高等代数北大版课件6.7子空间的直和.ppt

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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.7子空间的直和,6.7子空间的直和,一、直和的定义,二、直和的判定,三、多个子空间的直和,6.7子空间的直和,引入,有两种情形：

此时,即，必含非零向量.,6.7子空间的直和,情形2）是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量，即,6.7子空间的直和,一、直和的定义,设为线性空间V的两个子空间，若和,是唯一的，和就称为直和，记作,注:

若有,则,分解式唯一的，意即,中每个向量的分解式,6.7子空间的直和,分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中,都成立.,例如，R3的子空间,这里，,在和中，向量的分解式不唯一，如,所以和不是直和.,6.7子空间的直和,而在和中，向量（2,2,2）的分解式是唯一的，,事实上，对,故是直和.,都只有唯一分解式：

6.7子空间的直和,二、直和的判定,分解式唯一，即若,1、（定理8）和是直和的充要条件是零向量,则必有,证：

必要性.,是直和,的分解式唯一.,而0有分解式,6.7子空间的直和,充分性.,故是直和.,设，它有两个分解式,有,其中,于是,由零向量分解成唯一，且,即,的分解式唯一.,6.7子空间的直和,2、和是直和,则有,“”任取,证：

“”若,于是零向量可表成,由于是直和，零向量分解式唯一，,故,6.7子空间的直和,证：

由维数公式,3、和是直和,有，,6.7子空间的直和,总之，设为线性空间V的子空间，则下面,四个条件等价:

2）零向量分解式唯一,1）是直和,3）,4）,4、（定理10）设U是线性空间V的一个子空间，,称这样的W为U的一个余子空间.,则必存在一个子空间W，使,6.7子空间的直和,证：

取U的一组基,把它扩充为V的一组基,则,余子空间一般不是唯一的（除非U是平凡子空间）.,注意：

如，在R3中，设,6.7子空间的直和,5、设分别是线性子空间,的一组基，则,证：

由题设，,若线性无关，,则它是的一组基.,从而有,6.7子空间的直和,反之,若直和，则,从而的秩为rs.,所以线性无关.,是直和.,6.7子空间的直和,1、定义,中每个向量的分解式,都是线性空间V的子空间，若和,是唯一的，则和就称为直和，记作,6.7子空间的直和,四个条件等价:

2）零向量分解式唯一，即,3）,4）,2、判定,设都是线性空间V的子空间，则下面,1）是直和,6.7子空间的直和,例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维,子空间的直和.,证：

设是n维线性空间V的一组基,则,而,6.7子空间的直和,例,2、已知，设,2）当时，,证：

1）,是的子空间.,证明：

1）是的子空间.,6.7子空间的直和,从而有,故是的子空间.,下证是的子空间.,6.7子空间的直和,又,2）先证,任取,其中,再证,又是的子空间，,6.7子空间的直和,任取,从而,所以,6.7子空间的直和,练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组与的,证：

解齐次线性方程组，得其一个基础解系,解空间：

证明:

6.7子空间的直和,再解齐次线性方程组.,由,即,得的一个基础解系,考虑向量组,6.7子空间的直和,由于,线性无关，即它为Pn的一组基.,又,6.7子空间的直和,2、和是直和,证:

则,练习：

6.7子空间的直和,则零向量还有一个分解式,（*）,在（*）式中，设最后一个不为0的向量是,则（*）式变为,这时，,所以，是直和.,