论文

华北科技学院

课程设计说明书

班级:

计算B112

姓名:

宋富洪学号：

201109014207成绩：

______

设计题目:

艾滋病疗法的评价及疗效的预测

设计时间:

2013.7.8至2013.7.12

指导教师:

谭立云

评语:

_______________________________________________

评阅教师:

_______________

艾滋病疗法的评价及疗效的预测

摘要：

通过对附件1、附件2的大量数据分析观察，可以发现其数据符合均匀分布，所以采用其数学期望来代替整体数据的特征。

问题一，根据艾滋病病人初始时刻体内的CD4细胞浓度分为三个类：

严重、中等和轻度病人。

然后研究各组人群在治疗各个阶段的CD4细胞浓度的期望，用最小二乘法拟合出患者体内CD4在服药的40周内的曲线，然后，通过此方程做出70周内的CD4细胞浓度，求出最佳治疗终止时间。

对于问题二，由于病人的测试时间为第0周、第4周、第8周，、第24周、第40周，计算出每一个病人的CD4细胞浓度在时间段[0,4]、[4,8][8,16][16,24]、[24,32]的变化量，再求出所有病人体内CD4细胞浓度的平均变化量。

对于问题三也是类似的处理方法。

结论1：

一般而言，病人同时服用三种药物在半年内有效。

因此治疗时间超过半年，病情会出现反复，从而最佳治疗终止时间为第20周左右。

结论2：

若仅以CD4浓度为判断指标，则第四个方案的治疗效果为最佳。

且最佳治疗终止时间为第10周左右。

结论3：

当病人还需要考虑治疗的费用时，最佳治疗方案是方案1，最佳治疗终止时间是56天左右。

关键词：

最小二乘法；拟合；CD4细胞浓度；平均变化量

一、问题重述

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（简称HIV）引起的，是当前人类社会最严重的疾病之一。

HIV病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。

人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用。

当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV。

将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4。

故由CD4或HIV的剂量数可以获知或预测艾滋病的治疗情况。

附件1和附件2给出了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。

ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir

（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。

193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。

主要研究下列问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

（2）利用附件2的数据，仅以CD4为标准评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

（3）给出不发达国家艾滋病主要药瓶价格，考虑4种疗法的费用，判断

（2）中的评价和预测（或者提前终止）的改变。

二、模型假设

1、大量数据符合平均分布的统计规律，用其数学期望来代替在某一点的值，并且能反映

2、根据样本数据特点，我们规定4周为一个月，一个月为28天计算。

3、继续治疗指在测试终止后继续服药，终止治疗指测试后终止服药。

4、样本数据的测试时相互独立的，即每一位病人在任何一个时刻的测试数据不受其他病人的影响，也不受其本身其他时刻数据的影响。

三、模型的建立与求解

问题一

1.问题分析

在艾滋病治疗过程中，目的是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4细胞，至少要有效的降低CD4细胞减少的速度，以提高人体的免疫能力。

因此，根据CD4细胞核HIV病毒的浓度的变化，可以预测治疗的效果。

但是在考虑到收集的数据的随机性，如随个体身体状况、免疫能力的差异，我们通过统计手段，对数据进行处理，然后得到需要的浓度。

2.数据的处理与绘图

通过对附件1数据的观察与分析，可以做出CD4细胞浓度随时间周变化的散点图：

图1CD4细胞浓度分布的散点图

从图1中可以看出CD4细胞浓度符合平均分布的规律，所以可以用它的平均值来代替其数学期望，来表示整体数据的特征。

由于同一时间测量的浓度跨度比较大，所以需要对数据进行进一步的处理，可以将数据通过其固有的特征进行分类，是数据的数学期望更具有代表性。

根据国外最新研究显示，抗病毒治疗前的CD4细胞计数可能是影响免疫功能重建程度的重要因素之一，初始CD4细胞含量反映了个人的个体差异（如身体状况、免疫能力等）。

因此，将问题一中病人按初始时刻体内的CD4细胞浓度含量分为3类：

0~99×0.2/μl、100~199×0.2/μl、≥200×0.2/μl，分别对应艾滋病病情的严重、中等、轻度。

对附件1中的数据分类之后，对每个类别的数据进行了统计分析处理，可知测试阶段大概分为0、4、8、24、42周等的时间间隔，对所对应的所有数据进行了分析处理（除去误差比较打的数据），因为数据符合平均分布的特点，用其数学期望来代表这些数据的整体特征，如下表：

表1三类病人的CD4和HIV浓度的数学期望0.2/μl

病人

0周

4周

8周

24周

42周

第一类

CD4

＜100

39.8683

85.9783

105.147

134.1034

118.277

HIV

＜100

5.1613

3.3921

3.1231

2.9815

3.9429

第二类

CD4

100~199

145.491

201.987

223.69

223.884

144.333

HIV

100~199

4.8144

2.9750

2.6597

2.5968

2.7250

第三类

CD4

≥200

234.737

266.666

278.779

292.889

317.083

HIV

≥200

4.8263

2.7333

2.6333

2.3316

1.7000

通过最小二乘法的数据拟合，发现了CD4随时间呈抛物线分布。

因为拟合得到的二次曲线与在0~42周时间内的数据点能比较准确地符合，因此，此曲线能较好的表现这42周内的发展趋势。

以下表是这三类的二次曲线拟合：

表2CD4的拟合曲线方程

浓度范围/（0.2/μl）

拟合方程

0~99

100~199

≥200

Y=51.198＋6.7964X－0.12509X2

Y=161.29＋7.8893X－0.19935X2

Y=246.03＋3.2327X－0.03808X2

各个方程的拟合曲线如下：

图2初浓度＜100（0.2/μl）的CD4拟合曲线

图3初浓度为100~199（0.2/μl）的CD4拟合曲线

图4初浓度为≥200（0.2/μl）的CD4拟合曲线

由图2~图4知道，所拟合的CD4曲线，在0~42周内实际值与与曲线拟合相当的好。

因为CD4与HIV之间有相互抑制的作用，由图1的散点图可知CD4与HIV之间近似为指数的分布，以下是这三类的拟合方程：

表3CD4与HIV数量关系的拟合方程

浓度范围（0.2/μl）

方程

0~99

100~199

≥200

Y=380.2e-0.39x

Y=302.9e-0.15x

Y=363.3e-0.1x

由于CD4的细胞数量与HIV的数量有很明显的指数关系，所以这里只考虑CD4浓度的变化即可。

用表1提供的三个方程做出0~70范围内的曲线如下：

图5三类的预测图

由图中的曲线走势可知患者应该在服药后的40周左右停止吃药，所以最佳治疗终止时间为40左右。

问题二

问题分析：

利用附件2的数据来评价4种艾滋病疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

这四种疗法如下：

1=600mgzidovudine与400mgdidanosine按月轮换使用；

2=600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine；

3=600mgzidovudine加400mgdidanosine；

4=600mgzidovudine加400mgdidanosine加400mgnevirapine。

由于附件2中的数据，每个病人的测试时间并不是相同的，所以取一些有代表性的数据进行分析处理。

以下表是代表部分数据：

表4附件2部分数据

疗法

年龄

时间

Log（CD4+1）

36.4271

3.1355

36.4271

7.5714

3.0445

36.4271

15.5714

2.7726

36.4271

23.5714

2.8332

36.4271

32.5714

3.2189

36.4271

3.0445

42.1821

2.1972

42.1821

8.1429

2.3979

42.1821

16.1429

2.4849

42.1821

23.8571

1.9459

42.1821

35.1429

1.9459

42.1821

37.7143

1.9459

34.6338

3.0445

34.6338

6.8571

3.6109

34.6338

15.8571

3.4340

34.6338

23.8571

2.8904

34.6338

31.8571

3.1781

34.6338

39.8571

2.3026

40.3313

1.7047

40.3313

8.1429

1.7918

40.3313

16.1429

0.6931

40.3313

25.4286

1.0986

40.3313

33.4286

0.6931

40.3313

39.1429

0.6931

在此问题中，每位病人观测的时间间隔是8周，有的观测了一个8周，有的观测了二个8周，有的观测了三个8周，有的观测了四个8周。

并且每个8周治疗的效果是不一样的，如可能第一个8周治疗效果比较明显，而第二个或第三个8周的治疗也不一定那么明显。

并且每个病人的初始病情也各不相同，即是他血液中所含的CD4细胞浓度或HIV细胞浓度初始值是不同的，所以主要由用CD4细胞浓度的变化量来表示。

根据附件2中的数据，可以获得每一个病人每一个8周的CD4细胞浓度变化量的数据，为了获得方案的总体效果，求出每一个方案下的每一个8周病人CD4浓度平均变化量，如下表：

表5各个方案不同周期的CD4细胞浓度平均变化量

治疗方案

第一个8周

第二个8周

第三个8周

第四个8周

第五个8周

-0.11473

-0.12262

-0.17101

-0.2047

-0.22279

-0.00157

-0.14781

-0.13619

-0.15499

-0.15763

0.17693

-0.09526

-0.13704

-0.31271

0.043714

0.38452

0.074904

-0.10536

-0.1796

-0.13109

从表中可以看出第一个8周第4个方案的CD4浓度平均变化量呈增加性，且是最大的，而第一个方案CD4细胞浓度呈下降，第二个8周只有方案四CD4细胞浓度是增加的。

可以对每个8周的变化量分为4个等级为：

最好、好、一般、差。

把表5的各个数据分类结果如下：

表6各个方案在不同时间间隔的治疗效果

治疗方案

第一个8周

第二个8周

第三个8周

第四个8周

第五个8周

差

一般

差

一般

差

一般

差

好

最好

一般

好

一般

差

最好

好

从表6中可以很明显的看出方案四治疗效果总体是最好的。

进一步可以算出每一种方案的CD4细胞浓度的变化速度，即是平均变化量如下表：

表7每种方案下的每8周的细胞浓度平均变化量

治疗方案

每8周的CD4细胞浓度平均变化量

方差

-0.16717

0.002313

-0.11964

0.004425

-0.06487

0.034454

0.008675

0.053408

从表7可以了解到无论从CD4细胞浓度的平均变化量来看，还是以方差来看方案四的数值都是最大的。

所以方案四的治疗效果是4个方案中最好的。

另外，为了获得更加精准的最佳治疗时间，还可以做出方案四的CD4细胞浓度的平均变化量与时间t之间的拟合方程。

图6方案4的细胞浓度的平均变化量与时间t的关系

从图6可以看出拟合效果还是很好的，拟合方程为：

Y=0.00091772t2－0.045439t＋0.38329

表8ModelSummaryandParameterEstimates

DependentVariable:

VAR00001

Equation

ModelSummary

ParameterEstimates

RSquare

df1

df2

Sig.

Constant

Quadratic

1.000

7.831E3

.000

.383

-.045

.001

TheindependentvariableisVAR00002.

由表8可知R2=1，可知该回归方程通过了回归检验。

可以用来做预测。

所以当CD4细胞浓度的平均变化量Y=0时，解得方程t=10.784。

结论：

对于最佳方案4来说，其最佳治疗终止时间为第10周左右。

另外附件2中还出现了病人的年龄，但通过SPSS软件分析了CD4细胞浓度的平均变化量与病人年龄无相关关系，所以没有必要考虑年龄的因素。

问题三

问题分析：

因为4种疗法是每隔8周测试一次，又4种疗法均为日用药量，所以算出测试周期的单位费用，即每8周的用药费用，也称为一个疗程，如下表的具体疗法和计算结果：

表9每个方案每8周的费用

方案疗法

用药处方

一个疗程费用（美元）

前4周用药：

600mgzidovudine；后4周用药：

400mgdidanosine

68.6

600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine

193.2

600mgzidovudine加400mgdidanosine

137.2

600mgzidovudine加400mgdidanosine加400mgnevirapine

204.4

由此可以计算出每一种方案的各个不同测试周期的CD4细胞浓度的单位成本。

大家都知道，当考虑到成本是，病人希望以最低的费用获得最好的疗效，可以把它理解为CD4变化量的单位成本最低。

所以，再计算每一种的绝对变化的单位平均成本，如下表：

表10每个方案的CD4细胞浓度变化的单位成本

方案

第一个8周

第二个8周

第三个8周

第四个8周

第五个8周

CD4绝对变化量平均单位成本

-0.30605

-0.38252

-0.30663

-0.52518

-0.16563

0.3372

-0.00144

-0.16984

-0.086705

-0.12595

-0.048952

0.08658

0.2231

-0.15552

-0.12285

-0.37607

0.01593

0.17869

0.35743

0.083552

-0.15992

-0.04040

0.14125

由表9可以看出，去CD4细胞浓度绝对变化量平均单位成本最低的为最优方案，所以选方案2为最优方案。

图7方案2的CD4浓度平均变化量与时间因素t的关系

由上图可知曲线的拟合程度较好。

图7的拟合方程为：

Y=－0.011274t3＋0.12778t2－0.42908t＋0.30238

然后再令Y=0，解上述方程得t=0.9519。

结论：

对于方案2来说，最佳治疗终止时间为56天左右。

四、模型的评价与改进

优点：

（1）对于给出的大量杂乱无章的数据，都是首先剔除部分不全的数据，比如附件2中有的病人就只测出了初始时刻的CD4细胞和HIV细胞的含量，还有有些周数不齐的数据也要剔除。

然后再分别对其进行处理，对于问题一，问题二的预测是非常精确的。

（2）对于四种疗法的评价，采用了计算CD4细胞浓度的平均变化量并通过拟合来预测疗法的疗效，这样能够有效避免受到CD4细胞浓度初始值的影响。

这个方法也是很好的。

不足：

（1）对于问题一来说，预测不是那么的精确，所以可用其他更有效的方法来预测。

（2）将数据统一来观察，这方法是简单易行的，但需要处理大量数据，工作量是非常的大，而且比较繁琐。

改进：

模型可以考虑采用人工智能或数据挖掘的方法，更快速第剔除无用的数据，找到数据的内在规律和有意义的数据。

五、参考文献

[1]马莉.MTALAB数学实验与建模.北京：

清华大学出版社,2010

[2]朱建平.应用多元统计（第二版）.北京：

科学出版社,2012

[3]阮晓青.周义仓.数学建模引论.北京：

高等教育出版社，2005

附录

问题一的部分代码：

plot（A（:

1）,A（:

2）,'ko'）;------A第1列为时间，第2列为CD4

fori=1:

length（A）------A为附件1中第1列病人编号，2列时间，3列CD4，3列为HIV

ifA（i,2）==0&&A（i,3）<100

j=i;

whileA（j,1）==A（j+1,1）

A（j,1）=1;

j=j+1;

end

A（j,1）=1;

end

ifA（i,2）==0&&A（i,3）>=100&&A（i,3）<=199

j=i;

whileA（j,1）==A（j+1,1）

A（j,1）=2;

j=j+1;

end

A（j,1）=2;

end

ifA（i,2）==0&&A（i,3）>=200

j=i;

whileA（j,1）==A（j+1,1）

A（j,1）=3;

j=j+1;

end

A（j,1）=3;

end

%--------------¼ÆËãCD4Å¨¶ÈÆÚÍû-----------------

sum=zeros（1,5）;

num=zeros（1,5）;

fori=1:

length（A）

ifA（i,1）==1&&A（i,2）==0

num

（1）=num

（1）+1;

sum

（1）=A（i,3）+sum

（1）;

end

ifA（i,1）==1&&A（i,2）==4

num

（2）=num

（2）+1;

sum

（2）=A（i,3）+sum

（2）;

end

ifA（i,1）==1&&A（i,2）==8

num（3）=num（3）+1;

sum（3）=A（i,3）+sum（3）;

end

ifA（i,1）==1&&22<=A（i,2）&&A（i,2）<=26

num（4）=num（4）+1;

sum（4）=A（i,3）+sum（4）;

end

ifA（i,1）==1&&41<=A（i,2）&&A（i,2）~=99

num（5）=num（5）+1;

sum（5）=A（i,3）+sum（5）;

end

fori=1:

Ave（i）=sum（i）/num（i）;

end

sum=zeros（1,5）;

num=zeros（1,5）;

fori=1:

length（A）

ifA（i,1）==2&&A（i,2）==0

num

（1）=num

（1）+1;

sum

（1）=A（i,3）+sum

（1）;

end

ifA（i,1）==2&&A（i,2）==4

num

（2）=num

（2）+1;

sum

（2）=A（i,3）+sum

（2）;

end

ifA（i,1）==2&&A（i,2）==8

num（3）=num（3）+1;

sum（3）=A（i,3）+sum（3）;

end

ifA（i,1）==2&&25<=A（i,2）&&A（i,2）<=26

num（4）=num（4）+1;

sum（4）=A（i,3）+sum（4）;

end

ifA（i,1）==2&&47<=A（i,2）

num（5）=num（5）+1;

sum（5）=A（i,3）+sum（5）;

end

fori=1:

Ave（i）=sum（i）/num（i）;

end

sum=zeros（1,5）;

num=zeros（1,5）;

fori=1:

length（A）

ifA（i,1）==3&&A（i,2）==0

num

（1）=num

（1）+1;

sum

（1）=A（i,3）+sum

（1）;

end

ifA（i,1）==3&&A（i,2）==4

num

（2）=num

（2）+1;

sum

（2）=A（i,3）+sum

（2）;

end

ifA（i,1）==3&&A（i,2）==8

num（3）=num（3）+1;

sum（3）=A（i,3）+sum（3）;

end

ifA（i,1）==3&&23<=A（i,2）&&A（i,2）<=26

num（4）=num（4）+1;

sum（4）=A（i,3）+sum（4）;

end

ifA（i,1）==3&&37<=A（i,2）&&A（i,2）~=99

num（5）=num（5）+1;

sum（5）=A（i,3）+sum（5）;

end

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