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电子游戏中的数学
2009-2010第二学期数学模型期末考试
承诺书
我完全明白，在期末考试不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与题有关的问题。
我知道，抄袭别人的成果是违反考试规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我郑重承诺，严格遵守考试规则，以保证考试的公正、公平性。
如有违反考试规则的行为，我将受到严肃处理。
专业名称：
1.
考试题目：
2.
姓名（打印并签名）：
3.
班级：
4.
学号：
5.
成绩：
6.
日期：
2010年6月9日
电子游戏中的数学
1.摘要
电子游戏中的数学这问题需要利用概率论的知识。
玩家通过机器随机抽取5张扑克牌，然后判断手中牌型。
奖金分配表
牌型组合
奖金（元）
牌型组合
奖金（元）
同花大顺（10到A）
500
顺子
4
同花顺
80
三张相同点数的牌
3
四张相同点数的牌
25
两对
2
满堂红（三张同点加一对）
8
一对高分对（J及以上）
1
同花
5
其他
0
当玩家的原始牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，依次计算每种牌型出现得可能性，然后根据概率论的知识，依次计算出每种牌型出现的概率，最后通过把每种牌型出现的概率乘以该牌型所对应的奖金所计算出的奖金期望相加，即最后得到此方案的奖金期望值。
2.关键词
电子游戏数学建模概率扑克数学
3.问题重述
近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。
对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。
在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。
玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。
下面是一份典型的奖金分配表：
奖金分配表
牌型组合
奖金（元）
牌型组合
奖金（元）
同花大顺（10到A）
500
顺子
4
同花顺
80
三张相同点数的牌
3
四张相同点数的牌
25
两对
2
满堂红（三张同点加一对）
8
一对高分对（J及以上）
1
同花
5
其他
0
在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相应的奖金。
1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。
2、对上述策略进行评价。
3、是否存在更好的策略。
若有，请与上述策略进行比较。
4.问题的分析
本问题所对应的牌型和奖金的分配表如下表：
牌型组合
奖金（元）
牌型组合
奖金（元）
同花大顺（10到A）
500
顺子
4
同花顺
80
三张相同点数的牌
3
四张相同点数的牌
25
两对
2
满堂红（三张同点加一对）
8
一对高分对（J及以上）
1
同花
5
其他
0
根据玩家所提出的方案，即原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
首先我们应该先计算原始牌型中各种牌型出现的概率，然后根据玩家所提出的方案决定是否换牌。
若不换牌则根据此时手中的牌型出现的概率计算期望，若换牌则根据换牌后手中牌型出现的概率计算期望！
即：
1:
当玩家的原始牌型为：
“同花大顺（10到A）”“同花顺”“四张相同点数的牌”“满堂红（三张同点加一对）”“同花”“顺子”这几种牌型中的任意一种时，玩家放弃换牌的机会，直接获得奖金！
2：
当玩家的原始牌型为：
“三张相同点数的牌”“两对”“一对高分对（J及以上）”时，按照玩家的方案，玩家需要换牌。
但玩家换牌也分几种情况。
a：
当玩家的原始牌型是“三张相同点数的牌”时玩家保留3张相同点数的牌，同时放弃余下的2张牌，再由机器从47张牌中随机抽取2张返还给玩家。
换牌后玩家的新牌型将可能是“四张相同点数的牌”“满堂红（三张同点加一对）”“三张相同点数的牌”这3种情况。
b：
当玩家的原始牌型是“两对”时玩家保留两对，同时放弃余下的1张牌,再由机器从47张牌中随机抽取1张返还给玩家。
换牌后玩家的新牌型将可能是“满堂红”“两对”这2种情况。
c：
当玩家的原始牌型是“一对高分对（J及以上）”时玩家保留这对高对，同时放弃余下的3张牌,再由机器从47张牌中随机抽取3张返还给玩家。
换牌后玩家的新牌型将可能是“四张相同点数的牌”“满堂红（三张同点加一对）”“三张相同点数的牌”“两对”“一对高分对（J及以上）”这5中情况。
5.问题的提出
近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。
对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。
在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。
玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。
下面是一份典型的奖金分配表：
奖金分配表
牌型组合
奖金（元）
牌型组合
奖金（元）
同花大顺（10到A）
500
顺子
4
同花顺
80
三张相同点数的牌
3
四张相同点数的牌
25
两对
2
满堂红（三张同点加一对）
8
一对高分对（J及以上）
1
同花
5
其他
0
在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相应的奖金。
1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。
2、对上述策略进行评价。
3、是否存在更好的策略。
若有，请与上述策略进行比较。
6.模型的假设，符号说明
A：
首先机器从52张牌中任意抽取5张发给玩家，计算玩家5张牌能组成的各种牌型（此时牌型为原始牌型那个）的概率和奖金期望值。
B：
根据玩家的原始牌型决定是否换牌，若不换牌则根据此时手中的牌型出现的概率计算期望，若换牌则根据换牌后手中牌型出现的概率计算期望
C：
P代表概率，C代表组合，E代表期望，C（m,n）代表m中个挑出n个组合
7.模型的建立
各种牌型的概率：
一、开始发牌是玩家手中的牌为各种牌型的概率：
1.牌型为同花大顺的概率为：
P1
2.牌型为同花顺的概率为：
P2
3.牌型为四张相同点数的牌的概率为：
P3
4.牌型为满堂红的概率为：
P4
5.牌型为同花的概率为：
P5
6.牌型为顺子的概率为：
P6
7.牌型为三张相同点数的牌的概率为：
P7
8.牌型为两对的概率为：
P8
9.牌型为一对高分对的概率为：
P9
10.牌型为其他的概率为：
Pa
二、当玩家的原始牌型是“三张相同点数的牌”时玩家将决定换牌，玩家保留3张相同点数的牌，同时放弃余下的2张牌，再由机器从47张牌中随机抽取2张返还给玩家。
其新牌型为各种牌型的概率为:
1.新牌型为四张相同点数的牌的概率为：
P10
2.新牌型为满堂红的概率为：
P11
3.新牌型为三张相同点数的牌的概率为：
P12
三、当玩家的原始牌型是“两对”时玩家将决定换牌，玩家保留两对，同时放弃余下的1张牌，再由机器从47张牌中随机抽取1张返还给玩家。
其新牌型为各种牌型的概率为:
1．新牌型为满堂红的概率为：
P13
2．新牌型为两队的概率为：
P14
四、当玩家的原始牌型是“一对高分对”时玩家将决定换牌，玩家保留一对高分对，同时放弃余下的3张牌，再由机器从47张牌中随机抽取3张返还给玩家。
其新牌型为各种牌型的概率为:
1.新牌型为四张相同点数的牌的概率为：
P15
2.新牌型为满堂红的概率为：
P16
3.新牌型为三张相同点数的牌的概率为：
P17
4.新牌型为两对的的概率为：
P18
5.新牌型为一高分对的概率为：
P19
奖金的期望：
获得奖金的期望（E）=获得奖金的概率（P）*奖金类型的奖金金额
1．牌型为同花大顺的期望（E1）=原始牌型为同花大顺的概率*500
2．牌型为同花顺的期望（E2）=原始牌型为同花顺的概率*80
3．牌型为四张相同点数的牌的期望（E3）=原始牌型为四张相同点数的牌的概率*25+新牌型为四张相同点数的牌的概率*25
4．牌型为满堂红的期望（E4）=原始牌型为满堂红的概率*8+新牌型为满堂红的概率*8
5．牌型为同花的期望（E5）=原始牌型为同花的概率*5
6．牌型为顺子的期望（E6）=原始牌型为顺子的概率*4
7．牌型为三张相同点数的牌的期望（E7）=新牌型为三张相同点数的牌的概率*3
8．牌型为两对的期望（E8）=新牌型为两对的概率*2
9.牌型为一高分对的期望（E9）=新牌型为一高分对的概率*1
8.模型的求解
从52张牌中抽取出5张组成的各种牌型的概率：
牌型
概率
奖金
同花大顺
P1=[C（5,5）*4]/C（52,5）
500
同花顺
P2=[4*9*C（5,5）]/C（52,5）
80
四张相同点数的牌
P3=[13*4*C（48,1）]/C（52,5）
25
满堂红
P4=[3*C（4,3）*12*C（4,2）]/C（52,5）
8
同花
P5=[4*C（13,5）]/C（52,5）
5
顺子
P6=[10*45]/C（52,5）
4
三张相同点数的牌
P7=[13*C（4,3）*C（12,2）*42]/C（52,5）
3
两对
P8=[C（13,2）*C（4,2）*C（4,2）*11*4]/C（52,5）
2
一对高分对
P9=[4*C（4,2）*C（12,3）*43]/C（52,5）
1
其他
Pa=1-（P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8+P9）
0
玩家保留三张相同点数的牌：
牌型
概率
奖金
四张相同点数的牌
P10=46/C（47,2）
25
满堂红
P11=[2*C（3,2）+10*C（4,2）]/C（47,2）
8
三张相同点数的牌
P12=1-P10-P11
3
玩家保留两对牌：
牌型
概率
奖金
满堂红
P13=[2*C（2,1）]/C（47,1）
8
两对
P14=1-P13
2
玩家保留一对高分牌:
牌型
概率
奖金
四张相同点数的牌
P15=45/C（47,3）
25
满堂红
P16=[2*3*C（3,2）+2*9*C（4,2）+3*C（3,3）+9*C（4,3）]/C（47,3）
8
三张相同点数的牌
P17=[2*（C（3,2）*（32）+3*9*3*4+C（9,2）*（42））]/C（47,3）
3
两对
P18=[3*C（3,2）*（2*3+9*4）+9*C（4,2）*（3*3+8*4）]/C（47,3）
2
一高分对
P19=1-P15-P16-P17-P18
1
综上所述，得到各种牌型的概率，奖金期望表：
牌型
概率
奖金（元）
期望
同花大顺
1.53908e-06
500
0.0007695386
同花顺
1.3851695e-05
80
0.0011081356
四张相同点数的牌
0.001500015
25
0.037500375
满堂红
0.016950988
8
0.135607904
同花
0.0019654015
5
0.0098270075
顺子
0.0039246468
4
0.0156985872
三张相同点数的牌
0.033805823
3
0.101417469
两对
0.064266736
2
0.128533472
一对高分
0.09268674
1
0.09268674
其他
0.79373672
0
0
玩家获得奖金的期望：
E=E1+E2+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9=
9.对玩家此方案的评价
对于玩家此方案来说，玩家绝对不会吃亏，这种方案是目前最好的方案。
如果玩家不换牌，即上手牌是顺子或大于顺子，玩家放弃换牌，绝对不吃亏。
如果玩家换牌，即上手牌小于顺子，无论玩家拿到“三张相同点数的牌”“两对牌”还是“一高分对”，玩家换牌所获得的新牌型绝对大于等于原始牌型，所以玩家在换牌的情况下不会吃亏。
10.参考文献
[1]茆诗松程依鸣濮晓龙编著，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社
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