人教版高中数学必修一《集合的基本运算》学案.docx

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人教版高中数学必修一《集合的基本运算》学案

1.1.3　集合的基本运算

第1课时　并集与交集

[学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.

知识点一　并集的概念

并集的三种语言表示：

（1）文字语言：

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.

（2）符号语言：

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

（3）图形语言；如图所示.

思考　

（1）“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？

（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

答　

（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：

x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示.

（2）不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.

知识点二　交集的概念

交集的三种语言表示：

（1）文字语言：

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

（2）符号语言：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.

（3）图形语言：

如图所示.

思考　

（1）当两个集合没有公共元素时，这两个集合就没有交集吗？

（2）对于A∩B＝∅，存在哪几种可能的情况？

答　

（1）当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集.

（2）存在三种情况：

①集合A，B均为空集；

②集合A，B中有一个是空集；

③集合A，B均为非空集，但无相同元素.

知识点三　并集与交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪∅＝A

A∩∅＝∅

A⊆B⇔A∪B＝B

A⊆B⇔A∩B＝A

题型一　并集及其运算

例1　

（1）设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（　　）

A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}

C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}

（2）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于（　　）

A.{x|－1≤x＜3}B.{x|－1≤x≤4}

C.{x|x≤4}D.{x|x≥－1}

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.

（2）在数轴上表示两个集合，如图.

反思与感悟　解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合.若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.

跟踪训练1　已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}；B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（　　）

A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}

C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}

答案　C

解析　∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}.

题型二　交集及其运算

例2　

（1）设集合M＝{m∈Z|－3

A.{0,1}B.{－1,0,1}

C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}

（2）若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于（　　）

A.{x|2

C.{x|2≤x<3}D.{x|x>2}

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－1,0,1}.故选B.

（2）结合数轴分析

可得A∩B＝{x|2

跟踪训练2　

（1）设集合A＝{x|x∈N，x≤4}，B＝{x|x∈N，x>1}，则A∩B＝________.

（2）集合A＝{x|x≥2或－2

答案　

（1）{2,3,4}　

（2）{x|x≥5或x＝2}

解析　

（1）因为A＝{x|x∈N，x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x∈N，x>1}，所以A∩B＝{2,3,4}.

（2）A∩B＝{x|x≥5或x＝2}.

题型三　已知集合的交集、并集求参数

例3　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.

解　由A∩B＝∅，

（1）若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.

（2）若A≠∅，如下图：

∴

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是{a|－

≤a≤2，或a＞3}.

反思与感悟　1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.

2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证.

跟踪训练3　设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.

答案　k≤6

解析　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－

}，

且M∩N≠∅，所以－

≥－3⇒k≤6.

例4　设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解　A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集.

∵A∪B＝A，∴B⊆A.

∵A＝{－1,2}≠∅，∴B＝∅，或B≠∅.

当B＝∅时，关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数解，则有Δ＝1－4a<0，即a>

.

当B≠∅时，关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解.

若B中仅有一个元素，则Δ＝0，即a＝

，

此时B＝{x|x2＋x＋

＝0}＝{－

}.

∵－

∉A，

∴B不是A的子集，即a＝

不合题意.

若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，

∴

即

∵1≠－1，∴此种情况不合题意.

综上可得，实数a的取值范围是{a|a>

}.

反思与感悟　1.通过深刻理解集合的表示方法，把A∩B＝A（或A∪B＝A）转化为集合之间的关系A⊆B（或B⊆A），从而把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题，这种思想称为化归思想，是数学中常用的思想方法之一.

2.解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B＝∅的情形，其原因是对B⊆A的理解不够充分.对于B⊆A，当A≠∅时，则有B＝∅，或B≠∅.避免出错的方法是培养利用分类讨论的数学思想方法的习惯和注意经验的积累.

跟踪训练4　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解　∵A∪B＝A，∴B⊆A.

又A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

若1∈B，则2－a＋2＝0，得a＝4，此时B＝{1}⊆A符合题意.

若2∈B，则2×22－2a＋2＝0，

得a＝5，此时B＝{2，

}不合题意，故a＝5舍去.

若B＝∅，则a2－16<0，

得－4

综上所述a的取值范围为－4

对集合中代表元素含义理解错误致误

例5　

（1）设集合A＝{（x，y）|x－2y＝1}，集合B＝{（x，y）|x＋y＝2}，则A∩B等于（　　）

A.∅B.{

，

}

C.{（

，

）}D.{x＝

，y＝

}

（2）已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.

错解　

（1）解方程组

得

故选D.

（2）解方程组

得

或

所以A∩B＝{5}.

正解　

（1）由

解得

即A∩B＝{（

，

）}.

故选C.

（2）由题意可知集合A，B分别是二次函数y＝x2－2x－3和y＝－x2＋2x＋13的y的取值集合.

A＝{y|y＝（x－1）2－4，x∈R}＝{y|y≥－4，y∈R}，

B＝{y|y＝－（x－1）2＋14，x∈R}＝{y|y≤14，y∈R}.

因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14，y∈R}.

易错警示　

错误原因

纠错心得

对集合的代表元素理解错误，第

（1）题中代表元素为（x，y），对应集合为点集；第

（2）题中代表元素为y，表示的是y的取值范围，对应集合为数集.

在有关集合运算，特别是描述法表示的集合运算中，要正确理解式子的意义，解题时应注意区分是数集还是点集，对于数集还应弄清代表元素是自变量x，还是因变量y，从而确定是自变量的范围还是因变量的范围.

跟踪训练5　

（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；

（2）设集合A＝{（x，y）|y＝x＋1，x∈R}，集合B＝{（x，y）|y＝－x2＋2x＋

，x∈R}，求A∩B.

解　

（1）两个集合表示的都是y的取值范围，

∵A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}＝{y|y≥2}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}＝{y|y≤11}，

∴A∪B＝R.

（2）A∩B＝{（x，y）|y＝x＋1，x∈R}∩{（x，y）|

y＝－x2＋2x＋

，x∈R}

＝{（x，y）|

}＝{（

，

）}.

1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（　　）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{1,2}D.{0}

答案　A

解析　集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.

2.已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于（　　）

A.{2}B.{4}

C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}

答案　D

解析　观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}.

3.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（　　）

A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}

C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}

答案　A

解析　在数轴上表示出集合A与B，如图.

则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.

4.已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则P∪Q＝________.

答案　R

解析　因为P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}＝{y|y≤5}，所以P∪Q＝R.

5.若集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，集合B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，则由实数a组成的集合C＝________.

答案　{－2,0，

}

解析　由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}.

因为A∩B＝B，所以B⊆A.

当B≠∅时，有B＝{－1}或B＝{3}.

当B＝{－1}时，由a×（－1）－2＝0，得a＝－2；

当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝

.

当B＝∅时，方程ax－2＝0无解，得a＝0.

故由实数a组成的集合C＝{－2,0，

}.

1.对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分.特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2.集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.

（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.

一、选择题

1.设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于（　　）

A.{－2}B.{－2,3}

C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}

答案　D

解析　因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}.故选D.

2.已知集合M＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N等于（　　）

A.{1}B.{－1,1}

C.{0,1}D.{－1,0,1}

答案　C

解析　由已知得M＝{－1,0,1}，N＝{0,1}，

所以M∩N＝{0,1}，故选C.

3.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A.2个B.4个C.6个D.8个

答案　B

解析　由已知得P＝M∩N＝{1,3}，

∴P的子集有22＝4个.

4.已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于（　　）

A.{x|x<－5或x>－3}

B.{x|－5

C.{x|－3

D.{x|x<－3或x>5}

答案　A

5.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则M∩N等于（　　）

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}

答案　D

解析　N＝{x|x＝2a，a∈M}＝{0,2,4}，所以M∩N＝{0,2}.故选D.

6.若集合A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则A∩B等于（　　）

A.{x＝1或x＝2}B.{1,2}

C.{（1,2）}D.（1,2）

答案　C

解析　由题意可知两个集合都是点集，因此只有C选项正确.

7.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则P－（M－P）等于（　　）

A.PB.M∩PC.M∪PD.M

答案　A

解析　方法一　当M∩P≠∅时，如图所示，由Venn图知M－P为图形中的阴影部分，则P－（M－P）显然为P.

当M∩P＝∅时，M－P＝M，则P－（M－P）＝P－M＝{x|x∈P且x∉M}＝P.综上所述，应选A.

方法二　令M＝{0,1,2,3}，P＝{－1,1,2}，

依题意得M－P＝{0,3}，P－（M－P）＝{－1,1,2}，

∴P－（M－P）＝P.故选A.

二、填空题

8.已知集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.

答案　{1,2,3}

解析　因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1,2,3}.

9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A的个数是________.

答案　4

解析　由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，集合A中至少含有元素5，故A可为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共4个.

10.已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝x2＋2x，x∈R}，则集合P∩Q＝______.

答案　{y|y≥1}

解析　易知P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y≥－1}，故P∩Q＝{y|y≥1}.

三、解答题

11.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解　∵A∪B＝A，∴B⊆A.

若B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3；

若B≠∅时，

解得－1≤a≤2，

综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}.

12.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.

解　因为A∩B＝{3}，所以3∈A.

从而可得p＝8，

所以A＝{3,5}.

又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，所以B＝{2,3}.

所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.

由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.

综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.

13.

（1）已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；

（2）若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.

解　

（1）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9，或a2＝9，

∴a＝5，或a＝±3.

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}不合题意，舍去；

当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合集合中元素的互异性，舍去；

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意，

∴a的值为－3.

（2）由P∩Q＝Q，可知Q⊆P，

∴m2＝1，或m2＝2，或m2＝m.

解得m＝±1，或m＝±

，或m＝0.

经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去.

∴m＝－1，或m＝±

，或m＝0.