数学论文 证明三角形内角和等于180度.docx

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数学论文证明三角形内角和等于180度

证明：

三角形内角和等于180°

在几何证明中，“三角形内角和等于180°”这个定义十分常用，但这个定义的得出原因值得探讨。

我们可以随意作一个三角形，为△ABC

方法一：

可以添加一条平行线，得到相等的同位角和内错角，然后进行等量代换。

证明：

如图①，延长BC到D，再过点C作AB∥CD

∵AB∥CD（已知）

∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACB＋∠ECD＋∠ACE＝180°（平角为180°）

∴∠ACB＋∠B＋∠A＝180°（等量代换）

方法二：

证明：

如图②，过点A作AD∥BC

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠ACB

∠EAB＝∠ABC

∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°（平角为180°）

∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°（等量代换）

方法三：

证明：

如图③，过点A作AD∥BC

∵AD∥BC 

∴∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等） 

∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） 

∵∠DAB=∠DAC+∠CAB 

∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° 

∵∠C=∠DAC 

∴∠C+∠CAB+∠B=180°

方法四：

如图④，过A点作DE∥BC，延长BA、CA交DE于A点

∵DE∥BC

∴∠C=∠FAD

∠B=∠GAE（两直线平行，同位角相等）

∵D,A,E三点共线

∴∠DAE=180°

∵∠DAE=∠DAF+∠FAG+∠GAE

∴∠DAF+∠FAG+∠GAE=180°

∵∠GAF=∠BAC（对顶角相等）

∴∠BAC+∠C+∠B=180°

方法五：

如图⑤，作直线DE∥AC，FE∥AB交BC于E

E

∵DE∥AC 

∴∠AFE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） 

∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等） 

∵FE∥AB 

∴∠AFE+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补） 

∠B=∠FEC（两直线平行，同位角相等） 

∴∠A=∠DEF 

∵B,C,E三点共线 

∴∠BEC=180° 

∵∠BEC=∠DEB+∠DEF+∠FEC 

∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180° 

∴∠A+∠C+∠B=180°

方法六：

证明：

如图⑥，作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O

∵DE∥AC

∴∠AFO+∠FOD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵FG∥AB

∴∠AFO+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠FOD

∵MN∥BC

∴∠C=∠FNO（两直线平行，同位角相等）

∵DE∥AC

∴∠FNO=∠DOM（两直线平行，同位角相等）

∴∠C=∠DOM

∵MN∥BC

∴∠B=∠DMO（两直线平行，同位角相等）

∵FG∥AB

∴∠DMO=∠FON（两直线平行，同位角相等）

∴∠B=∠FNO

∵M,O,N三点共线

∴∠MON=180°

∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON

∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°

∴∠A+∠B+∠C=180°

方法七：

证明：

如图⑦，作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O 

      延长AC交FG于点K，延长AB到点L，延长BC交FG于点P

∵ MN∥BC 

∴∠ABC=∠AHN

∠ACB=∠ANM（两直线平行，同位角相等） 

∵ AB∥FG 

∴∠AHN=∠FON

∠BAC=∠AKO （两直线平行，同位角相等） 

∴∠ABC=∠FON 

∵ DE∥AC 

∴∠ANM=∠DOM （两直线平行，同位角相等） 

  ∠OKA=∠DOF （两直线平行，内错角相等） 

∴∠ACB=∠DOM 

∵ FG∥AB 

∴∠BAC=∠OKA（两直线平行，同位角相等） 

∴∠BAC=∠DOF 

∵ M,O,N三点共线 

∴∠MON=180° 

∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON 

∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180° 

∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°